Tennis to'pi teoremasi - Tennis ball theorem

Yilda geometriya, tennis to'pi teoremasi har qanday silliq egri chiziq Sfera yuziga tegmasdan yoki kesib o'tmasdan, teng teng maydonli ikkita kichik guruhga ajratadigan yuzada kamida to'rttasi bo'lishi kerak burilish nuqtalari, egri chiziq faqat uning bir tomoniga doimiy ravishda egilmaydigan nuqtalar teginish chizig'i.^[1]Tennis to'pi teoremasi birinchi marta ushbu nom bilan nashr etilgan Vladimir Arnold 1994 yilda,^[2]^[3] va ko'pincha Arnoldga tegishli, ammo chambarchas bog'liq natija 1968 yilgi maqolada ilgari paydo bo'lgan Beniamino Segre va tennis to'pi teoremasining o'zi 1977 yilda Joel L. Vayner tomonidan nashr etilgan teoremaning alohida holatidir.^[4]^[5] Teoremaning nomi a ning standart shaklidan kelib chiqadi tennis to'pi, uning tikuvi teorema shartlariga javob beradigan egri chiziq hosil qiladi; xuddi shu egri chiziq tikuv uchun ham ishlatiladi beysbol.^[1]

Bayonot

A ning egilish nuqtasi aniq ikki marta doimiy ravishda farqlanadigan ( ${ displaystyle C ^ {2}}$ ) egri chiziq shar yuzasida nuqta joylashgan ${ displaystyle p}$ quyidagi xususiyat bilan: let ${ displaystyle I}$ o'z ichiga olgan bog'langan komponent bo'ling ${ displaystyle p}$ egri chiziqning teginuvchi katta doirasi bilan kesishuvining ${ displaystyle p}$ . (Ko'pgina egri chiziqlar uchun ${ displaystyle I}$ shunchaki bo'ladi ${ displaystyle p}$ o'zi, lekin u ham katta doiraning yoyi bo'lishi mumkin.) Keyin, uchun ${ displaystyle p}$ har bir burilish nuqtasi bo'lish Turar joy dahasi ning ${ displaystyle I}$ Bu katta doira bilan ajratilgan ikkala yarim sharga tegishli egri chiziqlarning nuqtalarini o'z ichiga olishi kerak. ${ displaystyle C ^ {2}}$ sharni ikkita teng maydonli komponentlarga ajratadigan egri shu ma'noda kamida to'rt burilish nuqtasiga ega.^[6]

Misollar

Tennis to'pi va beysbol tikuvlari matematik tarzda to'rtta yarim dumaloq yoylardan yasalgan egri chiziq bilan modellashtirilishi mumkin, bu yoylarning juftlari to'qnashgan joylarida to'liq to'rtta burilish nuqtalari mavjud.^[7]A katta doira shuningdek, shar sirtini ikkiga ajratadi va egilishning har bir nuqtasida bittadan egilish nuqtalariga ega. Biroq egri chiziqning shar sirtini teng ravishda ajratishi sharti teoremaning zaruriy qismidir. Maydonni teng ravishda taqsimlamaydigan boshqa egri chiziqlar, masalan, katta doiralar bo'lmagan doiralarda egilish nuqtalari umuman bo'lmasligi mumkin.^[1]

Qisqartirishni qisqartirish orqali isbotlash

Tennis to'pi teoremasining isbotlaridan biri egri qisqartiruvchi oqim, egri chiziqlarni o'zlarining mahalliy tomonlariga qarab doimiy ravishda harakatlantirish jarayoni egrilik markazlari. Ushbu oqimni berilgan egri chiziqqa qo'llash egri chiziqning tekisligini va maydonni ikkiga bo'linishini saqlab qolish uchun ko'rsatilishi mumkin. Bundan tashqari, egri chiziq oqishi bilan uning egilish nuqtalari soni hech qachon ko'paymaydi. Ushbu oqim oxir-oqibat egri chiziqning a ga aylanishiga olib keladi katta doira, va shu doiraga yaqinlashishni a bilan taxmin qilish mumkin Fourier seriyasi. Qisqartirishni qisqartirish boshqa biron bir katta doirani o'zgartirmasligi sababli, ushbu ketma-ketlikdagi birinchi had nolga teng va buni teorema bilan birlashtiradi Sturm Fourier seriyasining nollari sonida, egri chiziq bu katta doiraga yaqinlashganda, uning kamida to'rt burilish nuqtasi borligini ko'rsatadi. Shuning uchun asl egri chiziqda kamida to'rtta burilish nuqtasi mavjud.^[8]^[9]

Tegishli teoremalar

Tennis to'pi teoremasining umumlashtirilishi yopiq yarim sharda bo'lmagan sharning oddiy tekis egri chizig'iga taalluqlidir. Asl tennis to'pi teoremasida bo'lgani kabi, bunday egri chiziqlar kamida to'rtta burilish nuqtasiga ega bo'lishi kerak.^[5]^[10] Agar sharning egri chizig'i bo'lsa markaziy nosimmetrik, unda kamida oltita burilish nuqtasi bo'lishi kerak.^[10]

Ning chambarchas bog'liq teoremasi Segre (1968) oddiy yopiq sferik egri chiziqlarga ham tegishli. Agar shunday egri chiziq uchun bo'lsa, ${ displaystyle o}$ bu egri chiziq emas, balki sharning silliq egri chizig'ining har qanday nuqtasi, keyin egri chiziqning kamida to'rtta nuqtasi bor tebranuvchi samolyotlar orqali o'tish ${ displaystyle o}$ . Xususan, yarim sharda bo'lmagan egri chiziq uchun ushbu teorema qo'llanilishi mumkin ${ displaystyle o}$ sharning markazida. Sferik egri chiziqning har bir burilish nuqtasi sharning markazidan o'tuvchi tebranuvchi tekislikka ega, ammo bu ba'zi boshqa nuqtalarga ham tegishli bo'lishi mumkin.^[4]^[5]

Ushbu teorema o'xshashdir to'rtta vertex teoremasi, har bir silliq oddiy yopiq egri chiziq samolyotda to'rttasi bor tepaliklar (egrilikning o'ta nuqtalari). Shuningdek, bu teoremaga o'xshashdir Avgust Ferdinand Mobius har qanday kontraktsion silliq egri chiziq proektsion tekislik kamida uchta burilish nuqtasiga ega.^[2]^[9]

Adabiyotlar

^ ^a ^b ^v Chamberland, Marc (2015), "Tennis to'pi teoremasi", Bitta raqam: kichik raqamlarni maqtash uchun, Princeton University Press, Princeton, NJ, p. 114, doi:10.1515/9781400865697, ISBN 978-0-691-16114-3, JANOB 3328722
^ ^a ^b Martinez-Maure, Iv (1996), "Tennis to'pi teoremasi to'g'risida eslatma", Amerika matematik oyligi, 103 (4): 338–340, doi:10.2307/2975192, JANOB 1383672
^ Arnol'd, V. I. (1994), "20. Tennis to'pi teoremasi", Yassi egri chiziqlar va kostiklarning topologik invariantlari, Universitet ma'ruzalar seriyasi, 5, Providence, RI: Amerika Matematik Jamiyati, pp.53–58, doi:10.1090 / ulect / 005, ISBN 0-8218-0308-5, JANOB 1286249
^ ^a ^b Segre, Beniamino (1968), "Alcune proprietà differenziali in grande delle curve chiuse sghembe", Rendiconti di Matematica, 1: 237–297, JANOB 0243466
^ ^a ^b ^v Vayner, Joel L. (1977), "Sferik egri chiziqlarning global xususiyatlari", Differentsial geometriya jurnali, 12 (3): 425–434, JANOB 0514446. Tennis to'pi teoremasi (umuman olganda bitta yarim sharda mavjud bo'lmagan egri chiziqlarga nisbatan qo'llaniladi) uchun Teorema 2, p. 427
^ Torbergsson, Gudlaugur; Umehara, Masaaki (1999), "To'rt tepalik teoremalariga yagona yondashuv", Tabachnikov, Serj (tahr.), Tugunlar va egri chiziqlarning differentsial va simpektik topologiyasi, Amer. Matematika. Soc. Tarjima. Ser. 2, 190, Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 229-252 betlar, doi:10.1090 / trans2 / 190/12, JANOB 1738398. Xususan qarang 242-243 betlar.
^ Juillet, Nikolas (2013 yil 5-aprel), "Voyage sur une balle de tennis", Images des mathématiques (frantsuz tilida), CNRS
^ Ovsienko, V .; Tabachnikov, S. (2005), Eski va yangi proektsion differentsial geometriya: Shvartsian lotinidan diffeomorfizm guruhlarining kohomologiyasigacha, Matematikada Kembrij traktlari, 165, Kembrij: Kembrij universiteti matbuoti, p. 101, ISBN 0-521-83186-5, JANOB 2177471
^ ^a ^b Tug'ma, S. (1999), "Burilish nuqtalari, ekstatik nuqtalar va egri chiziqlarni qisqartirish" (PDF), Uch yoki undan ortiq erkinlik darajasiga ega bo'lgan gamilton tizimlari (S'Agaró, 1995), NATO Adv. Ilmiy ish. Inst. Ser. S matematikasi. Fizika. Ilmiy., 533, Dordrext: Kluwer Acad. Publ., 3-10 betlar, JANOB 1720878
^ ^a ^b Pak, Igor (2010 yil 20-aprel), "Teoremalar 21.22-21.24, 203-bet", Diskret va polyhedral geometriya bo'yicha ma'ruzalar

Tashqi havolalar

Vayshteyn, Erik V. "Tennis to'pi teoremasi". MathWorld.

[digits-1] v Chamberland, Marc (2015), "Tennis to'pi teoremasi", Bitta raqam: kichik raqamlarni maqtash uchun, Princeton University Press, Princeton, NJ, p. 114, doi:10.1515/9781400865697, ISBN 978-0-691-16114-3, JANOB 3328722

[mm-2] Martinez-Maure, Iv (1996), "Tennis to'pi teoremasi to'g'risida eslatma", Amerika matematik oyligi, 103 (4): 338–340, doi:10.2307/2975192, JANOB 1383672

[va-3] Arnol'd, V. I. (1994), "20. Tennis to'pi teoremasi", Yassi egri chiziqlar va kostiklarning topologik invariantlari, Universitet ma'ruzalar seriyasi, 5, Providence, RI: Amerika Matematik Jamiyati, pp.53–58, doi:10.1090 / ulect / 005, ISBN 0-8218-0308-5, JANOB 1286249

[segre-4] Segre, Beniamino (1968), "Alcune proprietà differenziali in grande delle curve chiuse sghembe", Rendiconti di Matematica, 1: 237–297, JANOB 0243466

[global-5] v Vayner, Joel L. (1977), "Sferik egri chiziqlarning global xususiyatlari", Differentsial geometriya jurnali, 12 (3): 425–434, JANOB 0514446. Tennis to'pi teoremasi (umuman olganda bitta yarim sharda mavjud bo'lmagan egri chiziqlarga nisbatan qo'llaniladi) uchun Teorema 2, p. 427

[tabachnikov-6] Torbergsson, Gudlaugur; Umehara, Masaaki (1999), "To'rt tepalik teoremalariga yagona yondashuv", Tabachnikov, Serj (tahr.), Tugunlar va egri chiziqlarning differentsial va simpektik topologiyasi, Amer. Matematika. Soc. Tarjima. Ser. 2, 190, Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 229-252 betlar, doi:10.1090 / trans2 / 190/12, JANOB 1738398. Xususan qarang 242-243 betlar.

[tennis-7] Juillet, Nikolas (2013 yil 5-aprel), "Voyage sur une balle de tennis", Images des mathématiques (frantsuz tilida), CNRS

[pgon-8] Ovsienko, V .; Tabachnikov, S. (2005), Eski va yangi proektsion differentsial geometriya: Shvartsian lotinidan diffeomorfizm guruhlarining kohomologiyasigacha, Matematikada Kembrij traktlari, 165, Kembrij: Kembrij universiteti matbuoti, p. 101, ISBN 0-521-83186-5, JANOB 2177471

[angenent-9] Tug'ma, S. (1999), "Burilish nuqtalari, ekstatik nuqtalar va egri chiziqlarni qisqartirish" (PDF), Uch yoki undan ortiq erkinlik darajasiga ega bo'lgan gamilton tizimlari (S'Agaró, 1995), NATO Adv. Ilmiy ish. Inst. Ser. S matematikasi. Fizika. Ilmiy., 533, Dordrext: Kluwer Acad. Publ., 3-10 betlar, JANOB 1720878

[pak-10] Pak, Igor (2010 yil 20-aprel), "Teoremalar 21.22-21.24, 203-bet", Diskret va polyhedral geometriya bo'yicha ma'ruzalar

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]