Tompson guruhlari - Thompson groups

Yilda matematika, Tompson guruhlari (shuningdek, deyiladi Tompson guruhlari, vagabond guruhlari yoki xameleyon guruhlari) uchta guruhlar, odatda belgilanadi ${ displaystyle F subseteq T subseteq V}$ , Richard Tompson tomonidan 1965 yilda qo'lda yozilmagan ba'zi bir eslatmalarda kiritilgan. fon Neyman gumoni. Uchtadan, F eng ko'p o'rganilgan va ba'zan shunday deb yuritiladi Tompson guruhi yoki Tompson guruhi.

Tompson guruhlari va F Xususan, g'ayrioddiy xususiyatlar to'plamiga ega bo'lib, ularni guruh nazariyasidagi ko'plab umumiy taxminlarga qarshi misollarga aylantirdi. Tompsonning uchta guruhi ham cheksiz, ammo yakuniy taqdim etilgan. Guruhlar T va V cheksiz, ammo cheklangan taqdim etilgan (kamdan-kam) misollar oddiy guruhlar. Guruh F oddiy emas, balki uning kichik guruhi [F,F] hisoblanadi va keltirilgan F olingan kichik guruh tomonidan 2-darajali erkin abeliya guruhi. F bu butunlay buyurtma qilingan, bor eksponent o'sish, va o'z ichiga olmaydi kichik guruh ga izomorf bepul guruh 2-darajali.

Bu taxmin qilinmoqda F emas javobgar va shuning uchun uzoq vaqtdan beri mavjud bo'lgan, ammo yaqinda inkor etilganlarga qarshi yana bir misolfon Neyman gumoni cheklangan taqdim etilgan guruhlar uchun: ma'lum F emas boshlang'ich javob beradi.

Higman (1974) Tompson guruhi, shu jumladan, cheklangan sodda guruhlarning cheksiz oilasini taqdim etdi V maxsus ish sifatida.

Taqdimotlar

Ning cheklangan taqdimoti F quyidagi ifoda bilan berilgan:

{ displaystyle langle A, B mid [AB ^ {- 1}, A ^ {- 1} BA] = [AB ^ {- 1}, A ^ {- 2} BA ^ {2}] = mathrm {id} rangle}

qayerda [x,y] odatdagi guruh nazariyasi komutator, xyx⁻¹y⁻¹.

Garchi F 2 generator va 2 munosabatlarga ega bo'lgan cheklangan taqdimotga ega, uni cheksiz taqdimot eng oson va intuitiv tarzda tavsiflaydi:

{ displaystyle langle x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, dots mid x_ {k} ^ {- 1} x_ {n} x_ {k} = x_ {n + 1} mathrm {for} k

Ikki taqdimot bir-biri bilan bog'liq x₀=A, x_n = A¹⁻ⁿBAⁿ⁻¹ uchun n>0.

Boshqa vakolatxonalar

Tompson guruhi F ikkilik daraxtlarda shunga o'xshash operatsiyalar natijasida hosil bo'ladi. Bu yerda L va T tugunlar, ammo A B va R ko'proq umumiy daraxtlar bilan almashtirilishi mumkin.

Guruh F shuningdek, buyurtma qilingan root bo'yicha operatsiyalar bo'yicha amalga oshirishga ega ikkilik daraxtlar va qismli chiziqli kichik guruh sifatida gomeomorfizmlar ning birlik oralig'i orientatsiyani saqlaydigan va farqlanmaydigan nuqtalari dyadik ratsional bo'lgan va ularning qiyaliklari 2 ning kuchlari.

Guruh F birlik oralig'idagi ikkita so'nggi nuqtani va guruhni aniqlash orqali birlik doirasiga ta'sir ko'rsatuvchi deb ham hisoblash mumkin T bu gomeomorfizmni qo'shish natijasida olingan birlik doirasining avtomorfizmlari guruhidir x→x+1/2 mod 1 dan F. Ikkilik daraxtlarda bu ildiz ostidagi ikkita daraxtni almashtirishga to'g'ri keladi. Guruh V dan olingan T [0,1 / 2) yarim ochiq oraliq nuqtalarini o'rnatadigan va [1 / 2,3 / 4) va [3 / 4,1) aniq yo'l bilan almashinadigan uzluksiz xaritani qo'shish orqali. Ikkilik daraxtlarda bu ildizning o'ng avlodi ostidagi ikkita daraxtni almashtirishga to'g'ri keladi (agar mavjud bo'lsa).

Tompson guruhi F bu erkinlikni tartibini saqlovchi avtomorfizmlar guruhidir Yonsson-Tarski algebra bitta generatorda.

Javobgarlik

Tompsonning gumoni F emas javobgar R. Geoghegan tomonidan yanada ommalashtirildi --- shuningdek quyidagi havolalarda keltirilgan Kannon-Floyd-Parri maqolasiga qarang. Uning hozirgi maqomi ochiq: E. Shavgulidze^[1] 2009 yilda u buni isbotlashni da'vo qilgan maqolasini nashr etdi F javob beradi, ammo MR tekshiruvida tushuntirilganidek xato topildi.

Ma'lumki F emas boshlang'ich javob beradi, Cannon-Floyd-Parry-dagi 4.10-teoremaga qarang. Agar F bu emas javob beradigan bo'lsa, bu uzoq vaqtdan beri davom etib kelayotgan, ammo yaqinda inkor qilinganlarga yana bir qarshi misol bo'ladi fon Neyman gumoni cheklangan taqdim etilgan guruh uchun, agar u faqat 2-darajali erkin guruh nusxasini o'z ichiga olmasa, javob beradi.

Topologiya bilan aloqalar

Guruh F 1970 yillar davomida topologlar tomonidan kamida ikki marta qayta kashf etilgan. Faqat keyinroq nashr etilgan, ammo o'sha paytda nashr etilgan nashrda, P. Freyd va A. Heller ^[2] ekanligini ko'rsatdi smena xaritasi kuni F Eilenberg-MacLane kosmosda bo'linmaydigan homotopiya idempotentini keltirib chiqaradi K (F, 1) va bu qiziqarli ma'noda universaldir. Bu Geogheganning kitobida batafsil bayon etilgan (quyida keltirilgan ma'lumotlarga qarang). Mustaqil ravishda J. Dydak va P. Mink ^[3] ning unchalik taniqli bo'lmagan modelini yaratdi F shakl nazariyasidagi muammo bilan bog'liq.

1979 yilda R. Geoghegan to'rtta taxminni ilgari surdi F: (1) F turi bor FP_∞; (2) ning barcha homotopiya guruhlari F abadiylikda ahamiyatsiz; (3) F abelian bo'lmagan bepul kichik guruhlarga ega emas; (4) F javobgar emas. (1) ni K. S. Braun va R. Geoghegan kuchli shaklda isbotladilar: har bir ijobiy o'lchovda ikkita hujayradan iborat K (F, 1) mavjud.^[4] (2), shuningdek, Braun va Geoghegan tomonidan isbotlangan ^[5] kohomologiya H * (F, ZF) ahamiyatsiz ekanligini ko'rsatgan ma'noda; M. Mixalikning oldingi teoremasidan beri ^[6] shuni anglatadiki F shunchaki cheksizlikda bog'langan va ko'rsatilgan natija shuni anglatadiki, cheksizlikdagi barcha homologiya yo'qoladi, homotopiya guruhlari haqidagi da'vo quyidagicha. (3) M. Brin va S Skvier tomonidan isbotlangan.^[7] (4) ning holati yuqorida muhokama qilingan.

Agar yo'q bo'lsa, noma'lum F qondiradi Farrel-Jons gumoni. Ning Whitehead guruhi ekanligi noma'lum F (qarang Oq boshning burilishi ) yoki proektsion sinf guruhi F (qarang Devorning cheklanganligiga to'sqinlik qilish ) ahamiyatsiz, garchi buni osonlikcha ko'rsatsa ham F kuchli bas gipotezasini qondiradi.

D. Farli ^[8] buni ko'rsatdi F mahalliy cheklangan CAT (0) kubik kompleksida (shartli ravishda cheksiz o'lchovda) pastki konvertatsiya vazifasini bajaradi. Buning natijasi shu F qondiradi Baum-Konnesning taxminlari.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Shavgulidze, E. (2009), "Tompson guruhi F javob beradi", Cheksiz o'lchovli tahlil, kvant ehtimoli va tegishli mavzular, 12 (2): 173–191, doi:10.1142 / s0219025709003719, JANOB 2541392
^ Freyd, Piter; Xeller, Aleks (1993), "Gomotopiya idempotentlarini ajratish", Sof va amaliy algebra jurnali, 89 (1–2): 93–106, doi:10.1016 / 0022-4049 (93) 90088-b, JANOB 1239554
^ Dydak, Jerzy; Minc, Piotr (1977), "FANR bo'shliqlarini ko'rsatadigan oddiy dalil - bu ANR ning muntazam ravishda qayta tiklanishi", Axborot byulleteni Polonaise des Science, Série des Sciences Matematik, Astronomiya va fizika, 25: 55–62, JANOB 0442918
^ Braun, K.S .; Geoghegan, Ross (1984), Cheksiz o'lchovli torsiyasiz FP_infinity guruhi, 77, 367-381-betlar, Bibcode:1984InMat..77..367B, doi:10.1007 / bf01388451, JANOB 0752825
^ Braun, K.S .; Geoghegan, Ross (1985), "Guruhlar grafigi fundamental guruhining erkin koeffitsientlari bilan kohomologiya", Matematik Helvetici sharhi, 60: 31–45, doi:10.1007 / bf02567398, JANOB 0787660
^ Mixalik, M. (1985), "Butun sonlar bilan guruhlarning oxiri kotirovka sifatida", Sof va amaliy algebra jurnali, 35: 305–320, doi:10.1016/0022-4049(85)90048-9, JANOB 0777262
^ Brin, Metyu.; Skvier, Kreyg (1985), "Haqiqiy chiziqning parcha-parcha chiziqli gomomorfizmlari guruhlari", Mathematicae ixtirolari, 79 (3): 485–498, Bibcode:1985InMat..79..485B, doi:10.1007 / bf01388519, JANOB 0782231
^ Farley, D. (2003), "Diagramma guruhlarining yakuniyligi va CAT (0) xususiyatlari", Topologiya, 42 (5): 1065–1082, doi:10.1016 / s0040-9383 (02) 00029-0, JANOB 1978047

Cannon, J. W.; Floyd, V. J.; Parri, V. R. (1996), "Richard Tompson guruhlari haqida kirish yozuvlari" (PDF), L'Enseignement Mathématique, II Seriya, 42 (3): 215–256, ISSN 0013-8584, JANOB 1426438
Kannon, JV .; Floyd, VJ (sentyabr 2011). "NIMA ... Tompson guruhi?" (PDF). Amerika Matematik Jamiyati to'g'risida bildirishnomalar. 58 (8): 1112–1113. ISSN 0002-9920. Olingan 27 dekabr, 2011.
Geoghegan, Ross (2008), Guruh nazariyasidagi topologik usullar, Matematikadan aspirantura matnlari, 243, Springer Verlag, arXiv:matematik / 0601683, doi:10.1142 / S0129167X07004072, ISBN 978-0-387-74611-1, JANOB 2325352
Xigman, Grem (1974), Cheksiz sodda guruhlar, Sof matematikaga oid eslatmalar, 8, Sof matematika bo'limi, matematika bo'limi, I.A.S. Avstraliya milliy universiteti, Kanberra, ISBN 978-0-7081-0300-5, JANOB 0376874

[1] Shavgulidze, E. (2009), "Tompson guruhi F javob beradi", Cheksiz o'lchovli tahlil, kvant ehtimoli va tegishli mavzular, 12 (2): 173–191, doi:10.1142 / s0219025709003719, JANOB 2541392

[2] Freyd, Piter; Xeller, Aleks (1993), "Gomotopiya idempotentlarini ajratish", Sof va amaliy algebra jurnali, 89 (1–2): 93–106, doi:10.1016 / 0022-4049 (93) 90088-b, JANOB 1239554

[3] Dydak, Jerzy; Minc, Piotr (1977), "FANR bo'shliqlarini ko'rsatadigan oddiy dalil - bu ANR ning muntazam ravishda qayta tiklanishi", Axborot byulleteni Polonaise des Science, Série des Sciences Matematik, Astronomiya va fizika, 25: 55–62, JANOB 0442918

[4] Braun, K.S .; Geoghegan, Ross (1984), Cheksiz o'lchovli torsiyasiz FP_infinity guruhi, 77, 367-381-betlar, Bibcode:1984InMat..77..367B, doi:10.1007 / bf01388451, JANOB 0752825

[5] Braun, K.S .; Geoghegan, Ross (1985), "Guruhlar grafigi fundamental guruhining erkin koeffitsientlari bilan kohomologiya", Matematik Helvetici sharhi, 60: 31–45, doi:10.1007 / bf02567398, JANOB 0787660

[6] Mixalik, M. (1985), "Butun sonlar bilan guruhlarning oxiri kotirovka sifatida", Sof va amaliy algebra jurnali, 35: 305–320, doi:10.1016/0022-4049(85)90048-9, JANOB 0777262

[7] Brin, Metyu.; Skvier, Kreyg (1985), "Haqiqiy chiziqning parcha-parcha chiziqli gomomorfizmlari guruhlari", Mathematicae ixtirolari, 79 (3): 485–498, Bibcode:1985InMat..79..485B, doi:10.1007 / bf01388519, JANOB 0782231

[8] Farley, D. (2003), "Diagramma guruhlarining yakuniyligi va CAT (0) xususiyatlari", Topologiya, 42 (5): 1065–1082, doi:10.1016 / s0040-9383 (02) 00029-0, JANOB 1978047

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]