Vaqt shkalasini hisoblash - Time-scale calculus

Yilda matematika, vaqt o'lchovi hisobi nazariyasining birlashmasidir farq tenglamalari bilan differentsial tenglamalar, birlashtiruvchi integral va differentsial hisob-kitob bilan chekli farqlarning hisobi, gibrid diskret-uzluksiz o'rganish uchun formalizmni taklif qiladi dinamik tizimlar. Diskret va uzluksiz ma'lumotlarni bir vaqtning o'zida modellashtirishni talab qiladigan har qanday sohada dasturlarga ega. Bu derivativning yangi ta'rifini beradi, agar u haqiqiy sonlarda aniqlangan funktsiyani farqlasa, demak, ta'rif standart differentsiatsiyaga teng bo'ladi, ammo agar butun sonlarda aniqlangan funktsiyadan foydalansa, u tenglamaga teng bo'ladi. oldinga farq operator.

Tarix

Vaqt miqyosidagi hisob-kitob 1988 yilda nemis matematikasi tomonidan kiritilgan Stefan Xilger.^[1] Biroq, shunga o'xshash g'oyalar ilgari ishlatilgan va hech bo'lmaganda Riemann-Stieltjes integral yig'indilarni va integrallarni birlashtiradigan.

Dinamik tenglamalar

Diferensial tenglamalarga tegishli ko'plab natijalar farq tenglamalari uchun mos keladigan natijalarga osonlikcha o'tadi, boshqa natijalar esa ulardan farq qiladi davomiy hamkasblari.^[2] Vaqt shkalasi bo'yicha dinamik tenglamalarni o'rganish natijasida bunday kelishmovchiliklar aniqlanadi va natijalarni ikki marta isbotlashning oldini olishga yordam beradi - bir marta differentsial tenglamalar uchun va yana bir marta farqli tenglamalar uchun. Umumiy g'oya - noma'lum domen bo'lgan dinamik tenglama uchun natijani isbotlash funktsiya bu vaqt o'lchovi deb ataladigan (shuningdek, vaqt to'plami deb ham ataladi), bu reallarning o'zboshimchalik bilan yopiq to'plami bo'lishi mumkin. Shunday qilib, natijalar nafaqat tegishli o'rnatilgan ning haqiqiy raqamlar yoki to'plami butun sonlar a kabi umumiy vaqt tarozilariga Kantor o'rnatilgan.

Uch eng mashhur misollar hisob-kitob tarozi vaqt bo'yicha differentsial hisob, farqni hisoblash va kvant hisobi. Vaqt shkalasidagi dinamik tenglamalar, kabi dasturlar uchun potentsialga ega aholi dinamikasi. Masalan, ular mavsumda doimiy ravishda rivojlanib boradigan hasharotlar populyatsiyasini, qishda tuxumlari inkubatsiya qilinayotganda yoki uxlab yotganda nobud bo'lishini, so'ngra yangi mavsumda chiqishini va bir-birining ustiga chiqmaydigan populyatsiyani keltirib chiqarishi mumkin.

Rasmiy ta'riflar

A vaqt o'lchovi (yoki o'lchov zanjiri) a yopiq ichki qism ning haqiqiy chiziq ${ displaystyle mathbb {R}}$. Umumiy vaqt o'lchovining umumiy belgisi ${ displaystyle mathbb {T}}$.

Vaqt o'lchovlarining eng ko'p uchraydigan ikkita misoli - bu haqiqiy sonlar ${ displaystyle mathbb {R}}$ va diskret vaqt o'lchov ${ displaystyle h mathbb {Z}}$.

Vaqt o'lchovidagi bitta nuqta quyidagicha tavsiflanadi:

${ displaystyle t: t in mathbb {T}}$

Vaqt o'lchovlari bo'yicha operatsiyalar

Diskret vaqt shkalasi bo'yicha oldinga sakrash, orqaga sakrash va donga ishlov berish operatorlari

The oldinga sakrash va orqaga sakrash operatorlar ma'lum bir nuqtaning o'ng va chap qismidagi vaqt o'lchovining eng yaqin nuqtasini aks ettiradi ${ displaystyle t}$navbati bilan. Rasmiy ravishda:

${ displaystyle sigma (t) = inf {s in mathbb {T}: s> t }}$ (oldinga siljish / sakrash operatori)

${ displaystyle rho (t) = sup {s in mathbb {T}: s$ (orqaga siljish / sakrash operatori)

The donlilik ${ displaystyle mu}$ nuqtadan o'ngga eng yaqin nuqtagacha bo'lgan masofa va quyidagicha berilgan:

${ displaystyle mu (t) = sigma (t) -t.}$

To'g'ri zich uchun ${ displaystyle t}$, ${ displaystyle sigma (t) = t}$ va ${ displaystyle mu (t) = 0}$.
Chap zich uchun ${ displaystyle t}$, ${ displaystyle rho (t) = t.}$

Ballarning tasnifi

Turli xil tasniflarga ega bo'lgan vaqt o'lchovidagi bir nechta nuqta

Har qanday kishi uchun ${ displaystyle t in mathbb {T}}$, ${ displaystyle t}$ bu:

• zich chap agar ${ displaystyle rho (t) = t}$
• o'ng zich agar ${ displaystyle sigma (t) = t}$
• tarqoq chap agar ${ displaystyle rho (t)$
• o'ng tarqoq agar ${ displaystyle sigma (t)> t}$
• zich agar ikkalasi ham zich va o'ng zich bo'lsa
• izolyatsiya qilingan agar ikkalasi chapga va o'ngga tarqoq bo'lsa

O'ngdagi rasm bilan ko'rsatilgandek:

• Nuqta ${ displaystyle t_ {1}}$ bu zich
• Nuqta ${ displaystyle t_ {2}}$ bu zich chap va o'ng tarqoq
• Nuqta ${ displaystyle t_ {3}}$ bu izolyatsiya qilingan
• Nuqta ${ displaystyle t_ {4}}$ bu tarqoq chap va o'ng zich

Davomiylik

Davomiylik vaqt shkalasi zichlikka teng ravishda qayta aniqlanadi. Vaqt shkalasi deyiladi nuqtada o'ng uzluksiz ${ displaystyle t}$ agar u nuqtada to'g'ri zich bo'lsa ${ displaystyle t}$. Xuddi shunday, vaqt shkalasi deyiladi nuqtada chap uzluksiz ${ displaystyle t}$ agar u nuqtada zich qoldirilgan bo'lsa ${ displaystyle t}$.

Hosil

Funktsiyani bajaring:

${ displaystyle f: mathbb {T} rightarrow mathbb {R}}$,

(qaerda ℝ har qanday bo'lishi mumkin Banach maydoni, lekin soddalik uchun haqiqiy chiziqqa o'rnatiladi).

Ta'rif: The delta lotin (shuningdek, Hilger lotin) ${ displaystyle f ^ { Delta} (t)}$ agar mavjud bo'lsa va faqatgina:

Har bir kishi uchun ${ displaystyle epsilon> 0}$ u erda mahalla mavjud ${ displaystyle U}$ ning ${ displaystyle t}$ shu kabi:

${ displaystyle | f ( sigma (t)) - f (s) -f ^ { Delta} (t) ( sigma (t) -s) | leq varepsilon | sigma (t) -s | }$

Barcha uchun ${ displaystyle s}$ yilda ${ displaystyle U}$.

Qabul qiling ${ displaystyle mathbb {T} = mathbb {R}.}$ Keyin ${ displaystyle sigma (t) = t}$, ${ displaystyle mu (t) = 0}$, ${ displaystyle f ^ { Delta} = f '}$; standartda ishlatiladigan lotin hisob-kitob. Agar ${ displaystyle mathbb {T} = mathbb {Z}}$ (the butun sonlar ), ${ displaystyle sigma (t) = t + 1}$, ${ displaystyle mu (t) = 1}$, ${ displaystyle f ^ { Delta} = Delta f}$ bo'ladi oldinga farq operatori farq tenglamalarida ishlatiladi.

Integratsiya

The delta integral delta lotiniga nisbatan antiderivativ deb ta'riflanadi. Agar ${ displaystyle F (t)}$ doimiy hosilaga ega ${ displaystyle f (t) = F ^ { Delta} (t)}$ bitta to'plam

${ displaystyle int _ {r} ^ {s} f (t) Delta (t) = F (s) -F (r).}$

Laplasning o'zgarishi va z-o'zgarishi

A Laplasning o'zgarishi vaqt o'lchovlaridagi funktsiyalar uchun belgilanishi mumkin, bu har qanday o'zboshimchalik bilan vaqt shkalasi uchun bir xil transformatsiyalar jadvalidan foydalanadi. Ushbu konvertatsiya vaqt o'lchovlarida dinamik tenglamalarni echishda ishlatilishi mumkin. Agar vaqt shkalasi manfiy bo'lmagan butun sonlar bo'lsa, unda transformatsiya teng bo'ladi^[2] o'zgartirilganga Z-konvertatsiya qilish:

${ displaystyle { mathcal {Z}} ' {x [z] } = { frac {{ mathcal {Z}} {x [z + 1] }} {z + 1}}}$

Qisman farqlash

Qisman differentsial tenglamalar va qisman farq tenglamalari vaqt o'lchovlarida qisman dinamik tenglamalar sifatida birlashtirilgan.^[3][4][5]

Ko'p sonli integratsiya

Ko'p sonli integratsiya vaqt o'lchovlari Bohnerda davolanadi (2005).^[6]

Vaqt shkalalarida stoxastik dinamik tenglamalar

Stoxastik differentsial tenglamalar va stoxastik farq tenglamalarini vaqt shkalalarida stoxastik dinamik tenglamalarga umumlashtirish mumkin.^[7]

Vaqt o'lchovlarida o'lchov nazariyasi

Har bir vaqt o'lchovi bilan bog'liqligi tabiiydir o'lchov^[8][9] orqali aniqlangan

${ displaystyle mu ^ { Delta} (A) = lambda ( rho ^ {- 1} (A)),}$

qayerda ${ displaystyle lambda}$ bildiradi Lebesg o'lchovi va ${ displaystyle rho}$ - belgilangan orqaga siljish operatori ${ displaystyle mathbb {R}}$. Delta integrali odatiy bo'lib chiqadi Lebesgue-Stieltjes integral ushbu o'lchov bo'yicha

${ displaystyle int _ {r} ^ {s} f (t) Delta t = int _ {[r, s)} f (t) d mu ^ { Delta} (t)}$

va delta hosilasi the bo'lib chiqadi Radon-Nikodim lotin ushbu o'lchov bo'yicha^[10]

${ displaystyle f ^ { Delta} (t) = { frac {df} {d mu ^ { Delta}}} (t).}$

Vaqt o'lchovlari bo'yicha taqsimotlar

The Dirak deltasi va Kronekker deltasi vaqt o'lchovlari bo'yicha birlashtirilgan Hilger deltasi:^[11][12]

${ displaystyle delta _ {a} ^ { mathbb {H}} (t) = { begin {case} {{frac {1} { mu (a)}}, & t = a 0, & t neq a end {case}}}$

Vaqt o'lchovlaridagi integral tenglamalar

Integral tenglamalar va summa tenglamalari vaqt o'lchovlari bo'yicha integral tenglamalar sifatida birlashtirilgan.^{[iqtibos kerak ]}

Vaqt o'lchovlari bo'yicha fraksiyonel hisob

Kesirli hisoblash vaqt bo'yicha tarozilar Bastos, Mozyrska va Torresda davolanadi.^[13]

Shuningdek qarang

• Fraktallar bo'yicha tahlil a bo'yicha dinamik tenglamalar uchun Kantor o'rnatilgan.

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish

• Agarval, Ravi; Bonner, Martin; O'Regan, Donal; Peterson, Allan (2002). "Vaqt o'lchovidagi dinamik tenglamalar: so'rovnoma". Hisoblash va amaliy matematika jurnali. 141 (1–2): 1–26. Bibcode:2002 yil JCoAM.141 .... 1A. doi:10.1016 / S0377-0427 (01) 00432-0.
• Vaqt o'lchovlaridagi dinamik tenglamalar Maxsus son Hisoblash va amaliy matematika jurnali (2002)
• Dinamik tenglamalar va qo'llanmalar Maxsus son Farqli tenglamalardagi yutuqlar (2006)
• Vaqt miqyosidagi dinamik tenglamalar: Sifatli tahlil va qo'llanilishi Maxsus son Lineer bo'lmagan dinamikalar va tizimlar nazariyasi (2009)

Tashqi havolalar

• Baylor universiteti vaqt o'lchovlari guruhi
• Timescalewiki.org