Topologik qat'iylik - Topological rigidity

In matematik maydon ning topologiya, a ko'p qirrali M deyiladi topologik jihatdan qattiq agar har bir manifold homotopik jihatdan teng ga M ham gomeomorfik ga M.^[1]

Motivatsiya

Topologiyadagi asosiy muammo bu ikkita bo'shliqning bir xilligini, ya'ni gomomorfik yoki diffeomorfikani aniqlashdir. Morfizmni aniq qurish deyarli har doim ham amaliy emas. Agar bitta yoki har ikkala bo'shliqqa (manifoldlarga) qo'shimcha shart qo'yadigan bo'lsak, biz kerakli morfizm mavjud bo'lishi kerakligini ko'rsatish uchun ushbu qo'shimcha tuzilishdan foydalanishimiz mumkin.

Qattiqlik teoremasi ikki manifold o'rtasida juda zaif ekvivalentlik (odatda a homotopiya ekvivalenti ) kuchli ekvivalentlik gomomorfizmi mavjudligini anglatadi, diffeomorfizm yoki izometriya.

Ta'rif.

Yopiq topologik manifold M har qanday homotopiya ekvivalenti bo'lsa, topologik qattiq deyiladi f : N → M ba'zi bir manifold N bilan manba, M esa maqsad sifatida gomeomorfizmga homotopik ta'sir ko'rsatadi.

Misollar

1-misol.
Agar yopiq 2 kollektorli bo'lsa M va N homotopik jihatdan teng, keyin ular gomomorfikdir. Bundan tashqari, yopiq sirtlarning har qanday homotopik ekvivalenti gomeomorfizmga aylanadi.

2-misol.
Agar yopiq kollektor bo'lsa Mⁿ (n G 3) gomotopiya-ga teng Sⁿ keyin Mⁿ ga homomorfikdir Sⁿ.

Geometriyadagi qat'iylik teoremasi

Ta'rif.

Yassi-Riemann manifoldlarining diffeomorfizmi afin deyiladi iff u geodeziyani geodeziyaga olib boradi.

Teorema (Biberbax)

Agar f : M → N keyin tekis yopiq Riman kollektorlari orasidagi homotopiya ekvivalenti f affin gomeomorfizmiga homotopik hisoblanadi.

Mostowning qat'iylik teoremasi

Teorema: Ruxsat bering M va N bo'lishi ixcham, mahalliy nosimmetrik Riemann manifoldlari Hamma joyda ijobiy bo'lmagan egrilik, yopiq bir yoki ikki o'lchovli geodezik pastki bo'shliqqa ega, bu mahalliy to'g'ridan-to'g'ri omil. Agar f : M → N u holda homotopiya ekvivalenti f izometriya uchun homotopik hisoblanadi.

Teorema (giperbolik uchun Mostow teoremasi n-manifoldlar, n ≥ 3): Agar M va N to'liq giperbolikdir n- ko'p qavatli, n ≥ 3 cheklangan hajm bilan va f : M → N u holda homotopiya ekvivalenti f izometriya uchun homotopik hisoblanadi.

Ushbu natijalar nomi bilan nomlangan Jorj Mostov.

Algebraik shakl

$ Delta $ va $ g $ ning diskret kichik guruhlari bo'lsin izometriya guruhi ning giperbolik n- bo'shliq H, qayerda n ≥ 3, uning takliflari H/ Γ va H/ Δ cheklangan hajmga ega. Agar Γ va Γ diskret guruhlar sifatida izomorf bo'lsa, u holda ular konjuge bo'ladi.

Izohlar

(1) Ikki o'lchovli holatda, hech bo'lmaganda ikkita turdagi har qanday manifold giperbolik tuzilishga ega. Bu holda Mostowning qat'iylik teoremasi qo'llanilmaydi. Aslida, har qanday bunday manifoldda juda ko'p giperbolik tuzilmalar mavjud; har bir bunday struktura Teyxmuller fazosidagi nuqtaga to'g'ri keladi.

(2) Boshqa tomondan, agar M va N sonli hajmning 2-manifoldlari bo'lib, ularning asosiy guruhlari bir xil bo'lganda aynan ularni gomomorf ekanligini ko'rsatish oson.

Ilova

Sonli hajmli giperbolik izometriya guruhi n- ko'p marta M (uchun n ≥ 3) chekli va π ga izomorfdir₁(M).

Adabiyotlar