Torricellis qonuni - Torricellis law

Torricelli qonuni suv oqimi uchun havoga chidamliligi, yopishqoqligi va boshqa to'siqlari mavjud emasligini hisobga olgan holda, suv oqimi boshlanadigan sirt ostidagi masofaga asoslanib, suv oqimining ajralish tezligini tavsiflaydi. Ushbu diagrammada suv omborini gorizontal ravishda qoldirib, vertikal ravishda tekislangan bir nechta bunday samolyotlar ko'rsatilgan. Bunday holda, samolyotlar an konvert (Torricelliga tegishli kontseptsiya), bu suv sathidan 45 ° pastga tushadigan chiziq. Har bir reaktiv konvertga tekkan joyda boshqa reaktivlardan uzoqroqqa etib boradi, bu reaktiv manbasining ikki barobar chuqurligida. Ikki reaktiv o'tadigan chuqurlik ularning manba chuqurliklari yig'indisidir. Har bir reaktiv (gorizontal ravishda ketmasa ham) a oladi parabolik direktriksi suv yuzasi bo'lgan yo'l.

Torricelli qonuni, shuningdek, nomi bilan tanilgan Torricelli teoremasi, bu teorema suyuqlik dinamikasi tuynukdan oqib chiqadigan suyuqlik tezligini teshikning yuqorisidagi suyuqlik balandligiga bog'laydi. Qonunda tezlik deyilgan v chuqurlikka to'ldirilgan idish tubidagi o'tkir qirrali teshikdan suyuqlik oqimi h balandlikdan erkin tushish paytida tananing (bu holda bir tomchi suv) tezligi bilan bir xil h, ya'ni ${ displaystyle v = { sqrt {2gh}}}$ , qayerda g tortishish kuchi (9,81 m / s) tufayli tezlanish² Yer yuziga yaqin). Ushbu ifoda olingan kinetik energiyani tenglashtirishdan kelib chiqadi, ${ displaystyle { frac {1} {2}} mv ^ {2}}$ yo'qolgan potentsial energiya bilan, mghva uchun hal qilish v. Qonun italiyalik olim tomonidan kashf etilgan (garchi bu shaklda bo'lmasa ham) Evangelista Torricelli, 1643 yilda. Keyinchalik bu ma'lum bir holat ekanligi ko'rsatilgan Bernulli printsipi.

Hosil qilish

Ning taxminlari ostida siqilmaydigan ahamiyatsiz bo'lgan suyuqlik yopishqoqlik, Bernulli printsipi ta'kidlaydi

{ displaystyle { frac {v ^ {2}} {2}} + gy + { frac {p} { rho}} = { text {constant}},}

qayerda ${ displaystyle v}$ suyuqlik tezligi, ${ displaystyle g}$ tortishish kuchi tufayli tezlanish (taxminan 9.81) Xonim² Yer yuzida), ${ displaystyle y}$ bu ba'zi bir mos yozuvlar nuqtasi ustidagi balandlik, ${ displaystyle p}$ bu bosim va ${ displaystyle rho}$ zichligi. Shunday qilib, suyuqlikning istalgan ikki nuqtasi uchun

{ displaystyle { frac {{v_ {1}} ^ {2}} {2}} + g_ {1} y_ {1} + { frac {p_ {1}} { rho _ {1}}} = { frac {{v_ {2}} ^ {2}} {2}} + g_ {2} y_ {2} + { frac {p_ {2}} { rho _ {2}}}.}

Birinchi nuqta suyuqlik sathidan, ikkinchisi esa teshikdan tashqarida olinishi mumkin. Suyuq siqilmaydi deb taxmin qilinganligi sababli, ${ displaystyle rho _ {1}}$ ga teng ${ displaystyle rho _ {2}}$ ; ikkalasi ham bitta belgi bilan ifodalanishi mumkin ${ displaystyle rho}$ . Bunga qo'shimcha ravishda, ochilish idishning gorizontal kesimiga nisbatan juda kichik bo'lsa, sirt tezligi ahamiyatsiz deb qabul qilinadi ( ${ displaystyle v_ {1} = 0}$ ). ${ displaystyle g}$ ikkala nuqtada ham deyarli bir xil deb taxmin qilinadi, shuning uchun ${ displaystyle g_ {1} = g_ {2} = g}$ .

{ displaystyle gy_ {1} + { frac {p_ {1}} { rho}} = { frac {{v_ {2}} ^ {2}} {2}} + gy_ {2} + { frac {p_ {2}} { rho}}}

{ displaystyle Rightarrow v_ {2} = { sqrt {2g (y_ {1} -y_ {2}) + 2 (p_ {1} -p_ {2}) / rho}}.}

${ displaystyle y_ {1} -y_ {2}}$ balandlikka teng ${ displaystyle h}$ suyuqlik yuzasining ochilish qismida. ${ displaystyle p_ {1}}$ va ${ displaystyle p_ {2}}$ odatda ikkala atmosfera bosimi, shuning uchun ${ displaystyle p_ {1} = p_ {2} Rightarrow p_ {1} -p_ {2} = 0}$ .

{ displaystyle v_ {2} = { sqrt {2gh}}.}

Eksperimental dalillar

Torricelli qonunini a-da ko'rsatishga mo'ljallangan spouting-can eksperimentida namoyish etish mumkin suyuqlik ochiq sirt bilan, bosim chuqurlik bilan ortadi. U uchta alohida teshikka va ochiq yuzaga ega bo'lgan trubadan iborat. Uchta teshik to'sib qo'yilgan, keyin trubka suv bilan to'ldirilgan. U to'la bo'lganda, teshiklar blokirovka qilinadi. Jet trubkada qancha past bo'lsa, shuncha kuchli. Suyuqlikning chiqish tezligi naychadan kattaroqdir.^[1]

Viskoziteye va boshqa yo'qotishlarga e'tibor bermaslik, agar nozullar vertikal ravishda yuqoriga qaragan bo'lsa, u holda har bir reaktiv idishdagi suyuqlik sathining balandligiga etadi.

Suyuqlik oqimi bilan qoplangan gorizontal masofa

Agar h teshikning balandligi va H Suyuq kolonnaning balandligi, suyuqlik oqimi poydevori bilan bir xil darajaga erishish uchun suyuqlik oqimi bosib o'tgan gorizontal masofani osongina olish mumkin.

Kinematik tenglamadan foydalanib, tuynuk uchun yopiq idishni tashqarisidagi nuqtani ko'rib chiqing (vena kontraktasi )

y = oqim zarrachasi bosib o'tgan vertikal masofa = h,

${ displaystyle y = gt ^ {2} / 2 Rightarrow t = { sqrt {2h / g}}.}$

Reaktivning tushish tezligi × vaqt H birliklari:

{ displaystyle vt = { sqrt {2g (H-h)}} { sqrt {2h / g}},}

{ displaystyle D (h) = 2 { sqrt {h (H-h)}},}

qayerda D. gorizontal yo'nalishdagi masofa oqimining diapazoni.

optimallashtirish orqali

{ displaystyle v '(h) = (2 / { sqrt {h (H-h)}}) * (H-2h) Rightarrow v' = 0 Rightarrow H = 2h Rightarrow h = H / 2}

maksimal oraliqni olish uchun D (h) ga H / 2 ni ulang

maksimal diapazon = H

Idishni bo'shatish uchun umumiy vaqt

Suv balandligi h gacha bo'lgan silindrsimon idishni naycha orqali bo'shatib berilayotganini ko'rib chiqing. Har qanday vaqtda h balandligi suv bo'lsin. Oqish tezligi bo'lsin ${ displaystyle v = {dx over dt} = { sqrt {2gh}} }$

Massaning saqlanib qolishi tufayli (siqilmas oqimni hisobga olgan holda), ${ displaystyle A , dh = -a , dx}$ qayerda A va a konteyner va trubaning kesimlari, dh - mos keladigan idishdagi suyuqlikning balandligi dx bir vaqtning o'zida kamayadigan naychada dt:

{ displaystyle {dx} = - {A , dh over a}}

{ displaystyle {dx over dt} = - {A , dh over a , dt} = { sqrt {2gh}}}

{ displaystyle Rightarrow - {A , dh over a { sqrt {2gh}}} = dt}

{ displaystyle Rightarrow - {A over a { sqrt {2g}}} int _ {h_ {1}} ^ {h_ {2}} { frac {dh} { sqrt {h}}} = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} dt}

{ displaystyle Rightarrow {2A over a { sqrt {2g}}} ({ sqrt {h_ {1}}} - { sqrt {h_ {2}}}) = t_ {2} -t_ { 1} = Delta t}

{ displaystyle Rightarrow Delta t = {2A over a { sqrt {2g}}} ({ sqrt {h_ {1}}} - { sqrt {h_ {2}}})}

suvni balandlikdan bo'shatish uchun zarur bo'lgan vaqt h₁ ga h₂ idishda, qaerda h₁ > h₂. Ushbu formuladan suv soatini kalibrlash uchun foydalanish mumkin. Idishning to'liq quritilishi uchun, ${ displaystyle h_ {2}}$ 0 ga o'rnatildi:

{ displaystyle Delta t = {2A over a { sqrt {2g}}} { sqrt {h_ {1}}}}

Chiqib ketish koeffitsienti

Agar tankni bo'shatish jarayoni haqidagi nazariy bashoratlarni haqiqiy o'lchov bilan taqqoslasak, ba'zi hollarda juda katta farqlarni topish mumkin. Aslida, tank odatda ancha sekin oqadi. Haqiqatan ham o'lchangan oqim hajmiga yaxshiroq yaqinlashish uchun amalda deşarj koeffitsienti qo'llaniladi:

${ displaystyle { displaystyle { nuqta {V}} _ { text {real}} = mu cdot { dot {V}} _ { text {ideal}}}}$

Chiqarish koeffitsienti suyuqlikning yopishqoq harakati tufayli chiqindilarni tezligini pasayishini ham ("tezlik koeffitsienti") va vena kontraktasi ("qisqarish koeffitsienti") tufayli samarali chiqib ketish kesimining kamayishini hisobga oladi. ). Tankdagi dumaloq teshikdan oqib chiqadigan past yopishqoqlikdagi suyuqliklar uchun (masalan, suv), chiqish koeffitsienti 0,65 tartibda^[2]. Dumaloq trubkali rozetkalardan foydalanib, zaryadsizlanish koeffitsienti 0,9 dan oshishi mumkin. To'rtburchak teshiklar uchun bo'shliq koeffitsienti balandlik va kenglik nisbatiga qarab 0,67 gacha bo'lishi mumkin.

Klepsidra muammosi

Kiruvchi klipsidra

A klepsidra suv oqimi bilan vaqtni o'lchaydigan soat. U pastki qismida suv chiqishi mumkin bo'lgan kichik tuynukli qozondan iborat. Qochib ketadigan suv miqdori vaqt o'lchovini beradi. Torricelli qonuni tomonidan berilganidek, tuynuk orqali oqish tezligi suv balandligiga bog'liq; va suv sathining pasayishi bilan oqim bir xil emas. Oddiy echim suvning balandligini doimiy ravishda ushlab turishdir. Bunga doimiy ravishda suv oqimini idishga solib qo'yish orqali erishish mumkin, uning to'kilishi tepadan, boshqa teshikdan chiqib ketishiga yo'l qo'yiladi. Shunday qilib, doimiy balandlikka ega bo'lgan holda, pastki qismdan chiqadigan suv vaqtni o'lchash uchun bir xil gradusli boshqa silindrsimon idishda to'planishi mumkin. Bu oqim klepsidrasi.

Shu bilan bir qatorda, idish shaklini sinchkovlik bilan tanlab, idishdagi suv sathini doimiy tezlikda pasayishiga erishish mumkin. Idishdagi suv miqdorini o'lchab, vaqtni bir xil bitiruv bilan o'lchash mumkin. Klepsidraning chiqib ketishiga misol. Suv sathi balandroq bo'lganida (ko'proq bosim tufayli) suvning chiqish tezligi yuqori bo'lganligi sababli, suv darajasi yuqori bo'lganida suyuqlik hajmi oddiy tsilindrdan ko'proq bo'lishi kerak. Ya'ni, suv sathi balandroq bo'lganda radius kattaroq bo'lishi kerak. Radiusga ruxsat bering ${ displaystyle r}$ suv sathining balandligi bilan ortadi ${ displaystyle h}$ maydonning chiqish teshigi ustida ${ displaystyle a.}$ Anavi, ${ displaystyle r = f (h)}$ . Biz radiusni shunday topmoqchimizki, suv sathi doimiy pasayish tezligiga ega, ya'ni. ${ displaystyle dh / dt = c}$ .

Berilgan suv sathida ${ displaystyle h}$ , suv sathining maydoni ${ displaystyle A = pi r ^ {2}}$ . Suv hajmining bir lahzalik o'zgarish tezligi

{ displaystyle { frac {dV} {dt}} = A { frac {dh} {dt}} = pi r ^ {2} c.}

Torricelli qonunidan chiqib ketish tezligi

{ displaystyle { frac {dV} {dt}} = av = a { sqrt {2gh}},}

Ushbu ikkita tenglamadan

{ displaystyle { begin {aligned} a { sqrt {2gh}} & = pi r ^ {2} c Rightarrow quad h & = { frac { pi ^ {2} c ^ {2} } {2ga ^ {2}}} r ^ {4}. End {hizalangan}}}

Shunday qilib, idishning radiusi uning balandligining kvartik ildiziga mutanosib ravishda o'zgarishi kerak, ${ displaystyle r propto { sqrt [{4}] {h}}.}$

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Sputing silindrli suyuqlik oqimi.
^ tec-science (2019-11-21). "Suyuqliklarni chiqarish (Torricelli qonuni)". ilm-fan. Olingan 2019-12-08.

Qo'shimcha o'qish

T. E. Faber (1995). Fiziklar uchun suyuqlik dinamikasi. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN 978-0-521-42969-6.
Stenli Medmanman, Suyuqlik dinamikasiga kirish: tahlil qilish va loyihalash tamoyillari (John Wiley & Sons, 1997) ISBN 978-0-471-18209-2
Dennis G. Zill (2008 yil 14-may). Differentsial tenglamalarning birinchi kursi. O'qishni to'xtatish. ISBN 978-0-495-10824-5.

[1] Sputing silindrli suyuqlik oqimi.

[2] tec-science (2019-11-21). "Suyuqliklarni chiqarish (Torricelli qonuni)". ilm-fan. Olingan 2019-12-08.

[1]

[2]