Transfer operatori - Transfer operator

Transfer operatori quyidagilardan farq qiladi gomomorfizmni uzatish.

Yilda matematika, uzatish operatori haqida ma'lumotni kodlaydi takrorlangan xarita va xatti-harakatlarini o'rganish uchun tez-tez ishlatiladi dinamik tizimlar, statistik mexanika, kvant betartibligi va fraktallar. Barcha odatiy holatlarda eng katta xususiy qiymat 1 ga, mos keladigan xususiy vektor esa o'zgarmas o'lchov tizimning.

Transfer operatori ba'zida Ruelle operatori, keyin Devid Ruel yoki Ruelle-Perron-Frobenius operatori, ning qo'llanilishi haqida Perron-Frobenius teoremasi ning aniqlanishiga o'zgacha qiymatlar operatorning.

Ta'rif

O'rganiladigan takrorlanadigan funktsiya xaritadir ${ displaystyle f colon X rightarrow X}$ o'zboshimchalik bilan to'plam uchun ${ displaystyle X}$.

Transfer operatori operator sifatida aniqlanadi ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ funktsiyalar maydonida harakat qilish ${ displaystyle { Phi colon X rightarrow mathbb {C} }}$ kabi

${ displaystyle ({ mathcal {L}} Phi) (x) = sum _ {y in f ^ {- 1} (x)} g (y) Phi (y)}$

qayerda ${ displaystyle g colon X rightarrow mathbb {C}}$ yordamchi baholash funktsiyasi hisoblanadi. Qachon ${ displaystyle f}$ bor Jacobian aniqlovchi ${ displaystyle | J |}$, keyin ${ displaystyle g}$ odatda shunday qabul qilinadi ${ displaystyle g = 1 / | J |}$.

O'tkazish operatorining yuqoridagi ta'rifi o'lchov-nazariyning nuqta bilan belgilangan chegarasi sifatida ko'rsatilishi mumkin oldinga ning g: mohiyati bo'yicha, transfer operatori to'g'ridan-to'g'ri tasvir funktsiyasi toifasida o'lchanadigan bo'shliqlar. Frobenius – Perron operatorining chap tomoni bu Koopman operatori yoki kompozitsion operator. Umumiy parametr Borel funktsional hisob-kitobi.

Umumiy qoida bo'yicha, transfer operatori odatda (chapda) deb talqin qilinishi mumkinsmena operatori harakat qilish a siljish maydoni. Eng ko'p o'rganilgan siljishlar bu chekli turdagi pastki siljishlar. O'tkazish operatorining qo'shma qismi, odatda, o'ng siljish sifatida talqin qilinishi mumkin. Ayniqsa, yaxshi o'rganilgan o'ng siljishlarga quyidagilar kiradi Jakobi operatori va Gessenberg matritsasi, ikkalasi ham tizimlarini yaratadi ortogonal polinomlar o'ng siljish orqali.

Ilovalar

Holbuki, funktsiya takrorlanishi ${ displaystyle f}$ tabiiy ravishda iteratsiya ostida X nuqtalari orbitalarini o'rganishga olib keladi (ning o'rganilishi nuqta dinamikasi ), uzatuvchi operator xaritalarning iteratsiya ostida qanday (silliq) rivojlanishini aniqlaydi. Shunday qilib, transfer operatorlari odatda paydo bo'ladi fizika kabi muammolar kvant betartibligi va statistik mexanika, bu erda e'tibor yumshoq funktsiyalarning vaqt evolyutsiyasiga qaratilgan. O'z navbatida, bu tibbiy dasturlarga ega ratsional dori dizayni maydoni orqali molekulyar dinamikasi.

Transfer operatori ijobiy, diskret ijobiy real qiymatga ega bo'lgan holatlar ko'p uchraydi o'zgacha qiymatlar, eng katta xususiy qiymat birga teng. Shu sababli, transfer operatori ba'zan Frobenius – Perron operatori deb ham ataladi.

The o'ziga xos funktsiyalar transfer operatorining odatda fraktallaridir. Transfer operatorining logarifmi kvantga to'g'ri kelganda Hamiltoniyalik, o'z qiymatlari odatda juda yaqin joylashgan bo'ladi va shu bilan hatto juda tor va puxta tanlangan bo'ladi ansambl kvant holatlari nolga teng bo'lmagan juda ko'p turli xil fraktal xususiy davlatlarni qamrab oladi qo'llab-quvvatlash butun hajmda. Bu klassik statistik mexanikaning ko'plab natijalarini, shu jumladan vaqtning qaytarilmasligini va o'sishini tushuntirish uchun ishlatilishi mumkin entropiya.

Ning uzatish operatori Bernulli xaritasi ${ displaystyle b (x) = 2x- lfloor 2x rfloor}$ to'liq hal etiladigan va klassik namunasidir deterministik xaos; diskret xos qiymatlar ga mos keladi Bernulli polinomlari. Ushbu operator shuningdek, dan tashkil topgan doimiy spektrga ega Hurwitz zeta funktsiyasi.

Gauss xaritasining uzatish operatori ${ displaystyle h (x) = 1 / x- lfloor 1 / x rfloor}$ deyiladi Gauss-Kuzmin-Wirsing (GKW) operatori va g'ayrioddiy qiyinligi sababli, to'liq hal qilinmagan. GKW nazariyasi Gauss gipotezasidan kelib chiqadi davom etgan kasrlar bilan chambarchas bog'liq Riemann zeta funktsiyasi.

Shuningdek qarang

• Bernulli sxemasi
• Sonli turdagi siljish
• Kerin-Rutman teoremasi

Adabiyotlar

• Per Gaspard (1998). Xaos, tarqalish va statistik mexanika. Kembrij universiteti matbuoti.
• Devid Ruelle (1978). Termodinamik formalizm: klassik muvozanat statistik mexanikasining matematik tuzilmalari. Addison-Uesli, o'qish. ISBN  0-201-13504-3.
• Diter H. Mayer (1978). Klassik statistik mexanikada Ruelle-Araki transfer operatori. Springer-Verlag. ISBN  0-387-09990-5.
• Devid Ruelle, Dinamik Zeta funktsiyalari va uzatish operatorlari, (2002) Institut des Hautes Etudes Scientifiques IHES / M / 02/66 nashr etishdan oldin. (Kirish so'rovnomasini taqdim etadi).
• Maykl C. Maki, Vaqt o'qi, termodinamik xatti-harakatlarning kelib chiqishi, Springer-Verlag, 1992 yil