Bir xil cheklov - Uniform boundedness

Yilda matematika, a bir xil chegaralangan oila ning funktsiyalari oila cheklangan funktsiyalar barchasi bir xil doimiy bilan chegaralanishi mumkin. Ushbu doimiy doimiy qiymatdan kattaroqdir mutlaq qiymat oiladagi har qanday funktsiyalarning har qanday qiymatining.

Ta'rif

Haqiqiy chiziq va murakkab tekislik

Ruxsat bering

{ displaystyle { mathcal {F}} = {f_ {i}: X dan K gacha, i da I }}

funktsiyalar oilasi bo'lish indekslangan tomonidan ${ displaystyle I}$ , qayerda ${ displaystyle X}$ ixtiyoriy to'plam va ${ displaystyle K}$ ning to'plami haqiqiy yoki murakkab sonlar. Biz qo'ng'iroq qilamiz ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ bir xil chegaralangan agar haqiqiy raqam mavjud bo'lsa ${ displaystyle M}$ shu kabi

{ displaystyle | f_ {i} (x) | leq M qquad forall i in I quad forall x in X}

Metrik bo'shliq

Umuman olganda ruxsat bering ${ displaystyle Y}$ bo'lishi a metrik bo'shliq metrik bilan ${ displaystyle d}$ , keyin to'plam

{ displaystyle { mathcal {F}} = {f_ {i}: X dan Y gacha, i da I }}

deyiladi bir xil chegaralangan agar element mavjud bo'lsa ${ displaystyle a}$ dan ${ displaystyle Y}$ va haqiqiy raqam ${ displaystyle M}$ shu kabi

{ displaystyle d (f_ {i} (x), a) leq M qquad forall i in I quad forall x in X})

Misollar

Har bir bir xil konvergent chegaralangan funktsiyalar ketma-ketligi bir tekis chegaralangan.
Funktsiyalar oilasi ${ displaystyle f_ {n} (x) = sin nx}$ uchun belgilangan haqiqiy ${ displaystyle x}$ bilan ${ displaystyle n}$ orqali sayohat qilish butun sonlar, 1 ga teng chegaralangan.
Oilasi hosilalar yuqoridagi oiladan, ${ displaystyle f '_ {n} (x) = n , cos nx,}$ bu emas bir xil chegaralangan. Har biri ${ displaystyle f '_ {n}}$ bilan chegaralangan ${ displaystyle | n |,}$ ammo haqiqiy raqam yo'q ${ displaystyle M}$ shu kabi ${ displaystyle | n | leq M}$ barcha butun sonlar uchun ${ displaystyle n.}$

Adabiyotlar

Ma, Tsoy-Vu (2002). Banax-Hilbert bo'shliqlari, vektor o'lchovlari, guruh vakolatxonalari. Jahon ilmiy. p. 620 pp. ISBN 981-238-038-8.