Saylovchilar modeli - Voter model

Ushbu maqolada a foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati, tegishli o'qish yoki tashqi havolalar, ammo uning manbalari noma'lum bo'lib qolmoqda, chunki u etishmayapti satrda keltirilgan. Iltimos yordam bering yaxshilash tomonidan ushbu maqola tanishtirish aniqroq iqtiboslar. (2012 yil iyun) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Ning matematik nazariyasida ehtimollik, saylovchilar modeli bu o'zaro ta'sir qiluvchi zarralar tizimi Richard A. Xolli va tomonidan kiritilgan Tomas M. Liggett 1975 yilda^[1].

saylovchilar modeli grafikada ikkita klaster bilan birga yashaydi

Bog'langan grafikaning har bir nuqtasida "saylovchi" borligini tasavvur qilish mumkin, bu erda ulanishlar juftlik saylovchilari (tugunlari) o'rtasida o'zaro ta'sirning qandaydir shakli mavjudligini ko'rsatadi. Har qanday saylovchining ba'zi masalalar bo'yicha fikri qo'shnilarining fikri ta'sirida tasodifiy vaqtlarda o'zgarib turadi. Saylovchining fikri istalgan vaqtda 0 va 1 deb belgilangan ikkita qiymatdan birini olishi mumkin, tasodifiy vaqtda tasodifiy shaxs tanlanadi va stoxastik qoidaga binoan saylovchining fikri o'zgartiriladi. Xususan, tanlangan saylovchi qo'shnilaridan biri uchun tanlangan^{[tushuntirish kerak ]} berilgan ehtimolliklar to'plami bo'yicha va ushbu shaxsning fikri tanlangan saylovchiga o'tkaziladi.

Muqobil talqin - bu kosmik ziddiyat nuqtai nazaridan. Faraz qilaylik, ikki davlat 0 yoki 1 deb belgilangan maydonlarni (tugunlar to'plamlarini) nazorat qiladi. Belgilangan joyda 0 dan 1 gacha siljish boshqa millat tomonidan ushbu saytni bosib olganligini bildiradi.

E'tibor bering, har safar faqat bitta varaqa bo'ladi. Saylovchilar modeli bilan bog'liq muammolar ko'pincha ikki tomonlama tizim nuqtai nazaridan qayta tiklanadi^{[tushuntirish kerak ]} birlashish^{[tushuntirish kerak ]} Markov zanjirlari. Ko'pincha, bu muammolar mustaqil Markov zanjirlari bilan bog'liq bo'lganlar uchun kamayadi.

Ta'rif

Saylovchilar modeli - bu (doimiy vaqt) Markov jarayoni ${ displaystyle eta _ {t}}$ davlat maydoni bilan ${ displaystyle S = {0,1 } ^ {Z ^ {d}}}$ va o'tish stavkalari ishlaydi ${ displaystyle c (x, eta)}$, qayerda ${ displaystyle Z ^ {d}}$ d o'lchovli butun sonli panjaradir va ${ displaystyle c (}$•,•${ displaystyle)}$ funktsiyasi sifatida manfiy bo'lmagan, bir xil chegaralangan va uzluksiz deb qabul qilinadi ${ displaystyle eta}$ mahsulot topologiyasida ${ displaystyle S}$. Har bir komponent ${ displaystyle eta in S}$ konfiguratsiya deb nomlanadi. Buni aniq qilish uchun ${ displaystyle eta (x)}$ konfiguratsiyadagi x sayt qiymatini anglatadi ${ displaystyle eta (.)}$; esa ${ displaystyle eta _ {t} (x)}$ konfiguratsiyadagi x sayt qiymatini bildiradi ${ displaystyle eta (.)}$ vaqtida ${ displaystyle t}$.

Jarayonning dinamikasi to'plami bilan belgilanadi o'tish stavkalari. Saylovchilarning modellari uchun stavkaning tezligi ${ displaystyle scriptstyle x}$ 0 dan 1 gacha yoki aksincha funktsiya bilan beriladi ${ displaystyle c (x, eta)}$ sayt ${ displaystyle x}$. U quyidagi xususiyatlarga ega:

1. ${ displaystyle c (x, eta) = 0}$ har bir kishi uchun ${ displaystyle x in Z ^ {d}}$ agar ${ displaystyle eta equiv 0}$ yoki agar ${ displaystyle eta equiv 1}$
2. ${ displaystyle c (x, eta) = c (x, zeta)}$ har bir kishi uchun ${ displaystyle x in Z ^ {d}}$ agar ${ displaystyle eta (y) + zeta (y) = 1}$ Barcha uchun ${ displaystyle y in Z ^ {d}}$
3. ${ displaystyle c (x, eta) leq c (x, zeta)}$ agar ${ displaystyle eta leq zeta}$ va ${ displaystyle eta (x) = zeta (x) = 0}$
4. ${ displaystyle c (x, eta)}$ smenada o'zgarmasdir ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$

Mulk (1) buni aytadi ${ displaystyle eta equiv 0}$ va ${ displaystyle eta equiv 1}$ evolyutsiyaning aniq nuqtalari. (2) evolyutsiyaning 0 va 1 ning rollarini almashtirib o'zgarmasligini bildiradi. Mulkda (3), ${ displaystyle eta leq zeta}$ degani ${ displaystyle forall x, eta (x) leq zeta (x)}$va ${ displaystyle eta leq zeta}$ nazarda tutadi ${ displaystyle c (x, eta) leq c (x, zeta)}$ agar ${ displaystyle eta (x) = zeta (x) = 0}$va shuni nazarda tutadi ${ displaystyle c (x, eta) geq c (x, zeta)}$ agar ${ displaystyle eta (x) = zeta (x) = 1}$.

Klasterlash va birga yashash

Bizni qiziqtirgan narsa - bu modellarning cheklangan harakati. Saytning flip stavkalari qo'shnilariga bog'liq bo'lganligi sababli, barcha saytlar bir xil qiymatga ega bo'lganda, butun tizim abadiy o'zgarishni to'xtatishi aniq. Shu sababli, saylovchilar modeli ikkita ahamiyatsiz ekstremal statsionar tarqatishlarga ega - bu massa ${ displaystyle scriptstyle delta _ {0}}$ va ${ displaystyle scriptstyle delta _ {1}}$ kuni ${ displaystyle scriptstyle eta equiv 0}$ yoki ${ displaystyle scriptstyle eta equiv 1}$ mos ravishda, bu konsensusni anglatadi. Biz muhokama qiladigan asosiy savol - bu muvozanat sharoitida turli xil fikrlarning birgalikdagi yashashini anglatadigan boshqalar mavjudmi yoki yo'qmi. Biz buni aytamiz birgalikda yashash cheksiz ko'p 0 va 1 ga ega konfiguratsiyalarga yo'naltirilgan statsionar taqsimot mavjud bo'lsa paydo bo'ladi. Boshqa tomondan, agar hamma uchun bo'lsa ${ displaystyle scriptstyle x, y in Z ^ {d}}$ va barcha dastlabki konfiguratsiyalar bizda:

${ displaystyle lim _ {t rightarrow infty} P [ eta _ {t} (x) neq eta _ {t} (y)] = 0}$

biz buni aytamiz klasterlash sodir bo'ladi.

Ajratish muhimdir klasterlash tushunchasi bilan klaster. Klasterlar ning bog'langan komponentlari sifatida aniqlanadi ${ displaystyle scriptstyle {x: eta (x) = 0 }}$ yoki ${ displaystyle scriptstyle {x: eta (x) = 1 }}$.

Saylovchilarning chiziqli modeli

Model tavsifi

Ushbu bo'lim saylovchilarning asosiy modellaridan biri - Saylovchilarning Lineer Modeliga bag'ishlanadi.

Ruxsat bering ${ displaystyle scriptstyle p (}$•,•${ displaystyle scriptstyle)}$ kamaytirilmaydigan uchun o'tish ehtimoli bo'lishi tasodifiy yurish kuni ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$va bizda:

${ displaystyle p (x, y) geq 0 quad { text {and}} sum _ {y} p (x, y) = 1}$

Keyin saylovchilarning Lineer modelida o'tish stavkalari chiziqli funktsiyalardir ${ displaystyle scriptstyle eta}$:

${ displaystyle c (x, eta) = left {{ begin {array} {l} sum _ {y} p (x, y) eta (y) quad { text {for all}} } quad eta (x) = 0 sum _ {y} p (x, y) (1- eta (y)) quad { text {for all}} quad eta (x) = 1 end {array}} right.}$

Yoki biz foydalanadigan bo'lsak ${ displaystyle scriptstyle eta _ {x}}$ saytida flip sodir bo'lishini ko'rsatish uchun ${ displaystyle scriptstyle x}$, o'tish stavkalari shunchaki:

${ displaystyle eta rightarrow eta _ {x} quad { text {rate at}} sum _ {y: eta (y) neq eta (x)} p (x, y).}$

Biz tasodifiy yurishni birlashtirish jarayonini aniqlaymiz ${ displaystyle scriptstyle A_ {t} subset Z ^ {d}}$ quyidagicha. Bu yerda ${ displaystyle scriptstyle A_ {t}}$ vaqtida tasodifiy yurish bilan band bo'lgan saytlar to'plamini bildiradi ${ displaystyle scriptstyle t}$. Belgilash uchun ${ displaystyle scriptstyle A_ {t}}$, tasodifiy yurishni bir necha (doimiy vaqt) ko'rib chiqing ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$ birlikni eksponent tutish vaqtlari va o'tish ehtimoli bilan ${ displaystyle scriptstyle p (}$•,•${ displaystyle scriptstyle)}$va ikkitasi uchrashguncha ularni mustaqil bo'lishga olib boring. O'sha paytda, ikkalasi birlashib, bitta zarrachaga aylanadi va ular o'tish ehtimoli bilan tasodifiy yurish kabi harakat qilishni davom ettiradi ${ displaystyle scriptstyle p (}$•,•${ displaystyle scriptstyle)}$ .

Tushunchasi Ikkilik saylovchilar modellarining xatti-harakatlarini tahlil qilish uchun juda muhimdir. Saylovchilarning chiziqli modellari ikkilikning juda foydali shaklini qondiradi ikkilikni birlashtirish, bu:

${ displaystyle P ^ { eta} ( eta _ {t} equiv 1 quad { text {on}} A) = P ^ {A} ( eta (A_ {t}) equiv 1), }$

qayerda ${ displaystyle scriptstyle eta in {0,1 } ^ {Z ^ {d}}}$ ning boshlang'ich konfiguratsiyasi ${ displaystyle scriptstyle eta _ {t}}$ va ${ displaystyle scriptstyle A = {x in Z ^ {d}, eta (x) = 1 } subset Z ^ {d}}$ tasodifiy yurishning birlashayotgan dastlabki holatidir ${ displaystyle scriptstyle A_ {t}}$.

Saylovchilarning chiziqli modellarining xatti-harakatlarini cheklash

Ruxsat bering ${ displaystyle scriptstyle p (x, y)}$ kamayib bo'lmaydigan tasodifiy yurish uchun o'tish ehtimoli bo'lishi ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$ va ${ displaystyle scriptstyle p (x, y) = p (0, x-y)}$Shunday qilib, saylovchilarning bunday chiziqli modellari uchun ikkilik munosabati buni aytadi ${ displaystyle scriptstyle forall eta in S = {0,1 } ^ {Z ^ {d}}}$

${ displaystyle P ^ { eta} [ eta _ {t} (x) neq eta _ {t} (y)] = P [ eta (X_ {t}) neq eta (Y_ {t) })]}$

qayerda ${ displaystyle scriptstyle X_ {t}}$ va ${ displaystyle scriptstyle Y_ {t}}$ bor (doimiy vaqt) tasodifiy yurish ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$ bilan ${ displaystyle scriptstyle X_ {0} = x}$, ${ displaystyle scriptstyle Y_ {0} = y}$va ${ displaystyle scriptstyle eta (X_ {t})}$ bu tasodifiy yurish vaqtida olingan pozitsiyadir ${ displaystyle scriptstyle t}$. ${ displaystyle scriptstyle X_ {t}}$ va ${ displaystyle scriptstyle Y_ {t}}$ oxirida tasvirlangan birlashuvchi tasodifiy yurishlarni hosil qiladi 2.1 bo'lim. ${ displaystyle scriptstyle X (t) -Y (t)}$ nosimmetrik tasodifiy yurishdir. Agar ${ displaystyle scriptstyle X (t) -Y (t)}$ takrorlanuvchi va ${ displaystyle scriptstyle d leq 2}$, ${ displaystyle scriptstyle X_ {t}}$ va ${ displaystyle scriptstyle Y_ {t}}$ oxir-oqibat 1 ehtimolligi bilan uriladi va shuning uchun

${ displaystyle P ^ { eta} [ eta _ {t} (x) neq eta _ {t} (y)] = P [ eta (X_ {t}) neq eta (Y_ {t) })] leq P [X_ {t} neq Y_ {t}] rightarrow 0 quad { text {as}} quad t to 0}$

Shuning uchun jarayon klasterlari.

Boshqa tomondan, qachon ${ displaystyle d geq 3}$, tizim birgalikda mavjud. Buning sababi ${ displaystyle scriptstyle d geq 3}$, ${ displaystyle scriptstyle X (t) -Y (t)}$ vaqtinchalik, shuning uchun tasodifiy yurishlar hech qachon urilmasligi va shuning uchun ijobiy ehtimoli bor ${ displaystyle scriptstyle x neq y}$

${ displaystyle lim _ {t rightarrow infty} P [ eta _ {t} (x) neq eta _ {t} (y)] = C lim _ {t rightarrow infty} P [ X_ {t} neq Y_ {t}]> 0}$

ba'zi bir doimiy uchun ${ displaystyle C}$ dastlabki taqsimotga mos keladi.

Endi ruxsat bering ${ displaystyle scriptstyle { tilde {X}} (t) = X (t) -Y (t)}$ nosimmetrik tasodifiy yurish bo'ling, bizda quyidagi teoremalar mavjud:

Teorema 2.1

Saylovchilarning chiziqli modeli ${ displaystyle scriptstyle eta _ {t}}$ klasterlar, agar ${ displaystyle scriptstyle { tilde {X}} _ {t}}$ takrorlanuvchi va agar mavjud bo'lsa ${ displaystyle scriptstyle { tilde {X}} _ {t}}$ vaqtinchalik. Jumladan,

1. agar jarayon klasterlari ${ displaystyle scriptstyle d = 1}$ va ${ displaystyle scriptstyle sum _ {x} | x | p (0, x) leq infty}$yoki agar bo'lsa ${ displaystyle scriptstyle d = 2}$ va ${ displaystyle scriptstyle sum _ {x} | x | ^ {2} p (0, x) leq infty}$;
2. agar jarayon bir vaqtda mavjud bo'lsa ${ displaystyle scriptstyle d geq 3}$.

Izohlar: Buni keyingi bobda muhokama qilinadigan saylovchilarning pol modellari bilan taqqoslash uchun, chiziqli saylovchilar modellari klasterlari yoki birgalikda yashashi oraliq hajmiga emas, balki faqat saytlar to'plamining o'lchamiga bog'liqligini unutmang. o'zaro ta'sir.

Teorema 2.2Aytaylik ${ displaystyle scriptstyle mu}$ har qanday tarjimani fazoviy ravishda ergodik va o'zgarmas ehtimollik o'lchovi davlat makonida ${ displaystyle scriptstyle S = {0,1 } ^ {Z ^ {d}}}$, keyin

1. Agar ${ displaystyle scriptstyle { tilde {X}} _ {t}}$ keyin takrorlanadi ${ displaystyle scriptstyle mu S (t) Rightarrow rho delta _ {1} + (1- rho) delta _ {0} quad { text {as}} quad t to infty }$;
2. Agar ${ displaystyle scriptstyle { tilde {X}} _ {t}}$ vaqtinchalik, keyin ${ displaystyle scriptstyle mu S (t) Rightarrow mu _ { rho}}$.

qayerda ${ displaystyle scriptstyle mu S (t)}$ ning taqsimlanishi ${ displaystyle scriptstyle eta _ {t}}$; ${ displaystyle scriptstyle Rightarrow}$ zaif yaqinlashishni anglatadi, ${ displaystyle scriptstyle mu _ { rho}}$ noan'anaviy ekstremal invariant o'lchovdir va ${ displaystyle scriptstyle rho = mu ( { eta: eta (x) = 1 })}$.

Saylovchilarning maxsus chiziqli modeli

. Deb nomlanuvchi saylovchilarning chiziqli modelining qiziqarli maxsus holatlaridan biri Asosiy saylovchilarning chiziqli modeli, bu davlat makoni uchun ${ displaystyle scriptstyle {0,1 } ^ {Z ^ {d}}}$:

${ displaystyle p (x, y) = { begin {case} 1/2d & { text {if}} | xy | = 1 { text {and}} eta (x) neq eta (y) [8pt] 0 & { text {aks holda}} end {case}}}$

Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

${ displaystyle eta _ {t} (x) dan 1- eta _ {t} (x) quad { text {stavkasi bo'yicha}} quad (2d) ^ {- 1} | {y: | yx | = 1, eta _ {t} (y) neq eta _ {t} (x) } |}$

Bunday holda, agar jarayon klasterlari ${ displaystyle scriptstyle d leq 2}$, agar birga yashasa ${ displaystyle scriptstyle d geq 3}$. Ushbu ikkilamchi haqiqat bilan chambarchas bog'liq oddiy tasodifiy yurish ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$ agar takrorlansa ${ displaystyle scriptstyle d leq 2}$ va agar vaqtincha bo'lsa ${ displaystyle scriptstyle d geq 3}$.

Bir o'lchovdagi klasterlar d = 1

Bilan maxsus ish uchun ${ displaystyle scriptstyle d = 1}$, ${ displaystyle scriptstyle S = Z ^ {1}}$ va ${ displaystyle scriptstyle p (x, x + 1) = p (x, x-1) = { frac {1} {2}}}$ har biriga ${ displaystyle scriptstyle x}$. Biz bilamiz Teorema 2.2 bu ${ displaystyle scriptstyle mu S (t) Rightarrow rho delta _ {1} + (1- rho) delta _ {0}}$, shuning uchun klasterlash bu holda sodir bo'ladi. Ushbu bo'limning maqsadi ushbu klasterning aniqroq tavsifini berishdir.

Yuqorida aytib o'tilganidek, an ${ displaystyle scriptstyle eta}$ ning bog'langan komponentlari sifatida aniqlanadi ${ displaystyle scriptstyle {x: eta (x) = 0 }}$ yoki ${ displaystyle scriptstyle {x: eta (x) = 1 }}$. The o'rtacha klaster hajmi uchun ${ displaystyle scriptstyle eta}$ quyidagicha aniqlanadi:

${ displaystyle C ( eta) = lim _ {n rightarrow infty} { frac {2n} {{ text {klasterlar soni}} [- n, n]}}}$

chegara mavjud bo'lgan taqdirda.

Taklif 2.3

Deylik, saylovchilar modeli dastlabki taqsimotda ${ displaystyle scriptstyle mu}$ va ${ displaystyle scriptstyle mu}$ tarjima o'zgarmas ehtimollik o'lchovidir, keyin

${ displaystyle P chap (C ( eta) = { frac {1} {P [ eta _ {t} (0) neq eta _ {t} (1)]}} o'ng) = 1 .}$

Kasb vaqti

Saylovchilarning asosiy chiziqli modelining ish vaqtining funktsiyalarini quyidagicha aniqlang:

${ displaystyle T_ {t} ^ {x} = int _ {0} ^ {t} eta _ {s} ^ { rho} (x) mathrm {d} s.}$

Teorema 2.4

Barcha sayt uchun $ x $ va $ t $, ${ displaystyle scriptstyle P ( eta _ {t} (x) = 1) = rho}$, keyin kabi ${ displaystyle scriptstyle t rightarrow infty}$, ${ displaystyle scriptstyle T_ {t} ^ {x} / t ​​rightarrow rho}$ deyarli aniq agar ${ displaystyle scriptstyle d geq 2}$

dalil

By Chebyshevning tengsizligi va Borel-Cantelli lemma, biz quyidagi tenglamani olishimiz mumkin:

${ displaystyle P chap ({ frac { rho} {r}} leq lim inf _ {t rightarrow infty} { frac {T_ {t}} {t}} leq lim sup _ {t rightarrow infty} { frac {T_ {t}} {t}} leq rho r right) = 1; quad forall r> 1}$

Teorema ruxsat berish paytida kuzatiladi ${ displaystyle scriptstyle r searrow 1}$.

Saylovchilarning pol modeli

Model tavsifi

Ushbu bo'limda biz saylovchilarning chiziqli bo'lmagan modellariga e'tibor qaratamiz saylovchilarning pol chegarasi.

Buni aniqlash uchun ruxsat bering ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {N}}}$ ning mahallasi bo'ling ${^ displaystyle scriptstyle 0 in Z ^ {d}}$ kesishgan holda olinadi ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$ har qanday ixcham, qavariq, nosimmetrik o'rnatilgan ${ displaystyle scriptstyle R ^ {d}}$; boshqacha qilib aytganda, ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {N}}}$ barcha aks ettirishlarga nisbatan nosimmetrik bo'lgan va kamaytirilmaydigan (ya'ni u yaratadigan guruh) cheklangan to'plam deb taxmin qilinadi. ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$) Biz har doim buni taxmin qilamiz ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {N}}}$ barcha birlik vektorlarini o'z ichiga oladi ${ displaystyle scriptstyle (1,0,0, nuqta, 0), nuqta, (0, nuqta, 0,1)}$. Ijobiy tamsayı uchun ${ displaystyle scriptstyle T}$, mahalla bilan saylovchilarning pol chegarasi ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {N}}}$ va eshik ${ displaystyle scriptstyle T}$ darajasi funktsiyasiga ega:

${ displaystyle c (x, eta) = left {{ begin {array} {l} 1 quad { text {if}} quad | {y in x + { mathcal {N}} : eta (y) neq eta (x) } | geq T 0 quad { text {aks holda}} end {array}} right.}$

Oddiy qilib aytganda, saytning o'tish tezligi ${ displaystyle scriptstyle x}$ bir xil qiymatga ega bo'lmagan saytlar soni katta bo'lsa yoki pol chegarasiga teng bo'lsa 1, agar aks holda sayt ${ displaystyle scriptstyle x}$ joriy holatida qoladi va aylantirilmaydi.

Masalan, agar ${ displaystyle scriptstyle d = 1}$, ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {N}} = {- 1,0,1 }}$ va ${ displaystyle scriptstyle T = 2}$, keyin konfiguratsiya ${ displaystyle scriptstyle dots 1 quad 1 quad 0 quad 0 quad 1 quad 1 quad 0 quad 0 dots}$ yutish holati yoki jarayon uchun tuzoq.

Ovoz beruvchilarning pol chegarasi xatti-harakatlarini cheklash

Agar saylovchilarning pol chegarasi modeli aniqlanmagan bo'lsa, biz bu jarayon kichik chegara uchun va katta chegara uchun klaster birga bo'lishini kutishimiz kerak, bu erda katta va kichik mahalla kattaligiga nisbatan deb talqin etiladi, ${ displaystyle scriptstyle | { mathcal {N}} |}$. Sezgi shundan iboratki, kichik chegaraga ega bo'lish, aylantirishni osonlashtiradi, shuning uchun har doim ham 0 va 1 ham juda ko'p bo'ladi. Quyidagi uchta asosiy natijalar:

1. Agar ${ displaystyle scriptstyle T> { frac {| { mathcal {N}} | -1} {2}}}$, keyin jarayon har bir sayt faqat tez-tez aylanib yurishi ma'nosida aniqlanadi.
2. Agar ${ displaystyle scriptstyle d = 1}$ va ${ displaystyle scriptstyle T = { frac {| { mathcal {N}} | -1} {2}}}$, keyin jarayon klasterlari.
3. Agar ${ displaystyle scriptstyle T = theta | { mathcal {N}} |}$ bilan ${ displaystyle scriptstyle theta}$ etarlicha kichik (${ displaystyle scriptstyle theta <{ frac {1} {4}}}$) va ${ displaystyle scriptstyle | { mathcal {N}} |}$ etarlicha katta bo'lsa, u holda jarayon birga bo'ladi.

Bu erda (1) va (2) xususiyatlariga mos keladigan ikkita teorema mavjud.

Teorema 3.1

Agar ${ displaystyle scriptstyle T> { frac {| { mathcal {N}} | -1} {2}}}$, keyin jarayon aniqlanadi.

Teorema 3.2

Bir o'lchovdagi saylovchilarning pol chegarasi (${ displaystyle scriptstyle d = 1}$) bilan ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {N}} = {- T, nuqtalar, T }, T geq 1}$, klasterlar.

dalil

Isbotning g'oyasi tasodifiy vaqtlarning ikkita ketma-ketligini yaratishdir ${ displaystyle scriptstyle U_ {n}}$, ${ displaystyle scriptstyle V_ {n}}$ uchun ${ displaystyle scriptstyle n geq 1}$ quyidagi xususiyatlarga ega:

1. ${ displaystyle scriptstyle 0 = V_ {0}$,
2. ${ displaystyle scriptstyle {U_ {k + 1} -V_ {k}, k geq 0 }}$ ular bilan bog'liq ${ displaystyle scriptstyle mathrm {E} (U_ {k + 1} -V_ {k}) < infty}$,
3. ${ displaystyle scriptstyle {V_ {k} -U_ {k}, k geq 1 }}$ ular bilan bog'liq ${ displaystyle scriptstyle mathrm {E} (V_ {k} -U_ {k}) = infty}$,
4. (b) va (c) dagi tasodifiy o'zgaruvchilar bir-biridan mustaqil,
5. voqea A =${ displaystyle scriptstyle { eta _ {t} (.)}$ doimiy yonib turadi ${ displaystyle scriptstyle {- T, dots, T } }}$va A tadbir har bir kishi uchun o'tkaziladi ${ displaystyle scriptstyle t in cup _ {k = 1} ^ { infty} [U_ {k}, V_ {k}]}$.

Ushbu qurilish amalga oshirilgandan so'ng, yangilanish nazariyasidan kelib chiqadi

${ displaystyle P (A) geq P (t in cup _ {k = 1} ^ { infty} [U_ {k}, V_ {k}]) to 1 quad { text {as} } quad t to infty}$

Shuning uchun,${ displaystyle scriptstyle lim _ {t rightarrow infty} P ( eta _ {t} (1) neq eta _ {t} (0)) = 0}$, shuning uchun jarayon klasterlari.

Izohlar: (a) Yuqori o'lchovdagi pol modellari, albatta, agar klaster qilmasa ${ displaystyle scriptstyle T = { frac {| { mathcal {N}} | -1} {2}}}$. Masalan, oling ${ displaystyle scriptstyle d = 2, T = 2}$ va ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {N}} = {(0,0), (0,1), (1,0), (0, -1), (- 1,0) }}$. Agar ${ displaystyle scriptstyle eta}$ o'zgaruvchan vertikal cheksiz chiziqlarda doimiy, ya'ni hamma uchun ${ displaystyle scriptstyle i, j}$:

${ displaystyle eta (4i, j) = eta (4i + 1, j) = 1, quad eta (4i + 2, j) = eta (4i + 3, j) = 0}$

u holda hech qanday o'tish sodir bo'lmaydi va jarayon aniqlanadi.

(b) Teorema 3.2, jarayon tuzatilmaydi. Buni ko'rish uchun dastlabki konfiguratsiyani ko'rib chiqing ${ displaystyle scriptstyle dots 000111 dots}$, unda cheksiz ko'p nollardan keyin cheksiz ko'plar keladi. U holda chegaradagi faqat nol va bittasi o'zgarishi mumkin, shunda konfiguratsiya har doim bir xil ko'rinishda bo'ladi, faqat chegara oddiy nosimmetrik tasodifiy yurish kabi harakat qiladi. Ushbu tasodifiy yurishning takrorlanadiganligi, har bir sayt cheksiz tez-tez aylanib yurishini anglatadi.

3-xususiyat shundan dalolat beradiki, saylovchilarning pol chegarasi saylovchilarning chiziqli modellaridan ancha farq qiladi, chunki mahalla unchalik katta bo'lmagan taqdirda ham bir o'lchovda ham mavjud bo'ladi. Chegaraviy model chiziqli holatda bo'lmagan "mahalliy ozchilik" tomon siljishga ega.

Saylovchilarning chegara modellari uchun birgalikda yashashning aksariyat dalillari gibrid model bilan taqqoslashga asoslangan pol bilan aloqa qilish jarayoni parametr bilan ${ displaystyle scriptstyle lambda> 0}$. Bu jarayon davom etmoqda ${ displaystyle scriptstyle [0,1] ^ {Z ^ {d}}}$ flip stavkalari bilan:

${ displaystyle c (x, eta) = left {{ begin {array} {l} lambda quad { text {if}} quad eta (x) = 0 quad { text { va}} | {y in x + { mathcal {N}}: eta (y) = 1 } | geq T; 1 quad { text {if}} quad eta (x ) = 1; 0 quad { text {aks holda}} end {array}} right.}$

Taklif 3.3

Har qanday kishi uchun ${ displaystyle scriptstyle d, { mathcal {N}}}$ va ${ displaystyle scriptstyle T}$, agar pol bilan aloqa qilish jarayoni ${ displaystyle scriptstyle lambda = 1}$ noan'anaviy o'zgarmas o'lchovga ega, keyin saylovchilarning namuna modeli birgalikda mavjud.

Eshikli model T = 1

Ish shunday ${ displaystyle scriptstyle T = 1}$ alohida qiziqish uyg'otadi, chunki bu biz hozirda qaysi modellar birga yashayotganini va qaysi modellar klasterini aniq biladigan yagona holat.

Xususan, biz bir turga qiziqish bildirmoqdamiz Eshik T = 1 bilan model ${ displaystyle scriptstyle c (x, eta)}$ quyidagicha berilgan:

${ displaystyle c (x, eta) = chap {{ begin {array} {l} 1 quad { text {agar mavjud bo'lsa}} quad y quad { text {with}} quad | xy | leq N quad { text {and}} quad eta (x) neq eta (y) 0 quad { text {aks holda}} end {array}}} o'ng.}$

${ displaystyle scriptstyle N}$ deb talqin qilish mumkin radius mahalla ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {N}}}$; ${ displaystyle scriptstyle N}$ mahalla hajmini belgilaydi (ya'ni, agar ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {N}} _ {1} = {- 2, -1,0,1,2 }}$, keyin ${ displaystyle scriptstyle N_ {1} = 2}$; uchun esa ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {N}} _ {2} = {(0,0), (0,1), (1,0), (0, -1), (- 1,0) }}$, mos keladigan ${ displaystyle scriptstyle N_ {2} = 1}$).

By Teorema 3.2, bilan ${ displaystyle scriptstyle d = 1}$ va ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {N}} = {- 1,0,1 }}$ klasterlar. Quyidagi teorema shuni ko'rsatadiki, boshqa barcha tanlovlar uchun ${ displaystyle scriptstyle d}$ va ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {N}}}$, model birgalikda mavjud.

Teorema 3.4

Aytaylik ${ displaystyle scriptstyle N geq 1}$, lekin ${ displaystyle scriptstyle (N, d) neq (1,1)}$. Keyin chegara modeli yoqiladi ${ displaystyle scriptstyle Z ^ {d}}$ parametr bilan ${ displaystyle scriptstyle N}$ birga yashaydi.

Ushbu teoremaning isboti Tomas M. Liggettning "Saylovchilarning pol modellarida birgalikda yashash" nomli maqolasida keltirilgan.

Shuningdek qarang

Izohlar

Adabiyotlar