Zig-zag lemma - Zig-zag lemma

Yilda matematika, ayniqsa gomologik algebra, zig-zag lemma ma'lum bir narsaning mavjudligini tasdiqlaydi uzoq aniq ketma-ketlik ichida homologiya guruhlari albatta zanjirli komplekslar. Natija har birida amal qiladi abeliya toifasi.

Bayonot

Abeliya toifasida (masalan, toifasi kabi) abeliy guruhlari yoki toifasi vektor bo'shliqlari berilgan ustidan maydon ), ruxsat bering ${ displaystyle ({ mathcal {A}}, kısalt _ { bullet}), ({ mathcal {B}}, qismatli _ { bullet} ')}$ va ${ displaystyle ({ mathcal {C}}, kısalt _ { bullet} '')}$ quyidagilarga mos keladigan zanjirli komplekslar bo'ling qisqa aniq ketma-ketlik:

${ displaystyle 0 longrightarrow { mathcal {A}} { stackrel { alpha} { longrightarrow}} { mathcal {B}} { stackrel { beta} { longrightarrow}} { mathcal {C} } longrightarrow 0}$

Bunday ketma-ketlik quyidagilar uchun stenografiyadir komutativ diagramma:

qatorlar qaerda aniq ketma-ketliklar va har bir ustun a zanjirli kompleks.

Zig-zag lemma chegara xaritalari to'plami mavjudligini ta'kidlamoqda

${ displaystyle delta _ {n}: H_ {n} ({ mathcal {C}}) longrightarrow H_ {n-1} ({ mathcal {A}}),}$

bu quyidagi ketma-ketlikni aniq qiladi:

Xaritalar ${ displaystyle alpha _ {*} ^ {}}$ va ${ displaystyle beta _ {*} ^ {}}$ gomologiya keltirib chiqaradigan odatiy xaritalar. Chegaraviy xaritalar ${ displaystyle delta _ {n} ^ {}}$ quyida tushuntirilgan. Lemmaning nomi ketma-ketlikdagi xaritalarning "zig-zag" xatti-harakatlaridan kelib chiqadi. Zig-zag lemmasining variantli versiyasi odatda "ilon lemmasi "(quyida keltirilgan zig-zag lemma isbotining mohiyatini chiqaradi).

Chegaraviy xaritalarni qurish

Xaritalar ${ displaystyle delta _ {n} ^ {}}$ argumentni ta'qib qilishning standart diagrammasi yordamida aniqlanadi. Ruxsat bering ${ displaystyle c C_ {n}} da$ sinfni ifodalaydi ${ displaystyle H_ {n} ({ mathcal {C}})}$, shuning uchun ${ displaystyle kısalt _ {n} '' (c) = 0}$. Qatorning aniqligi shuni anglatadi ${ displaystyle beta _ {n} ^ {}}$ sur'ektivdir, shuning uchun ham ba'zi bo'lishi kerak ${ displaystyle b in B_ {n}}$ bilan ${ displaystyle beta _ {n} ^ {} (b) = c}$. Diagrammaning kommutativligi bo'yicha,

${ displaystyle beta _ {n-1} kısalt _ {n} '(b) = qisman _ {n}' ' beta _ {n} (b) = qisman _ {n}' '(c) ) = 0.}$

Aniqligi bo'yicha,

${ displaystyle kısalt _ {n} '(b) in ker beta _ {n-1} = mathrm {im} alpha _ {n-1}.}$

Shunday qilib, beri ${ displaystyle alpha _ {n-1} ^ {}}$ in'ektsion, noyob element mavjud ${ displaystyle a in A_ {n-1}}$ shu kabi ${ displaystyle alpha _ {n-1} (a) = qismli _ {n} '(b)}$. Bu tsikl, chunki ${ displaystyle alpha _ {n-2} ^ {}}$ in'ektsion va

${ displaystyle alfa _ {n-2} kısalt _ {n-1} (a) = qisman _ {n-1} ' alfa _ {n-1} (a) = qisman _ {n- 1} ' kısmi _ {n}' (b) = 0,}$

beri ${ displaystyle kısmi ^ {2} = 0}$. Anavi, ${ displaystyle kısalt _ {n-1} (a) in ker alpha _ {n-2} = {0 }}$. Buning ma'nosi ${ displaystyle a}$ tsikl, shuning uchun u sinfni ifodalaydi ${ displaystyle H_ {n-1} ({ mathcal {A}})}$. Endi biz aniqlay olamiz

${ displaystyle delta _ {} ^ {} [c] = [a].}$

Belgilangan chegara xaritalari bilan ularning aniq belgilanganligini ko'rsatish mumkin (ya'ni tanlovidan mustaqil) v va b). Dalil yuqoridagi kabi dalillarni ta'qib qilish diagrammasidan foydalanadi. Bunday dalillardan gomologiyada ketma-ketlikning har bir guruhda aniqligini ko'rsatish uchun ham foydalaniladi.

Shuningdek qarang

• Mayer-Vietoris ketma-ketligi

Adabiyotlar

• Xetcher, Allen (2002). Algebraik topologiya. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN  0-521-79540-0.
• Lang, Serj (2002), Algebra, Matematikadan aspirantura matnlari, 211 (Uchinchi tahrirda qayta ko'rib chiqilgan), Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, JANOB  1878556
• Munkres, Jeyms R. (1993). Algebraik topologiyaning elementlari. Nyu-York: Westview Press. ISBN  0-201-62728-0.