Qassoblar guruhi - Butcher group

Yilda matematika, Qassoblar guruhi, Yangi Zelandiya matematikasi nomidan Jon C. Butcher tomonidan Hairer & Wanner (1974), cheksiz o'lchovli Yolg'on guruh^[1] birinchi marta kiritilgan raqamli tahlil chiziqli bo'lmagan echimlarni o'rganish oddiy differentsial tenglamalar tomonidan Runge – Kutta usuli. Bu algebraik formalizmdan kelib chiqqan ildiz otgan daraxtlar beradi rasmiy quvvat seriyalari a oqimini modellashtirishning differentsial tenglamasining echimlari vektor maydoni. Bo'lgandi Keyli (1857), ishi bilan bog'liq Silvestr o'zgaruvchilar o'zgarishi to'g'risida differentsial hisob, kim birinchi bo'lib ta'kidlagan funktsiyalar kompozitsiyasining hosilalari ildiz otgan daraxtlar va ularning kombinatorikasi jihatidan qulay tarzda ifodalanishi mumkin.

Konnes va Kreymer (1999) qassoblar guruhi belgilar guruhi ekanligini ta'kidladi Hopf algebra mustaqil ravishda o'z ishlarida paydo bo'lgan ildiz daraxtlari renormalizatsiya yilda kvant maydon nazariyasi va Konnes bilan ishlash Moskovici mahalliy indeks teoremalari. Ushbu Hopf algebra, ko'pincha Konnes-Kreymer algebra, aslida Butcher guruhiga tengdir, chunki uning dual-ni identifikatsiyalash mumkin universal qoplovchi algebra ning Yolg'on algebra Qassoblar guruhi.^[2] Ular sharhlaganlaridek:

Biz Butcherning raqamli integratsiya usullarini tasniflash bo'yicha ishlarini ta'sirchan misol sifatida ko'rib chiqamiz, bu aniq muammoli ish uzoq kontseptsiya natijalariga olib kelishi mumkin.

Differentsiallar va ildiz otgan daraxtlar

Ikki, uch va to'rtta tugunli ildiz otgan daraxtlar, Keylining asl maqolasidan

Ildizli daraxt a grafik deb nomlangan taniqli tugun bilan ildiz, unda har bir boshqa tugun ildizga noyob yo'l bilan bog'langan. Agar daraxtning ildizi bo'lsa t olib tashlanadi va asl tugunga bitta bog'lanish bilan bog'langan tugunlar yangi ildiz, daraxt sifatida qabul qilinadi t ildiz otgan daraxtlarga bo'linadi t₁, t₂, ... Ushbu jarayonni bekor qilish yangi daraxt t = [t₁, t₂, ...] ni daraxtlarning ildizlarini yangi umumiy ildizga qo'shish orqali qurish mumkin. Daraxtdagi tugunlar soni | bilan belgilanadit|. A uyga buyurtma berish ildiz otgan daraxt t 1 dan | gacha bo'lgan sonlarni taqsimlashdirt| tugunlarga, shuning uchun raqamlar ildizdan uzoqlashadigan har qanday yo'lda ko'payadi. Ikkita uyga buyurtma teng, agar mavjud bo'lsa avtomorfizm bittasini xaritada aks ettiradigan ildiz otgan daraxtlar. Soni ekvivalentlik darslari ma'lum bir daraxtga uyum buyurtmalarini a bilan belgilaydilar (t) va Qassob formulasi yordamida hisoblash mumkin:^[3][4]

${displaystyle displaystyle alfa (t) = {| t |! ustidan t! | S_ {t} |},}$

qayerda S_t belgisini bildiradi simmetriya guruhi ning t va daraxt faktoriali tomonidan rekursiv ravishda aniqlanadi

${displaystyle [t_ {1}, nuqta, t_ {n}]! = | [t_ {1}, nuqta, t_ {n}] | cdot t_ {1}! cdots t_ {n}!}$

ajratilgan ildizning daraxt faktoriali bilan 1 ga belgilangan

${displaystyle ullet! = 1.}$

A oqimi uchun oddiy differentsial tenglama vektor maydoni ochiq ichki to'plamda U ning R^N yozilishi mumkin

${displaystyle displaystyle {dx (s) ds} = f (x (s)) ,,, x (0) = x_ {0},}$

qayerda x(s) qiymatlarni qabul qiladi U, f dan to'g'ri funktsiya U ga R^N va x₀ oqimning boshlang'ich nuqtasi s = 0.

Keyli (1857) yuqori darajadagi hosilalarni hisoblash usulini berdi x^(m)(s) ildiz otgan daraxtlar jihatidan. Uning formulasini elementar differentsiallar Butcher tomonidan kiritilgan. Ular induktiv tarzda belgilanadi

${displaystyle delta _ {ullet} ^ {i} = f ^ {i} ,,,, delta _ {[t_ {1}, nuqtalar, t_ {n}]} ^ {i} = sum _ {j_ {1} , nuqta, j_ {n} = 1} ^ {N} (delta _ {t_ {1}} ^ {j_ {1}} cdots delta _ {t_ {n}} ^ {j_ {n}}) qisman _ { j_ {1}} cdots qisman _ {j_ {n}} f ^ {i}.}$

Ushbu yozuv bilan

${displaystyle {d ^ {m} x over ds ^ {m}} = sum _ {| t | = m} alfa (t) delta _ {t},}$

quvvat qatorini kengaytirish

${displaystyle displaystyle x (s) = x_ {0} + sum _ {t} {s ^ {| t |} over | t |!} alfa (t) delta _ {t} (0).}$

Misol sifatida qachon N = 1, shuning uchun x va f bu bitta haqiqiy o'zgaruvchining real qiymat funktsiyalari, formula hosil bo'ladi

${displaystyle x ^ {(4)} = f ^ {prime prime} f ^ {3} + 3f ^ {prime prime} f ^ {prime} f ^ {2} + f ^ {prime} f ^ {prime prime } f ^ {2} + (f ^ {prime}) ^ {3} f,}$

bu erda to'rtta atama yuqoridagi 3-rasmda chapdan o'ngga ildiz otgan to'rtta daraxtga to'g'ri keladi.

Bitta o'zgaruvchida ushbu formula xuddi shunday Faa di Brunoning formulasi 1855 yil; ammo bir nechta o'zgaruvchida uni diqqat bilan shaklda yozish kerak

${displaystyle x ^ {(4)} = f ^ {bosh bosh} (f, f, f) + 3f ^ {bosh tub} (f, f ^ {bosh} (f)) + f ^ {bosh} ( f ^ {tub bosh} (f, f)) + f ^ {bosh} (f ^ {bosh} (f ^ {bosh} (f))),}$

bu erda daraxt tuzilishi hal qiluvchi ahamiyatga ega.

Ildizli daraxtlarning Hopf algebra yordamida ta'rifi

The Hopf algebra H ildiz otgan daraxtlar tomonidan belgilandi Konnes va Kreymer (1998) bilan bog'liq Kreymer oldingi ish renormalizatsiya yilda kvant maydon nazariyasi. Keyinchalik Hopf algebrasi ilgari belgilangan Hopf algebrasining ikkiligi ekanligi aniqlandi Grossman va Larsen (1989) harvtxt xatosi: maqsad yo'q: CITEREFGrossmanLarsen1989 (Yordam bering) boshqa kontekstda. Ning belgilar H, ya'ni asosiy komutativ algebraning homomorfizmlari R, deb nomlangan guruh tuzing Qassoblar guruhi. Bu mos keladi rasmiy guruh yilda topilgan tuzilma raqamli tahlil tomonidan Qassob (1972).

The Ildizlangan daraxtlarning Hopf algebrasi H deb belgilanadi polinom halqasi o'zgaruvchilarda t, qayerda t ildiz otgan daraxtlardan o'tadi.

• Uning komulyatsiya ${displaystyle Delta: Hightarrow Hotimes H}$ bilan belgilanadi

${displaystyle Delta (t) = totimes I + Iotimes t + sum _ {ssubset t} sotimes [t ackslash s],}$

bu erda barcha ildiz otilgan daraxtlar ustida yig'indisi bor s ning t; ${displaystyle [t ackslash s]}$ o'zgaruvchisi mahsulot tomonidan berilgan monomialdir t_men ning barcha tugunlarini yo'q qilishda paydo bo'lgan ildiz daraxtlari tomonidan hosil qilingan s va dan bog'langan havolalar t. Bunday daraxtlarning soni bilan belgilanadi n(ts).

• Uning masjid ning homomorfizmi H ichiga R har bir o'zgaruvchini yuborish t nolga.
• Uning antipod S formula bo'yicha rekursiv ravishda aniqlanishi mumkin

${displaystyle S (t) = - t-sum _ {ssubset t} (- 1) ^ {n (t ackslash s)} S ([t ackslash s]) s ,,,, S (ullet) = - ullet. }$

The Qassoblar guruhi φ ning algebra homomorfizmlari to'plami sifatida aniqlanadi H ichiga R guruh tuzilishi bilan

${displaystyle varphi _ {1} star varphi _ {2} (t) = (varphi _ {1} otimes varphi _ {2}) Delta (t).}$

Qassob guruhidagi teskari tomon tomonidan berilgan

${displaystyle varphi ^ {- 1} (t) = varphi (St)}$

va shaxsning o'ziga xosligi ε.

Ildizli daraxtlarning Hopf algebrasini qurishda murakkab koeffitsientlardan foydalanib, ildiz otgan daraxtlarning murakkab Hopf algebrasini olamiz. C-qimmatlangan belgilar guruhini tashkil qiladi, deb nomlanadi murakkab Qassoblar guruhi G_C. Murakkab qassoblar guruhi G_C cheksiz o'lchovli murakkab Lie guruhidir^[1] ichida o'yinchoq modeli sifatida paydo bo'lgan § Renormalizatsiya kvant maydon nazariyalari.

Qassoblar seriyasi va Runge – Kutta usuli

Lineer bo'lmagan oddiy differentsial tenglama

${displaystyle {dx (s) ds} = f (x (s)) ,,,, x (0) = x_ {0},}$

tomonidan taxminan hal qilinishi mumkin Runge-Kutta usuli. Ushbu takroriy sxema uchun m x m matritsa

${displaystyle A = (a_ {ij})}$

va vektor

${displaystyle b = (b_ {i})}$

bilan m komponentlar.

Sxema vektorlarni belgilaydi x_n birinchi navbatda echim topish orqali X₁, ... , X_m ning

${displaystyle X_ {i} = x_ {n-1} + hsum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} f (X_ {j})}$

va keyin sozlash

${displaystyle x_ {n} = x_ {n-1} + hsum _ {j = 1} ^ {m} b_ {j} f (x_ {j}).}$

Qassob (1963) mos keladigan oddiy differentsial tenglamalarning echimi ekanligini ko'rsatdi

${displaystyle X_ {i} (s) = x_ {0} + ssum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} f (X_ {j} (s)) ,,,, x (s) = x_ {0} + ssum _ {j = 1} ^ {m} b_ {j} f (X_ {j} (s))}$

quvvat seriyasining kengayishiga ega

${displaystyle X_ {i} (s) = x_ {0} + sum _ {t} {s ^ {| t |} over | t |!} alfa (t) t! sum _ {j = 1} ^ {m } a_ {ij} varphi _ {j} (t) delta _ {t} (0) ,,,,, x (s) = x_ {0} + sum _ {t} {s ^ {| t |} | t |!} alfa (t) t! varphi (t) delta _ {t} (0),}$

qaerda φ_j va φ rekursiv tarzda aniqlanadi

${displaystyle varphi _ {j} (ullet) = 1. ,,, varphi _ {i} ([t_ {1}, cdots, t_ {k}]) = sum _ {j_ {1}, nuqtalar, j_ {k }} a_ {ij_ {1}} nuqtalar a_ {ij_ {k}} varphi _ {j_ {1}} (t_ {1}) nuqtalar varphi _ {j_ {k}} (t_ {k})}$

va

${displaystyle varphi (t) = sum _ {j = 1} ^ {m} b_ {j} varphi _ {j} (t).}$

Yuqoridagi quvvat seriyasi deyiladi B seriyali yoki Qassoblar seriyasi.^[3][5] Tegishli topshiriq the Butcher guruhining elementidir. Haqiqiy oqimga mos keladigan gomomorfizm mavjud

${displaystyle Phi (t) = {1 dan t!}.}$

Qassob Runge-Kutta usuli an beradi nbarcha daraxtlar bo'yicha φ va Φ kelishilgan bo'lishi sharti bilan haqiqiy oqimning taxminan tartibini taqsimlash n tugunlar yoki undan kam. Bundan tashqari, Qassob (1972) Runge-Kutta usuli bilan aniqlangan gomomorfizmlar Butcher guruhining zich kichik guruhini tashkil etishini ko'rsatdi: aslida u gomomorfizmni hisobga olgan holda, buyurtma berish uchun φ 'bilan kelishgan Runge-Kutta gomomorfizmi mavjudligini ko'rsatdi. n; va agar Runge-Kutta ma'lumotlariga mos keladigan $ g $ va $ 'gomomorfimlari berilgan bo'lsa (A, b) va (A ' , b ' ), mahsulot homomorfizmi ${displaystyle varphi star varphi ^ {prime}}$ ma'lumotlarga mos keladi

${displaystyle {egin {pmatrix} A & 0 0 & A ^ {prime} end {pmatrix}} ,,, (b, b ^ {prime}).}$

Hairer & Wanner (1974) Qassoblar guruhi funktsiyalar bo'yicha tabiiy ravishda harakat qilishini isbotladi f. Darhaqiqat, sozlash

${displaystyle varphi circ f = 1 + sum _ {t} {s ^ {| t |} over | t |!} alfa (t) t! varphi (t) delta _ {t} (0),}$

ular buni isbotladilar

${displaystyle varphi _ {1} circ (varphi _ {2} circ f) = (varphi _ {1} star varphi _ {2}) circ f.}$

Yolg'on algebra

Konnes va Kreymer (1998) Qassoblar guruhi bilan bog'liqligini ko'rsatdi G cheksiz o'lchovli Lie algebraidir. Ushbu Lie algebra mavjudligini a tomonidan bashorat qilinadi teorema ning Milnor va Mur (1965) komutativlik va tabiiy baholash H ikkilangan degan ma'noni anglatadi H* bilan aniqlanishi mumkin universal qoplovchi algebra yolg'on algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Konnes va Kreymer aniq aniqlaydilar ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ bo'sh joy bilan hosilalar θ ning H ichiga R, ya'ni chiziqli xaritalar

${displaystyle heta (ab) = varepsilon (a) heta (b) + heta (a) varepsilon (b),}$

ning rasmiy tangens maydoni G shaxsiyat bo'yicha ε. Bu Lie algebrasini Lie qavs bilan hosil qiladi

${displaystyle [heta _ {1}, heta _ {2}] (t) = (heta _ {1} otimes heta _ {2} - heta _ {2} otimes heta _ {1}) Delta (t).}$

${displaystyle {mathfrak {g}}}$ θ hosilalari bilan hosil bo'ladi_t tomonidan belgilanadi

${displaystyle heta _ {t} (t ^ {prime}) = delta _ {tt ^ {prime}},}$

har bir ildiz otgan daraxt uchun t.

Cheksiz o'lchovli Lie algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ dan Konnes va Kreymer (1998) va yolg'on algebra L (G) Butcher guruhining cheksiz o'lchovli Lie guruhi sifatida bir xil emas. Yolg'on algebra L (G) dual dagi barcha hosilalarning Lie algebra bilan aniqlanishi mumkin H (ya'ni barcha chiziqli xaritalarning maydoni H ga R), aksincha ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ darajali dualdan olinadi. Shuning uchun ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ ning (qat'iyan kichikroq) Lie subalgebra bo'lib chiqadi L (G).^[1]

Renormalizatsiya

Konnes va Kreymer (1998) foydalanish uchun umumiy kontekstni taqdim etdi Hopf algebraik oddiy matematik formulasini berish usullari renormalizatsiya yilda kvant maydon nazariyasi. Renormalizatsiya deb talqin qilingan Birxof faktorizatsiyasi bog'liq Hopf algebra belgilar guruhidagi ko'chadan. Tomonidan ko'rib chiqilgan modellar Kreymer (1999) Hopf algebrasiga ega edi H va belgilar guruhi G, Qassoblar guruhi. Brouder (2000) ushbu renormalizatsiya jarayoni haqida Runge-Kutta ma'lumotlari bo'yicha ma'lumot berdi.

Ushbu soddalashtirilgan sozlamada a qayta tuziladigan model kirish ma'lumotlarining ikkita qismi mavjud:^[6]

• to'plami Feynman qoidalar Φ ning algebra homomorfizmi bilan berilgan H algebra ichiga V ning Loran seriyasi yilda z cheklangan tartibli qutblar bilan;
• a renormalizatsiya sxemasi chiziqli operator tomonidan berilgan R kuni V shu kabi R qondiradi Rota-Baxterning o'ziga xosligi

${displaystyle R (fg) + R (f) R (g) = R (fR (g)) + R (R (f) g)}$

va tasviri R – id algebrada yotadi V₊ ning quvvat seriyasi yilda z.

Yozib oling R Rota-Baxter identifikatorini qondiradi, agar shunday bo'lsa id – R qiladi. Bunga muhim misol minimal ayirish sxemasi

${displaystyle displaystyle R (sum _ {n} a_ {n} z ^ {n}) = sum _ {n <0} a_ {n} z ^ {n}.}$

Bundan tashqari, proektsiya mavjud P ning H ustiga kattalashtirish ideal ker ker tomonidan berilgan

${displaystyle displaystyle P (x) = x-varepsilon (x) 1.}$

Renalizatsiya qilingan Feynman qoidalarini aniqlash uchun antipodga e'tibor bering S qondiradi

${displaystyle mcirc (Sotimes {m {id}}) Delta (x) = varepsilon (x) 1}$

Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

${displaystyle S = -mcirc (Sotimes P) Delta,}$

The qayta tuzilgan Feynman qoidalari homomorfizm bilan berilgan ${displaystyle Phi _ {S} ^ {R}}$ ning H ichiga V gomomorfizmni burish natijasida olingan Φ • S. Gomomorfizm ${displaystyle Phi _ {S} ^ {R}}$ tomonidan noyob tarzda ko'rsatilgan

${displaystyle Phi _ {S} ^ {R} = - m (Sotimes Phi _ {S} ^ {R} circ P) Delta.}$

$ Delta $ aniq shakli tufayli bu $ uchun rekursiv formulani beradi ${displaystyle Phi _ {S} ^ {R}}$.

Minimal ayirboshlash sxemasi uchun bu jarayonni murakkab Butcher guruhidagi Birkhoff faktorizatsiyasi nuqtai nazaridan izohlash mumkin. Φ birlik doirasining xaritasi regard deb hisoblash mumkin G_C ning G (ichiga xaritalar C o'rniga R). Shunday qilib, u Birxof faktorizatsiyasiga ega

${displaystyle displaystyle gamma (z) = gamma _ {-} (z) ^ {- 1} gamma _ {+} (z),}$

qaerda γ₊ bu holomorfik yopiq blok diskning ichki qismida va γ_– tarkibidagi holomorfik xususiyatga ega Riman shar C ${displaystyle cup {infty}}$ γ bilan_–(∞) = 1. loop tsikli₊ renormalizatsiya qilingan homomorfizmga to'g'ri keladi. Da baholash z = 0 ning γ₊ yoki renormalizatsiya qilingan homomorfizm beradi o'lchovli ravishda tartibga solingan har bir ildiz otgan daraxt uchun qiymatlar.

Masalan, Feynman qoidalari qo'shimcha parametr m ga, "massa birligi" ga bog'liq. Konnes va Kreymer (2001) buni ko'rsatdi

${displaystyle kısmi _ {mu} gamma _ {mu -} = 0,}$

shunday qilib γ_m– m dan mustaqil.

Murakkab Butcher guruhi tabiiy bitta parametrli guruh bilan birga keladi_w avtomorfizmlar, bunga ikkilangan H

${displaystyle lambda _ {w} (t) = w ^ {| t |} t}$

uchun w ≠ 0 dyuym C.

Ilmoqlar γ_m va λ_w · Γ_m uchun bir xil salbiy qism mavjud va t haqiqiy,

${displaystyle displaystyle F_ {t} = lim _ {z = 0} gamma _ {-} (z) lambda _ {tz} (gamma _ {-} (z) ^ {- 1})}$

murakkab Butcher guruhining bitta parametrli kichik guruhini belgilaydi G_C deb nomlangan renormalizatsiya guruhining oqimi (RG).

Uning cheksiz kichik generatori L ning algebra elementidir G_C va tomonidan belgilanadi

${displaystyle eta = qisman _ {t} F_ {t} | _ {t = 0}.}$

Bunga deyiladi beta-funktsiya model.

Har qanday modelda, odatda, ulanishning murakkab konstantalarining cheklangan o'lchovli maydoni mavjud. Murakkab Qassoblar guruhi bu maydonda diffeomorfizmlar bilan harakat qiladi. Xususan, renormalizatsiya guruhi birlashuvchi konstantalar fazosidagi oqimni aniqlaydi va beta-funktsiya mos keladigan vektor maydonini beradi.

Kvant maydon nazariyasidagi ko'proq umumiy modellar ildiz otgan daraxtlarni almashtirishni talab qiladi Feynman diagrammalari cheklangan indekslar to'plamidan belgilar bilan bezatilgan tepaliklar bilan. Konnes va Kreimer ushbu parametrda Hopf algebralarini ham aniqladilar va ularni qanday qilib renormalizatsiya nazariyasida standart hisoblashlarni tizimlashtirish uchun ishlatilishini ko'rsatdilar.

Misol

Kreymer (2007) o'z ichiga olgan "o'yinchoq modeli" ni berdi o'lchovli tartibga solish uchun H va algebra V. Agar v musbat butun son va q_m = q / m - bu o'lchovsiz doimiy, Feynman qoidalari tomonidan rekursiv ravishda aniqlanishi mumkin

${displaystyle displaystyle Phi ([t_ {1}, nuqtalar, t_ {n}]) = int {Phi (t_ {1}) cdots Phi (t_ {n}) | y | ^ {2} + q_ {mu} ^ {2}} (| y | ^ {2}) ^ {- z ({c 2} -1 dan yuqori)}}, d ^ {D} y,}$

qayerda z = 1 – D./ 2 - bu regulyatsiya parametri. Ushbu integrallarni aniqlik bilan hisoblash mumkin Gamma funktsiyasi formuladan foydalanib

${displaystyle displaystyle int {(| y | ^ {2}) ^ {- u} ustidan | y | ^ {2} + q_ {mu} ^ {2}}, d ^ {D} y = pi ^ {D / 2} (q_ {mu} ^ {2}) ^ {- zu} {Gamma (-u + D / 2) Gamma (1 + uD / 2) Gamma ustidan (D / 2)}.}$

Jumladan

${displaystyle displaystyle Phi (ullet) = pi ^ {D / 2} (q_ {mu} ^ {2}) ^ {- zc / 2} {Gamma (1 + cz) cz} ustidan.}$

Renormalizatsiya sxemasini olish R minimal ayirma, qayta normalizatsiya qilingan miqdorlar ${displaystyle Phi _ {S} ^ {R} (t)}$ bor polinomlar yilda ${displaystyle log q_ {mu} ^ {2}}$ da baholanganda z = 0.

Izohlar

Adabiyotlar

• Bergbauer, Kristof; Kreymer, Dirk (2005), "Epshteyn-Glaserni qayta tiklashda ildiz otgan daraxtlarning Hopf algebrasi", Annales Anri Puankare, 6 (2): 343–367, arXiv:hep-th / 0403207, Bibcode:2005AnHP .... 6..343B, doi:10.1007 / s00023-005-0210-3
• Butet-de-Monvel, Lui (2003), "Algèbre de Hopf des diagrammes de Feynman, renormalisation et factorisation de Wiener-Hopf (d'après A. Connes et D. Kreimer). [Feynman diagrammalarining Hopf algebrasi, renormalizatsiya va Wiener-Hopf faktorizatsiyasi (A. Konnes va D.dan keyin). Kreymer)] " (PDF), Asterisk, Séminaire Bourbaki, 290: 149–165
• Brouder, Kristian (2000), "Runge-Kutta usullari va renormalizatsiya", Yevro. Fizika. J. C, 12 (3): 521–534, arXiv:hep-th / 9904014, Bibcode:2000EPJC ... 12..521B, doi:10.1007 / s100529900235
• Bogfjellmo, G.; Shmeding, A. (2015), "Qassoblar guruhining yolg'on guruh tuzilishi", Hisoblash matematikasining asoslari, 17 (1): 127–159, arXiv:1410.4761, doi:10.1007 / s10208-015-9285-5
• Brouder, Kristian (2004), "Daraxtlar, qayta tiklash va differentsial tenglamalar", BIT Raqamli matematika, 44 (3): 425–438, CiteSeerX  10.1.1.180.7535, doi:10.1023 / B: BITN.0000046809.66837.cc
• Butcher, JC (1963), "Runge-Kutta integratsion jarayonlarini o'rganish koeffitsientlari", J. Avstraliya. Matematika. Soc., 3 (2): 185–201, doi:10.1017 / S1446788700027932
• Butcher, JC (1972), "Integratsiya usullarining algebraik nazariyasi", Matematika. Hisoblash., 26 (117): 79–106, doi:10.2307/2004720, JSTOR  2004720
• Qassob, Jon C. (2008), Oddiy differensial tenglamalar uchun sonli usullar (2-nashr), John Wiley & Sons Ltd., ISBN  978-0-470-72335-7, JANOB  2401398
• Butcher, JC (2009), "Daraxtlar va oddiy differentsial tenglamalar uchun sonli usullar", Raqamli algoritmlar, 53 (2–3): 153–170, doi:10.1007 / s11075-009-9285-0
• Keyli, Artur (1857), "Daraxtlar deb ataladigan analitik shakllar nazariyasi to'g'risida", Falsafiy jurnal, XIII: 172–176 (shuningdek, Keylining To'plamning 3-jildida, 242–246 betlar)
• Konnes, Alen; Kreymer, Dirk (1998), "Hopf algebralari, normalizatsiya va noaniq geometriya" (PDF), Matematik fizikadagi aloqalar, 199 (1): 203–242, arXiv:hep-th / 9808042, Bibcode:1998CMaPh.199..203C, doi:10.1007 / s002200050499
• Konnes, Alen; Kreymer, Dirk (1999), "Kvant maydoni nazariyasi saboqlari: Hopf algebralari va fazoviy geometriya", Matematik fizikadagi harflar, 48: 85–96, doi:10.1023 / A: 1007523409317
• Konnes, Alen; Kreymer, Dirk (2000), "Kvant sohasi nazariyasidagi qayta normalizatsiya va Riman-Xilbert muammosi. I. Graflarning Hopf algebra tuzilishi va asosiy teorema" (PDF), Kommunal. Matematika. Fizika., 210 (1): 249–273, arXiv:hep-th / 9912092, Bibcode:2000CMaPh.210..249C, doi:10.1007 / s002200050779
• Konnes, Alen; Kreymer, Dirk (2001), "Kvant maydon nazariyasida qayta tiklash va Riman-Xilbert muammosi. II. D-funktsiya, diffeomorfizmlar va renormalizatsiya guruhi" (PDF), Kommunal. Matematika. Fizika., 216 (1): 215–241, arXiv:hep-th / 0003188, Bibcode:2001CMaPh.216..215C, doi:10.1007 / PL00005547
• Grasiya-Bondiya, Xose; Varilli, Jozef S.; Figueroa, Ektor (2000), Kommutativ bo'lmagan geometriya elementlari, Birxauzer, ISBN  978-0-8176-4124-5, 14-bob.
• Grossman, R .; Larson, R. (1989), "Daraxtlar oilalarining Hopf algebraik tuzilmalari" (PDF), Algebra jurnali, 26: 184–210, doi:10.1016/0021-8693(89)90328-1, dan arxivlangan asl nusxasi (PDF) 2008-08-20
• Xayrer, E .; Vanner, G. (1974), "Qassoblar guruhi va umumiy ko'p qiymatli usullar to'g'risida", Hisoblash, 13: 1–15, doi:10.1007 / BF02268387
• Kreymer, Dirk (1998), "Bezovta qiluvchi kvant maydon nazariyalarining Hopf algebra tuzilishi to'g'risida", Adv. Nazariya. Matematika. Fizika., 2 (2): 303–334, arXiv:q-alg / 9707029, Bibcode:1997q.alg ..... 7029K, doi:10.4310 / ATMP.1998.v2.n2.a4
• Kreymer, Dirk (1999), "Chenning takrorlanadigan integrali operatorning mahsulot kengayishini anglatadi", Adv. Nazariya. Matematika. Fizika., 3 (3): 627–670, arXiv:hep-th / 9901099, Bibcode:1999yil.th .... 1099K, doi:10.4310 / ATMP.1999.v3.n3.a7
• Kreymer, Dirk (2007), Kvant sohasi nazariyasidagi faktorizatsiya: Hopf algebralari va mahalliy o'ziga xosliklarda mashq qilish, Raqamlar nazariyasi, fizika va geometriya II chegaralari, Springer, 715-736-betlar, arXiv:hep-th / 0306020, Bibcode:2003 yil. .... 6020K
• Milnor, Jon Uillard; Mur, Jon C. (1965), "Hopf algebralarining tuzilishi to'g'risida", Matematika yilnomalari, Ikkinchi seriya, 81 (2): 211–264, doi:10.2307/1970615, JSTOR  1970615, JANOB  0174052