Chows lemma - Chows lemma

Chov lemmasinomi bilan nomlangan Vey-Liang Chou, bu asosiy natijalardan biridir algebraik geometriya. Taxminan a to'g'ri morfizm bo'lishiga juda yaqin proektsion morfizm. Aniqrog'i, uning bir versiyasida quyidagilar bayon etilgan:^[1]

Agar ${ displaystyle X}$ a ga mos keladigan sxema noeteriya tayanch ${ displaystyle S}$, keyin mavjud a loyihaviy ${ displaystyle S}$-sxema ${ displaystyle X '}$ va surjective ${ displaystyle S}$-morphism ${ displaystyle f: X ' to X}$ izomorfizmni keltirib chiqaradi ${ displaystyle f ^ {- 1} (U) simeq U}$ bir oz zich ochiq uchun ${ displaystyle U subseteq X.}$

Isbot

Bu erda isbot standartdir (qarang: EGA II, 5.6.1 harvnb xatosi: maqsad yo'q: CITEREFEGA_II (Yordam bering)).

Qachonki ishni qisqartirish oson ${ displaystyle X}$ quyidagicha qisqartirilmaydi. ${ displaystyle X}$ noeteriya, chunki u noeteriya bazasida cheklangan turga ega. Keyin u topologik jihatdan noeteriya bo'lib, cheklanmagan sonli tarkibiy qismlardan iborat ${ displaystyle X_ {i}}$, ularning har biri tegishli ${ displaystyle S}$ (chunki ular sxema bo'yicha yopiq immersiyalardir ${ displaystyle X}$ bu tugadi ${ displaystyle S}$). Agar ushbu kamaytirilmaydigan tarkibiy qismlarning har birida zich ochiq joy mavjud bo'lsa ${ displaystyle U_ {i} subset X_ {i}}$, keyin olishimiz mumkin

${ displaystyle U: = bigsqcup chap (U_ {i} setminus bigcup nolimits _ {i neq j} X_ {j} o'ng).}$

Ajratilgan qismlarning har biri o'zlariga nisbatan zichligini ko'rish qiyin emas ${ displaystyle X_ {i}}$, shuning uchun to'liq to'plam ${ displaystyle U}$ zich ${ displaystyle X}$. Bundan tashqari, biz xuddi shunday morfizmni topishimiz aniq ${ displaystyle g}$ bu zichlik holatini qondiradi.

Muammoni kamaytirgandan so'ng, endi taxmin qilamiz ${ displaystyle X}$ qisqartirilmaydi. Eslatib o'tamiz, u noheriy bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz cheklangan ochiq afin qopqog'ini topishimiz mumkin

${ displaystyle X = bigcup _ {i = 1} ^ {n} U_ {i},}$

qayerda ${ displaystyle U_ {i}}$ kvazi-proektiv hisoblanadi ${ displaystyle S.}$ Bu erda ochiq suvga cho'mish mavjud ${ displaystyle S, phi _ {i}: U_ {i} dan P_ {i}} gacha$ ba'zi proektivlarga ${ displaystyle S}$-sxemalar ${ displaystyle P_ {i}.}$ O'rnatish ${ displaystyle U = cap U_ {i}.}$ Keyin ${ displaystyle U}$ beri bo'sh emas ${ displaystyle X}$ qisqartirilmaydi. Ruxsat bering

${ displaystyle phi: U to P = P_ {1} times _ {S} cdots times _ {S} P_ {n}}$

tomonidan berilgan ${ displaystyle phi _ {i}}$ bilan cheklangan ${ displaystyle U}$ ustida ${ displaystyle S}$. Ruxsat bering

${ displaystyle psi: U dan X marta _ {S} P.}$

tomonidan berilgan ${ displaystyle U hookrightarrow X}$ va ${ displaystyle phi}$ ustida ${ displaystyle S}$. ${ displaystyle psi}$ keyin suvga cho'mish; Shunday qilib, bu ochiq suvga cho'mish, keyin esa yopiq suvga cho'mish kabi omillar ${ displaystyle X ' to X times _ {S} P}$ (sxema-nazariy tasvir). Ruxsat bering ${ displaystyle f: X ' to X}$ immersion bo'ling, keyin proektsiya qiling. Biz da'vo qilamiz ${ displaystyle f}$ keltirib chiqaradi ${ displaystyle f ^ {- 1} (U) simeq U}$; buning uchun ko'rsatish kifoya ${ displaystyle f ^ {- 1} (U) = psi (U)}$. Ammo bu shuni anglatadiki ${ displaystyle psi (U)}$ yopiq ${ displaystyle U times _ {S} P.}$ ${ displaystyle psi}$ kabi faktorizatsiya qiladi

${ displaystyle U { overset { Gamma _ { phi}} { longrightarrow}} U times _ {S} P to X times _ {S} P.}$

${ displaystyle P}$ ajratilgan ${ displaystyle S}$ va shuning uchun grafik morfizm ${ displaystyle Gamma _ { phi}}$ yopiq suvga cho'mishdir. Bu bizning tortishuvimizni isbotlaydi.

Ko'rsatish kerak ${ displaystyle X '}$ proektiv hisoblanadi ${ displaystyle S}$. Ruxsat bering ${ displaystyle g: X ' dan P} gacha$ proektsiyadan keyin yopiq immersiya bo'ling. Buni ko'rsatmoqda ${ displaystyle g}$ a yopiq suvga cho'mish ko'rsatuvlari ${ displaystyle X '}$ proektiv hisoblanadi ${ displaystyle S}$. Buni mahalliy darajada tekshirish mumkin. Aniqlash ${ displaystyle U_ {i}}$ uning tasviri bilan ${ displaystyle P_ {i}}$ biz bostiramiz ${ displaystyle phi _ {i}}$ bizning yozuvimizdan.

Ruxsat bering ${ displaystyle V_ {i} = p_ {i} ^ {- 1} (U_ {i})}$ qayerda ${ displaystyle p_ {i}: P dan P_ {i}} gacha$. Biz da'vo qilamiz ${ displaystyle g ^ {- 1} (V_ {i})}$ ning ochiq qopqog'i ${ displaystyle X '}$. Bu quyidagidan kelib chiqadi ${ displaystyle f ^ {- 1} (U_ {i}) kichik g ^ {- 1} (V_ {i})}$ to'plamlar sifatida. Bu o'z navbatida quyidagidan kelib chiqadi ${ displaystyle f = p_ {i} circ g}$ kuni ${ displaystyle U_ {i}}$ asosiy topologik makondagi funktsiyalar sifatida. Shunday qilib, buni har biri uchun ko'rsatish kifoya ${ displaystyle i}$ xarita ${ displaystyle g: g ^ {- 1} (V_ {i}) dan V_ {i}} gacha$, bilan belgilanadi ${ displaystyle h}$, yopiq immersion (chunki yopiq immersion bo'lish xususiyati bazada mahalliydir).

Tuzatish ${ displaystyle i.}$ va ruxsat bering ${ displaystyle Z}$ ning grafigi bo'ling

${ displaystyle u: V_ {i} { overset {p_ {i}} { longrightarrow}} U_ {i} hookrightarrow X.$

Bu yopiq pastki qism ${ displaystyle X times _ {S} V_ {i}}$ beri ${ displaystyle X}$ ajratilgan ${ displaystyle S}$. Ruxsat bering

${ displaystyle { begin {aligned} q_ {1}: X times _ {S} P to X q_ {2}: X times _ {S} P to P end {aligned}}}$

proektsiyalar bo'ling. Biz buni da'vo qilamiz ${ displaystyle h}$ orqali omillar ${ displaystyle Z}$, bu shuni anglatadiki ${ displaystyle h}$ yopiq suvga cho'mishdir. Lekin uchun ${ displaystyle w: U ' dan V_ {i}} gacha$ bizda ... bor:

${ displaystyle v = Gamma _ {u} circ w quad Longleftrightarrow quad q_ {1} circ v = u circ q_ {2} circ v quad Longleftrightarrow quad q_ {1} circ psi = u circ q_ {2} circ psi quad Longleftrightarrow quad qu_ q_ {1} circ psi = u circ phi.}$

Oxirgi tenglik amal qiladi va shunday bo'ladi ${ displaystyle w}$ bu birinchi tenglikni qondiradi. Bu bizning da'voimizni isbotlaydi.${ displaystyle square}$

Qo'shimcha bayonotlar

Chou lemmasining bayonotida, agar ${ displaystyle X}$ qisqartirilgan, kamaytirilmaydigan yoki ajralmas bo'lsa, xuddi shunday narsa mavjud deb taxmin qilishimiz mumkin ${ displaystyle X '}$. Agar ikkalasi ham bo'lsa ${ displaystyle X}$ va ${ displaystyle X '}$ kamaytirilmaydi, keyin ${ displaystyle f: X ' to X}$ a bir millatli morfizm. (qarang EGA II, 5.6 harvnb xatosi: maqsad yo'q: CITEREFEGA_II (Yordam bering)).

Adabiyotlar

• Grotendik, Aleksandr; Dieudonne, Jan (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques de morfismes". Mathématiques de l'IHÉS nashrlari. 8. doi:10.1007 / bf02699291. JANOB  0217084.
• Xartshorn, Robin (1977), Algebraik geometriya, Matematikadan aspirantura matnlari, 52, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, JANOB  0463157