Co-Hopfian guruhi - Co-Hopfian group

Ning matematik mavzusida guruh nazariyasi, a Hopfiy guruhi a guruh bu emas izomorfik har qanday tarzda kichik guruhlar. Tushunchasi a ga nisbatan ikkilangan Hopfiy guruhi nomi bilan nomlangan Xaynts Xopf. ^[1]

Rasmiy ta'rif

Guruh G deyiladi hammuallif agar qachon bo'lsa ${ displaystyle varphi: G dan G}$ bu in'ektsion guruh homomorfizmi keyin ${ displaystyle varphi}$ bu shubhali, anavi ${ displaystyle varphi (G) = G}$.^[2]

Misollar va misollar

• Har bir cheklangan guruh G hamfikr.
• Cheksiz tsiklik guruh ${ displaystyle mathbb {Z}}$ o'shandan beri hamfikr emas ${ displaystyle f: mathbb {Z} to mathbb {Z}, f (n) = 2n}$ bu in'ektsion, ammo sur'ektiv bo'lmagan homomorfizmdir.
• Haqiqiy sonlarning qo'shimchalar guruhi ${ displaystyle mathbb {R}}$ hamfikr emas, chunki ${ displaystyle mathbb {R}}$ cheksiz o'lchovli vektor maydoni ${ displaystyle mathbb {Q}}$ va shuning uchun ham guruh bo'lib ${ displaystyle mathbb {R} cong mathbb {R} times mathbb {R}}$.^[2]
• Ratsional sonlarning qo'shimcha guruhi ${ displaystyle mathbb {Q}}$ va kvantlar guruhi ${ displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ hamfikr.^[2]
• Multiplikatsion guruh ${ displaystyle mathbb {Q} ^ { ast}}$ Nolga teng bo'lmagan ratsional sonlar xaritada bo'lgani uchun ham Hopfian emas ${ displaystyle mathbb {Q} ^ { ast} to mathbb {Q} ^ { ast}, q mapsto operator nomi {sign} (q) , q ^ {2}}$ bu in'ektsion, ammo sur'ektiv bo'lmagan homomorfizmdir.^[2] Xuddi shu tarzda, guruh ${ displaystyle mathbb {Q} _ {+} ^ { ast}}$ ijobiy ratsional sonlarning kooperativi emas.
• Multiplikatsion guruh ${ displaystyle mathbb {C} ^ { ast}}$ Nolga teng bo'lmagan kompleks sonlar kooperativ emas.^[2]
• Har bir kishi uchun ${ displaystyle n geq 1}$ The bepul abeliya guruhi ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {n}}$ hammuallif emas.^[2]
• Har bir kishi uchun ${ displaystyle n geq 1}$ The bepul guruh ${ displaystyle F_ {n}}$ hammuallif emas.^[2]
• U erda cheklangan tarzda yaratilgan elementar bo'lmagan (ya'ni deyarli tsiklik bo'lmagan) mavjud deyarli bepul guruh bu hamfikr. Shunday qilib, cheklangan kooperativ guruhdagi cheklangan indeksning kichik guruhi kooperativ bo'lmasligi kerak va kooperativ bo'lish ham emas kvaziizometriya nihoyatda yaratilgan guruhlar uchun o'zgarmas.^[3]
• Baumslag - Solitar guruhlar ${ displaystyle BS (1, m)}$, qayerda ${ displaystyle m geq 1}$, hammuallif emas.^[4]
• Agar G bo'ladi asosiy guruh nolga teng bo'lmagan yopiq asferik kollektor Eyler xarakteristikasi (yoki nolga teng bo'lmagan holda) sodda hajm yoki nolga teng L²-Betti raqami ), keyin G hamfikr.^[5]
• Agar G yopiq bog'langan yo'naltirilgan kamaytirilmaydigan 3-manifoldning asosiy guruhidir M keyin G agar Hopfian bo'lsa, agar uning cheklangan qopqog'i bo'lmasa M aylana ustidagi torus to'plami yoki aylana va yopiq sirt hosilasi.^[6]
• Agar G haqiqatda qisqartirilmaydigan panjara yarim oddiy Lie guruhi va G emas deyarli bepul guruh keyin G hamfikr.^[7] Masalan, bu fakt guruhga tegishli ${ displaystyle SL (n, mathbb {Z})}$ uchun ${ displaystyle n geq 3}$.
• Agar G bir tomonlama torsiyasiz so'z-giperbolik guruh keyin G natijasi bo'yicha hamfikrdir Sela.^[8]
• Agar G to'liq sonli silliq Riemannning asosiy guruhidir n- ko'p qavatli (qaerda n > 2) keyin siqilgan salbiy egrilik G hamfikr. ^[9]
• The xaritalarni sinf guruhi yopiq giperbolik sirt kooperativdir.^[10]
• Guruh Chiqdi (F_n) (qayerda n> 2) hamfikr.^[11]
• Delzant va Polyagailo geometrik jihatdan cheklanganlik uchun birgalikda umidni tavsifladilar Klein guruhlari ning izometriyalari ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$ 2 burilishsiz.^[12]
• A to'g'ri burchakli Artin guruhi ${ displaystyle A ( Gamma)}$ (qayerda ${ displaystyle Gamma}$ cheklangan bo'sh bo'lmagan grafik) birgalikda Hopfiy emas; ning har bir standart generatorini yuborish ${ displaystyle A ( Gamma)}$ kuchga ${ displaystyle> 1}$ ning endomorfizmi va ta'rifi ${ displaystyle A ( Gamma)}$ bu in'ektsion, ammo sur'ektiv emas.^[13]
• To'liq hosil bo'lgan burilishsiz nilpotent guruh G unga bog'liq bo'lgan ratsionallikning xususiyatlariga qarab, kooperativ yoki kooperativ bo'lmagan bo'lishi mumkin Yolg'on algebra.^[5][3]
• Agar G a nisbatan giperbolik guruh va ${ displaystyle varphi: G dan G}$ ning in'ektsion, ammo sur'ektiv bo'lmagan endomorfizmi G keyin ham ${ displaystyle varphi ^ {k} (G)}$ ba'zilar uchun parabolikdir k > 1 yoki G deyarli tsiklik yoki parabolik kichik guruhga bo'linadi.^[14]
• Grigorchuk guruhi G oraliq o'sish kooperativ emas.^[15]
• Tompson guruhi F hammuallif emas.^[16]
• Mavjud a yakuniy hosil qilingan guruh G u hamfikr emas, lekin ega Kajdanning mulki (T).^[17]
• Agar G Xigmanniki universal cheklangan guruh keyin G hamfikr emas va G cheklangan tarzda yaratilgan rekursiv kooperativ Hopfiy guruhiga joylashtirib bo'lmaydi.^[18]

Umumlashtirish va tegishli tushunchalar

• Guruh G deyiladi yakuniy sherik^[19] agar qachon bo'lsa ${ displaystyle varphi: G dan G}$ - bu enjektsion endomorfizm, uning tasvirida cheklangan indeks mavjud G keyin ${ displaystyle varphi (G) = G}$. Masalan, uchun ${ displaystyle n geq 2}$ The bepul guruh ${ displaystyle F_ {n}}$ hamfikr emas, lekin u hamfikr.
• Cheklangan guruh G deyiladi o'zgarmas agar cheklangan indeksning kichik guruhlari ichki joylashtirilgan ketma-ketligi mavjud bo'lsa G, har biriga izomorfik G, va uning kesishishi cheklangan guruhdir.^[4]
• Guruh G deyiladi koopfian^[3] agar in'ektsion endomorfizm mavjud bo'lsa ${ displaystyle varphi: G dan G}$ shu kabi ${ displaystyle bigcap _ {n = 1} ^ { infty} varphi ^ {n} (G) = {1 }}$.
• Yilda qo'pol geometriya, metrik bo'shliq X deyiladi kvaziizometrik jihatdan birgalikda Hopf agar har biri bo'lsa kvaziizometrik joylashish ${ displaystyle f: X to X}$ qo'pol sur'ektiv (ya'ni kvazi-izometriya). Xuddi shunday, X deyiladi qo'pol ravishda birgalikda Hopf agar har biri bo'lsa qo'pol ko'mish ${ displaystyle f: X to X}$ juda qo'poldir. ^[20]
• Yilda metrik geometriya, metrik bo'shliq K deyiladi kvazimetr bilan birgalikda Hopf agar har biri bo'lsa kvazimetrik ko'mish ${ displaystyle K dan K}$ ustiga. ^[21]

Shuningdek qarang

• Hopfian ob'ekti

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish

• K. Varadarajan, Hopfiy va hammualliflar, Publicacions Matemàtiques 36 (1992), yo'q. 1, 293-317 betlar