Fourier amplituda sezgirligini sinash - Fourier amplitude sensitivity testing

Fourier amplituda sezgirligini tekshirish (FAST) dispersiyaga asoslangan global sezgirlik tahlili usul. Ta'sirchanlik qiymati asosida aniqlanadi shartli dispersiyalar noaniq kirimlarning natijaga individual yoki qo'shma ta'sirini ko'rsatadigan.

FAST birinchi navbatda ko'plik koeffitsientlari orqali shartli farqlarni ifodalaydi Fourier seriyasi chiqish funktsiyasini kengaytirish. Keyin ergodik teorema Furye koeffitsientlarini baholashda ko'p o'lchovli integralni bir o'lchovli integralga aylantirish uchun qo'llaniladi. Transformatsiyani amalga oshirish uchun nomutanosib chastotalar to'plami talab qilinadi va ko'pchilik chastotalar mantiqsizdir. Hisoblashni osonlashtirish uchun irratsional chastotalar o'rniga butun chastotalar to'plami tanlangan. Butun sonli chastotalar mutlaqo nomuvofiq emas, natijada ko'p o'lchovli integral va o'zgartirilgan bir o'lchovli integral o'rtasida xatolik yuzaga keladi. Shu bilan birga, butun chastotalar har qanday tartibga mos kelmaydigan qilib tanlanishi mumkin, shunda xato nazariy jihatdan har qanday aniqlik talabiga javoban boshqarilishi mumkin. Integral konvertatsiya qilishda butun chastotalardan foydalangan holda, bir o'lchovli integraldagi funktsiya davriy bo'lib, integral faqat bitta davrda baholanishi kerak. Keyingi, chunki uzluksiz integral funktsiyani cheklangan namuna olish nuqtalari to'plamidan tiklash mumkin, agar Nyquist-Shannon namuna olish teoremasi qondiriladi, hosil bo'lgan tanlab olish nuqtalarida funktsiya qiymatlari yig'indisidan bir o'lchovli integral baholanadi.

FAST orqali sezgirliklarni hisoblash boshqa dispersiyalarga asoslangan global sezgirlikni tahlil qilish usullariga qaraganda samaraliroq Monte-Karlo integratsiyasi. Biroq, FAST tomonidan hisoblash odatda "asosiy effekt" yoki "umumiy effekt" ga tegishli sezgirlik bilan cheklanadi.

Tarix

FAST usuli 1973 yilda bog'langan kimyoviy reaktsiya tizimlarini o'rganishda paydo bo'ldi^[1]^[2] va hisoblash xatosining batafsil tahlili 1975 yilda taqdim etilgan.^[3] Faqatgina "asosiy effekt" ga taalluqli birinchi darajadagi sezgirlik ko'rsatkichlari asl usulda hisoblab chiqilgan. A FORTRAN algebraik yoki differentsial tenglamalar tizimini tahlil qilishga qodir kompyuter dasturi 1982 yilda nashr etilgan.^[4] 1990-yillarda FAST sezuvchanlik indekslari bilan Sobolning indekslari o'rtasidagi munosabatlar Monte-Karlo simulyatsiyasi ning umumiy doirasida aniqlandi ANOVA - parchalanish kabi ^[5] va "umumiy effekt" ga taalluqli sezgirlik indekslarini hisoblashga qodir bo'lgan kengaytirilgan FAST usuli ishlab chiqildi.^[6]

Jamg'arma

Variantlarga asoslangan sezgirlik

Variantlarga asoslangan usulning sezgirlik ko'rsatkichlari ANOVA-ga o'xshash funktsiyani tahlil qilish uchun dekompozitsiyasi orqali hisoblanadi. Funktsiya shunday deylik ${ displaystyle Y = f chap ( mathbf {X} o'ng) = f chap (X_ {1}, X_ {2}, nuqtalar, X_ {n} o'ng)}$ qayerda ${ displaystyle 0 leq X_ {j} leq 1, j = 1, dots, n}$ . ANOVA dekompozitsiyasi

{ displaystyle f left (X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {n} right) = f_ {0} + sum _ {j = 1} ^ {n} f_ {j} chap (X_ {j} o'ng) + sum _ _ j = 1} ^ {n-1} sum _ {k = j + 1} ^ {n} f_ {jk} chap (X_ {j}, X_ {k} o'ng) + cdots + f_ {12 nuqta n}}

sharti bilan ${ displaystyle f_ {0}}$ doimiy va yig'indilardagi har bir davrning integrali nolga teng, ya'ni.

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} f_ {j_ {1} j_ {2} nuqtalar j_ {r}} chap (X_ {j_ {1}}, X_ {j_ {2}}, nuqta, X_ {j_ {r}} o'ng) dX_ {j_ {k}} = 0, { text {}} 1 leq k leq r.}

Har bir atamaning umumiy dispersiyaga qo'shgan hissasini tavsiflovchi shartli dispersiya ${ displaystyle f left ( mathbf {X} right)}$ bu

{ displaystyle V_ {j_ {1} j_ {2} dots j_ {r}} = int _ {0} ^ {1} cdots int _ {0} ^ {1} f_ {j_ {1} j_ {2} nuqta j_ {r}} ^ {2} chap (X_ {j_ {1}}, X_ {j_ {2}}, nuqta, X_ {j_ {r}} o'ng) dX_ {j_ { 1}} dX_ {j_ {2}} nuqta dX_ {j_ {r}}.}

Umumiy dispersiya barcha shartli dispersiyalar yig’indisidir

{ displaystyle V = sum _ {j = 1} ^ {n} V_ {j} + sum _ {j = 1} ^ {n-1} sum _ {k = j + 1} ^ {n} V_ {jk} + cdots + V_ {12 nuqta n}.}

Sezuvchanlik ko'rsatkichi normallashtirilgan shartli dispersiya sifatida aniqlanadi

{ displaystyle S_ {j_ {1} j_ {2} dots j_ {r}} = { frac {V_ {j_ {1} j_ {2} dots j_ {r}}} {V}}}

ayniqsa birinchi darajadagi sezgirlik

{ displaystyle S_ {j} = { frac {V_ {j}} {V}}}

bu kirishning asosiy ta'sirini ko'rsatadi ${ displaystyle X_ {j}}$ .

Ko'p Furye seriyasi

ANOVA dekompozitsiyasini hisoblashning bir usuli ko'p Furye seriyasiga asoslangan. Funktsiya ${ displaystyle f left ( mathbf {X} right)}$ birlikda giper-kub ko'paytma davriy funktsiyaga kengaytirilishi mumkin va ko'p sonli Furye seriyasining kengayishi

{ displaystyle f chap (X_ {1}, X_ {2}, nuqtalar, X_ {n} o'ng) = sum _ {m_ {1} = - infty} ^ { infty} sum _ { m_ {2} = - infty} ^ { infty} cdots sum _ {m_ {n} = - infty} ^ { infty} C_ {m_ {1} m_ {2} ... m_ {n }} exp { bigl [} 2 pi i chap (m_ {1} X_ {1} + m_ {2} X_ {2} + cdots + m_ {n} X_ {n} o'ng) { bigr]}, { text {butun sonlar uchun}} m_ {1}, m_ {2}, nuqtalar, m_ {n}}

bu erda Furye koeffitsienti

{ displaystyle C_ {m_ {1} m_ {2} ... m_ {n}} = int _ {0} ^ {1} cdots int _ {0} ^ {1} f left (X_ {) 1}, X_ {2}, nuqta, X_ {n} o'ng) exp { bigl [} -2 pi i chap (m_ {1} X_ {1} + m_ {2} X_ {2} + nuqta + m_ {n} X_ {n} o'ng) { bigr]}.}

ANOVA dekompozitsiyasi

{ displaystyle { begin {aligned} f_ {0} & = C_ {00 dots 0} f_ {j} & = sum _ {m_ {j} neq 0} C_ {0 dots m_ {j } dots 0} exp { bigl [} 2 pi im_ {j} X_ {j} { bigr]} f_ {jk} & = sum _ {m_ {j} neq 0} sum _ {m_ {k} neq 0} C_ {0 nuqta m_ {j} nuqta m_ {k} nuqta 0} exp { bigl [} 2 pi i chap (m_ {j} X_ {j } + m_ {k} X_ {k} right) { bigr]} f_ {12 dots n} & = sum _ {m_ {1} neq 0} sum _ {m_ {2} neq 0} cdots sum _ {m_ {n} neq 0} C_ {m_ {1} m_ {2} nuqta m_ {n}} exp { bigl [} 2 pi i chap (m_ {) 1} X_ {1} + m_ {2} X_ {2} + cdots + m_ {n} X_ {n} right) { bigr]}. End {hizalangan}}}

Birinchi tartibli shartli dispersiya

{ displaystyle { begin {aligned} V_ {j} & = int _ {0} ^ {1} f_ {j} ^ {2} left (X_ {j} right) dX_ {j} & = sum _ {m_ {j} neq 0} chap | C_ {0 nuqta m_ {j} nuqta 0} o'ng | ^ {2} & = 2 sum _ {m_ {j} = 1} ^ { infty} chap (A_ {m_ {j}} ^ {2} + B_ {m_ {j}} ^ {2} o'ng) end {hizalangan}}}

qayerda ${ displaystyle A_ {m_ {j}}}$ va ${ displaystyle B_ {m_ {j}}}$ ning haqiqiy va xayoliy qismidir ${ displaystyle C_ {0 dots m_ {j} dots 0}}$ navbati bilan

${ displaystyle A_ {m_ {j}} = int _ {0} ^ {1} cdots int _ {0} ^ {1} f left (X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n} o'ng) cos chap (2 pi m_ {j} X_ {j} o'ng) dX_ {1} dX_ {2} nuqtalar dX_ {n}}$

${ displaystyle B_ {m_ {j}} = int _ {0} ^ {1} cdots int _ {0} ^ {1} f left (X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n} o'ng) sin chap (2 pi m_ {j} X_ {j} o'ng) dX_ {1} dX_ {2} nuqtalar dX_ {n}}$

Ergodik teorema

Furye koeffitsientlarini hisoblash uchun ko'p o'lchovli integralni baholash kerak. Ushbu ko'p o'lchovli integralni baholashning bir usuli bu har bir kirishni yangi mustaqil o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida ifodalash orqali uni bir o'lchovli integralga aylantirishdir. ${ displaystyle s}$ , quyidagicha

{ displaystyle X_ {j} left (s right) = { frac {1} {2 pi}} left ( omega _ {j} s { text {mod}} 2 pi right) , j = 1,2, nuqta, n}

qayerda ${ displaystyle left { omega _ {j} right }}$ nomuvofiq chastotalar to'plamidir, ya'ni.

{ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} gamma _ {j} omega _ {j} = 0}

butun son uchun ${ displaystyle left { gamma _ {j} right }}$ agar va faqat agar ${ displaystyle gamma _ {j} = 0}$ har bir kishi uchun ${ displaystyle j}$ .Unda Furye koeffitsientlarini ergodik teoremaga muvofiq bir o'lchovli integral bilan hisoblash mumkin. ^[7]

${ displaystyle A_ {m_ {j}} = lim _ {T to infty} { frac {1} {2T}} int _ {- T} ^ {T} f { bigl (} X_ { 1} chap (s o'ng), X_ {2} chap (s o'ng), nuqtalar, X_ {n} chap (s o'ng) { bigr)} cos { bigl (} 2 pi m_ {j} X_ {j} chap (s o'ng) { bigr)} ds}$

${ displaystyle B_ {m_ {j}} = lim _ {T to infty} { frac {1} {2T}} int _ {- T} ^ {T} f { bigl (} X_ { 1} chap (s o'ng), X_ {2} chap (s o'ng), nuqtalar, X_ {n} chap (s o'ng) { bigr)} sin { bigl (} 2 pi m_ {j} X_ {j} chap (s o'ng) { bigr)} ds}$

Amalga oshirish

Butun sonli chastotalar

Eng ko'p mos kelmaydigan chastotalardan biri ${ displaystyle left { omega _ {j} right }}$ mantiqsiz bo'lganlarning barchasi bilan oqilona bo'lishi mumkin. Irratsional sonning raqamli qiymatini kompyuterda to'liq saqlash mumkin emasligi sababli, amalga oshirishda nomutanosib chastotalarni barcha ratsional sonlar bilan taqqoslash talab qilinadi. Hech qanday umumiylikni yo'qotmasdan chastotalarni har qanday ratsional sonlar o'rniga butun son sifatida o'rnatish mumkin. Butun sonlar to'plami ${ displaystyle left { omega _ {j} right }}$ tartibiga taxminan mos kelmaydi ${ displaystyle M}$ agar

{ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} gamma _ {j} omega _ {j} neq 0}

uchun

{ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} left | gamma _ {j} right | leq M + 1}

qayerda ${ displaystyle M}$ butun son Aniq nomuvofiq holat o'ta muhim holat ${ displaystyle M to infty}$ .

To'liq sonli chastotalardan foydalanib, o'zgartirilgan bir o'lchovli integraldagi funktsiya davriydir, shuning uchun faqatgina ${ displaystyle 2 pi}$ zarur. Furye koeffitsientlarini taxminan quyidagicha hisoblash mumkin

{ displaystyle { begin {aligned} A_ {m_ {j}} & approx { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f { bigl (} X_ {1} chap (s o'ng), X_ {2} chap (s o'ng), nuqtalar, X_ {n} chap (s o'ng) { bigr)} cos chap (m_ { j} omega _ {j} s right) ds: = { hat {A}} _ {m_ {j}} B_ {m_ {j}} & approx { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f { bigl (} X_ {1} chap (s o'ng), X_ {2} chap (s o'ng), nuqtalar, X_ {n} chap (s o'ng) { bigr)} sin chap (m_ {j} omega _ {j} s o'ng) ds: = { hat {B}} _ {m_ {j} } end {hizalangan}}}

Cheklangan uchun nomutanosib chastotalarning yaqinlashishi ${ displaystyle M}$ haqiqiy Furye koeffitsientlari o'rtasidagi farq xatosiga olib keladi ${ displaystyle A_ {m_ {j}}}$ , ${ displaystyle B_ {m_ {j}}}$ va ularning taxminlari ${ displaystyle { hat {A}} _ {m_ {j}}}$ , ${ displaystyle { hat {B}} _ {m_ {j}}}$ . Buyurtma qanchalik katta bo'lsa ${ displaystyle M}$ xato qanchalik kichik bo'lsa, lekin quyidagi tartibda hisob-kitoblarni hisoblash uchun ko'proq hisoblash harakatlari talab etiladi. Amalda ${ displaystyle M}$ tez-tez 4 ga o'rnatiladi va natijada 50 ta chastotaga ega bo'lgan chastota to'plamlari jadvali mavjud. (McRae va boshq., 1982)

Qidiruv egri chizig'i

O'zgarish, ${ displaystyle X_ {j} left (s right) = { frac {1} {2 pi}} left ( omega _ {j} s { text {mod}} 2 pi right) }$ , kirish maydonidagi qidirish egri chizig'ini belgilaydi. Agar chastotalar bo'lsa, ${ displaystyle omega _ {j}, j = 1, nuqta, n}$ , mos kelmaydi, qidirish egri chizig'i kirish maydonidagi har bir nuqtadan quyidagicha o'tishi mumkin ${ displaystyle s}$ 0 dan farq qiladi ${ displaystyle infty}$ shuning uchun kirish fazosi ustidagi ko'p o'lchovli integralni qidirish egri chizig'i bo'ylab aniq bir o'lchovli integralga aylantirish mumkin. Ammo, agar chastotalar taxminan nomutanosib butun sonlar bo'lsa, qidirish egri chizig'i kirish maydonidagi har bir nuqtadan o'tolmaydi. Agar izlash takrorlansa, transformatsiya funktsiyasi davriy bo'lib, davri ${ displaystyle 2 pi}$ . Bir o'lchovli integralni nomutanosib chastotalar uchun cheksiz interval o'rniga bitta davrda baholash mumkin; Biroq, nomuvofiqlikning taxminiyligi tufayli hisoblash xatosi paydo bo'ladi.

Qidiruv egri chizig'i
$ Delta $ holatidagi qidiruv egri chizig'i₁= π va ω₂= 7. Chastotalar nomuvofiq bo'lganligi sababli qidirish egri chizig'i takrorlanmaydi va kvadratning har bir nuqtasidan o'tishi mumkin
$ Delta $ holatidagi qidiruv egri chizig'i₁= 3 va ω₂= 7. Chastotalar taxminan nomutanosib butun sonlar bo'lgani uchun qidirish egri chizig'i takrorlanadi va kvadratning har bir nuqtasidan o'tolmaydi
$ Delta $ holatidagi qidiruv egri chizig'i₁= 11 va ω₂= 7. Chastotalar taxminan nomutanosib butun sonlar bo'lgani uchun qidirish egri chizig'i takrorlanadi va kvadratning har bir nuqtasidan o'tolmaydi

Namuna olish

Taxminan Fyureni quyidagicha ifodalash mumkin

{ displaystyle { hat {A}} _ {m_ {j}} = { begin {case} 0 & m_ {j} { text {odd}} { frac {1} { pi}} int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} f { bigl (} mathbf {X} (s) { bigr)} cos left (m_ {j} omega _ {j} s right) ds & m_ {j} { text {even}} end {case}}}

va

{ displaystyle { hat {B}} _ {m_ {j}} = { begin {case} { frac {1} { pi}} int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} f { bigl (} mathbf {X} (s) { bigr)} sin left (m_ {j} omega _ {j} s right) ds & m_ {j} { text {odd} } 0 & m_ {j} { text {even}} end {case}}}

Nolga teng bo'lmagan integrallarni namuna olish nuqtalaridan hisoblash mumkin

{ displaystyle { begin {aligned} { hat {A}} _ {m_ {j}} & = { frac {1} {2q + 1}} sum _ {k = -q} ^ {q} f { bigl (} mathbf {X} (s_ {k}) { bigr)} cos chap (m_ {j} omega _ {j} s_ {k} o'ng), m_ {j} { text {even}} { hat {B}} _ {m_ {j}} & = { frac {1} {2q + 1}} sum _ {k = -q} ^ {q} f { bigl (} mathbf {X} (s_ {k}) { bigr)} sin left (m_ {j} omega _ {j} s_ {k} right), m_ {j} { matn {odd}} end {hizalangan}}}

bir xil namuna olish nuqtasi qaerda ${ displaystyle chap [- pi / 2, pi / 2 o'ng]}$ bu

{ displaystyle s_ {k} = { frac { pi k} {2q + 1}}, k = -q, nuqta, -1,0,1, nuqta, q.}

Namuna olish punktlarining umumiy soni ${ displaystyle 2q + 1}$ bu Nyquist namuna olish mezonini qondirishi kerak, ya'ni.

{ displaystyle 2q + 1 geq N omega _ {max} +1}

qayerda ${ displaystyle omega _ {max}}$ ichida eng katta chastota hisoblanadi ${ displaystyle left { omega _ {k} right }}$ va ${ displaystyle N}$ - hisoblangan Furye koeffitsientlarining maksimal tartibi.

Qisman summa

Bashoratli Furye koeffitsientlarini hisoblab chiqqandan so'ng, birinchi tartibli shartli dispersiyani yaqinlashtirib olish mumkin

{ displaystyle { begin {aligned} V_ {j} & = 2 sum _ {m_ {j} = 1} ^ { infty} left (A_ {m_ {j}} ^ {2} + B_ {m_) {j}} ^ {2} o'ng) & taxminan 2 sum _ {m_ {j} = 1} ^ { infty} chap ({ hat {A}} _ {m_ {j}} ^ {2} + { hat {B}} _ {m_ {j}} ^ {2} o'ng) & approx 2 sum _ {m_ {j} = 1} ^ {2} chap ( { hat {A}} _ {m_ {j}} ^ {2} + { hat {B}} _ {m_ {j}} ^ {2} o'ng) & = 2 chap ({ shapka {A}} _ {m_ {j} = 2} ^ {2} + { hat {B}} _ {m_ {j} = 1} ^ {2} right) end {hizalangan}}}

bu erda faqat dastlabki ikkita hadning qisman yig'indisi hisoblanadi va ${ displaystyle N = 2}$ namuna olish punktlari sonini aniqlash uchun. Qisman yig'indidan foydalanish odatda jami yig'indining etarlicha yaxshi yaqinlashishini qaytarishi mumkin, chunki asosiy chastota va past tartibli chastotalarga mos keladigan atamalar odatda umumiy summaning ko'p qismini tashkil qiladi. Bundan tashqari, yig'indagi Furye koeffitsienti faqat haqiqiy qiymatni baholash va undan yuqori buyurtma shartlarini qo'shish hisoblash aniqligini sezilarli darajada oshirishga yordam bermaydi. To'liq chastotalar mutlaqo nomutanosib bo'lganligi sababli, ikkita tamsayı mavjud ${ displaystyle m_ {j}}$ va ${ displaystyle m_ {k}}$ shu kabi ${ displaystyle m_ {j} omega _ {j} = m_ {k} omega _ {k}.}$ Ikkala chastotalar orasidagi shovqin, agar yig'indiga yuqori buyurtma shartlari kiritilgan bo'lsa, sodir bo'lishi mumkin.

Xuddi shunday ${ displaystyle f left ( mathbf {X} right)}$ sifatida hisoblash mumkin

{ displaystyle V approx { hat {A}} _ {0} left [f ^ {2} right] - { hat {A}} _ {0} left [f right] ^ {2 }}

qayerda ${ displaystyle { hat {A}} _ {0} left [f ^ {2} right]}$ funktsiyasining taxmin qilingan Furye koeffitsientini bildiradi ${ displaystyle f ^ {2}}$ qavs ichida va ${ displaystyle { hat {A}} _ {0} left [f right] ^ {2}}$ - bu funksiyaning kvadratik Furye koeffitsienti ${ displaystyle f}$ . Va nihoyat, kirishning asosiy ta'siriga taalluqli sezgirlikni shartli dispersiyani umumiy dispersiyaga bo'lish orqali hisoblash mumkin.

Adabiyotlar

^ Kukier, R.I., CM Fortuin, K.E. Shuler, A.G.Petschek va J.X. Schaible (1973). Birlashtirilgan reaksiya tizimlarining tezlik koeffitsientlarining noaniqliklariga sezgirligini o'rganish. Men nazariya. Kimyoviy fizika jurnali, 59, 3873–3878.
^ Schaible, J.H. va K.E. Shuler (1973). Birlashtirilgan reaksiya tizimlarining tezlik koeffitsientlarining noaniqliklariga sezgirligini o'rganish. II dasturlar. Kimyoviy fizika jurnali, 59, 3879–3888.
^ Kukier, R.I., J.X. Schaible va K.E. Shuler (1975). Birlashtirilgan reaksiya tizimlarining tezlik koeffitsientlarining noaniqliklariga sezgirligini o'rganish. III. Taxminiy tahlillar. Kimyoviy fizika jurnali, 63, 1140–1149.
^ McRae, GJ, JW. Tilden va J.H. Zaynfeld (1982). Global sezuvchanlik tahlili - Fourier Amplititude Sensitivity testini (FAST) hisoblash yo'li bilan amalga oshirish. Kompyuterlar va kimyo muhandisligi, 6, 15–25.
^ Archer G.E.B., A. Saltelli va I.M.Sobol (1997). Ta'sirchanlik o'lchovlari, ANOVA-ga o'xshash usullar va bootstrap-dan foydalanish. Statistik hisoblash va simulyatsiya jurnali, 58, 99–120.
^ Saltelli A., S. Tarantola va K.P.S. Chan (1999). Model chiqishining global sezgirligini tahlil qilish uchun modeldan mustaqil ravishda miqdoriy usul. Texnometriya, 41, 39–56.
^ Veyl, H. (1938). O'rtacha harakat. Amerika matematika jurnali, 60, 889–896.

[1] Kukier, R.I., CM Fortuin, K.E. Shuler, A.G.Petschek va J.X. Schaible (1973). Birlashtirilgan reaksiya tizimlarining tezlik koeffitsientlarining noaniqliklariga sezgirligini o'rganish. Men nazariya. Kimyoviy fizika jurnali, 59, 3873–3878.

[2] Schaible, J.H. va K.E. Shuler (1973). Birlashtirilgan reaksiya tizimlarining tezlik koeffitsientlarining noaniqliklariga sezgirligini o'rganish. II dasturlar. Kimyoviy fizika jurnali, 59, 3879–3888.

[3] Kukier, R.I., J.X. Schaible va K.E. Shuler (1975). Birlashtirilgan reaksiya tizimlarining tezlik koeffitsientlarining noaniqliklariga sezgirligini o'rganish. III. Taxminiy tahlillar. Kimyoviy fizika jurnali, 63, 1140–1149.

[4] McRae, GJ, JW. Tilden va J.H. Zaynfeld (1982). Global sezuvchanlik tahlili - Fourier Amplititude Sensitivity testini (FAST) hisoblash yo'li bilan amalga oshirish. Kompyuterlar va kimyo muhandisligi, 6, 15–25.

[5] Archer G.E.B., A. Saltelli va I.M.Sobol (1997). Ta'sirchanlik o'lchovlari, ANOVA-ga o'xshash usullar va bootstrap-dan foydalanish. Statistik hisoblash va simulyatsiya jurnali, 58, 99–120.

[6] Saltelli A., S. Tarantola va K.P.S. Chan (1999). Model chiqishining global sezgirligini tahlil qilish uchun modeldan mustaqil ravishda miqdoriy usul. Texnometriya, 41, 39–56.

[7] Veyl, H. (1938). O'rtacha harakat. Amerika matematika jurnali, 60, 889–896.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]