Frodas teoremasi - Frodas theorem

Yilda matematika, Darboux-Froda teoremasinomi bilan nomlangan Aleksandru Froda, rumin matematikasi, ning to'plamini tavsiflaydi uzilishlar a monoton real qiymatga ega funktsiya haqiqiy o'zgaruvchining. Odatda, bu teorema adabiyotda nomsiz paydo bo'ladi. Bu 1929 yilda Froda tezisida yozilgan.[1][2][shubhali ]. Tezisda e'tirof etilganidek, teorema aslida tufayli Jan Gaston Darbou.[3]

Ta'riflar

  1. Funktsiyani ko'rib chiqing f haqiqiy o'zgaruvchining x nuqta yaqinida aniqlangan haqiqiy qiymatlar bilan va funktsiyasi f haqiqiy o'qning nuqtasida uzluksizdir . Biz qo'ng'iroq qilamiz olinadigan uzilish yoki a sakrashni to'xtatish a birinchi turdagi uzilishlar.[4]
  2. Belgilang va . Keyin agar va sonli, biz farqni chaqiramiz The sakramoq[5] f at .

Agar funktsiya doimiy ravishda keyin sakrash nolga teng. Bundan tashqari, agar da doimiy emas , sakrash nolga teng bo'lishi mumkin agar .

Aniq bayonot

Ruxsat bering f haqiqiy qadrli bo'ling monoton funktsiyasi an oraliq Men. Keyin birinchi turdagi uzilishlar to'plami eng ko'p hisoblash mumkin.

Biror kishi isbotlashi mumkin[6][7] intervalda aniqlangan monotonli real qiymatli funktsiyani to'xtatishning barcha nuqtalari sakrashning uzilishlari va shuning uchun bizning ta'rifimiz bo'yicha birinchi turdagi. Ushbu so'z bilan Froda teoremasi kuchliroq shaklga ega:

Ruxsat bering f intervalda aniqlangan monoton funktsiya bo'lishi . Keyin uzilishlar to'plami eng ko'p hisoblash mumkin.

Isbot

Ruxsat bering interval bo'lishi va , belgilangan , an ortib bormoqda funktsiya. Bizda ... bor

har qanday kishi uchun . Ruxsat bering va ruxsat bering bo'lishi ichkaridagi nuqtalar unda sakrash katta yoki tengdir :

Bizda ... bor yoki .Shunda

va shuning uchun: .

Beri bizda sakrash nuqtalari soni kattaroq cheklangan yoki nolga teng.

Biz quyidagi to'plamlarni aniqlaymiz:

,

Bizda har bir to'plam bor cheklangan yoki bo'sh to'plam. Ittifoq sakrash ijobiy bo'lgan barcha nuqtalarni o'z ichiga oladi va shu sababli barcha uzilish nuqtalarini o'z ichiga oladi. Har bir narsadan beri eng ko'p hisoblash mumkin, bizda shunday narsa bor eng ko'p hisoblash mumkin.

Agar bu kamayish dalil o'xshash.

Agar interval bo'lsa emas yopiq va chegaralangan (va shuning uchun Geyn-Borel teoremasi emas ixcham ) keyin intervalni yopiq va chegaralangan intervallarni hisoblanadigan birlashmasi sifatida yozish mumkin ketma-ket istalgan ikki intervalga ega bo'lgan xususiyat bilan so'nggi nuqta birlgalikda:

Agar keyin qayerda qat'iy ravishda kamayib boradi ketma-ketlik shu kabi Shunga o'xshash tarzda, agar yoki agar .

Har qanday intervalda bizda eng ko'p hisoblash mumkin bo'lgan uzilish nuqtalari mavjud va ko'pi bilan hisoblash mumkin bo'lgan to'plamlarning hisoblanadigan birlashishi eng ko'p hisoblash mumkin bo'lganligi sababli, barcha uzilishlar to'plami eng ko'p hisoblash mumkin.

Shuningdek qarang

Izohlar

  1. ^ Aleksandr Froda, Réelles-ning o'zgaruvchan parametrlari, Tse, Hermann nashrlari, Parij, 1929 yil 3-dekabr
  2. ^ Aleksandru Froda - To'plangan hujjatlar (Opera Matematica), 1-jild, Muharriri Academiei Române, 2000 yil
  3. ^ Jan Gaston Darbou, Mémoire sur les fonctions to'xtatiladi, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 2-éme série, t. IV, 1875, VI bob.
  4. ^ Valter Rudin, Matematik tahlil tamoyillari, McGraw-Hill, 1964, (Qarshi 4.26, 81-82 betlar)
  5. ^ Miron Nikolesku, Nikolae Dinculeanu, Sulaymon Markus, Matematik tahlil (Buxarest 1971), jild 1, p. 213, [rumin tilida]
  6. ^ Valter Rudin, Matematik tahlil tamoyillari, McGraw-Hill 1964 (Xulosa, 83-bet)
  7. ^ Miron Nikolesku, Nikolae Dinculeanu, Sulaymon Markus, Matematik tahlil (Buxarest 1971), Vol.1, p. 213, [rumin tilida]

Adabiyotlar

  • Bernard R. Gelbaum, Jon M. H. Olmsted, Tahlilda qarshi misollar, Holden-Day, Inc., 1964. (18. 28-bet)
  • Jon M. H. Olmsted, Haqiqiy o'zgaruvchilar, Appleton-Century-Crofts, Inc., Nyu-York (1956), (59-bet, 29-bet).