Umumlashtirilgan Verma moduli - Generalized Verma module

Yilda matematika, umumlashtirilgan Verma modullari a (rost) ning umumlashtirilishi Verma moduli,^[1] va ob'ektlar vakillik nazariyasi ning Yolg'on algebralar. Ular dastlab tomonidan o'rganilgan Jeyms Lepovskiy 1970-yillarda. Ularning o'rganish motivatsiyasi shundaki, ularning homomorfizmlari mos keladi o'zgarmas differentsial operatorlar ustida umumlashtirilgan bayroq manifoldlari. Ushbu operatorlarni o'rganish parabolik geometriya nazariyasining muhim qismidir.

Ta'rif

Ruxsat bering ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ bo'lishi a yarim semple Lie algebra va ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ a parabolik subalgebra ning ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Har qanday kishi uchun qisqartirilmaydi cheklangan o'lchovli vakillik ${ displaystyle V}$ ning ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ biz umumiy Verma modulini quyidagicha aniqlaymiz nisbiy tensor mahsuloti

{ displaystyle M _ { mathfrak {p}} (V): = { mathcal {U}} ({ mathfrak {g}}) otimes _ {{ mathcal {U}} ({ mathfrak {p}) })} V}

.

Ning harakati ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ chapda ko'paytma ${ displaystyle { mathcal {U}} ({ mathfrak {g}})}$ .

Agar λ V ning eng katta og'irligi bo'lsa, biz ba'zan Verma modulini quyidagicha belgilaymiz ${ displaystyle M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ .

Yozib oling ${ displaystyle M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ faqat uchun ma'noga ega ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ -dominant va ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ - integral og'irliklar (qarang vazn ) ${ displaystyle lambda}$ .

Ma'lumki, a parabolik subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ ning ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ noyob baholashni belgilaydi ${ displaystyle { mathfrak {g}} = oplus _ {j = -k} ^ {k} { mathfrak {g}} _ {j}}$ Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${ displaystyle { mathfrak {p}} = oplus _ {j geq 0} { mathfrak {g}} _ {j}}$ .Qo'yaylik ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {-}: = oplus _ {j <0} { mathfrak {g}} _ {j}}$ .Bu narsa Punkare - Birxoff - Vitt teoremasi bu vektor maydoni sifatida (va hatto ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {-}}$ -modul va a ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$ -modul),

{ displaystyle M _ { mathfrak {p}} (V) simeq { mathcal {U}} ({ mathfrak {g}} _ {-}) otimes V}

.

Keyingi matnda biz umumiy Verma modulini oddiygina GVM bilan belgilaymiz.

GVMlarning xususiyatlari

GVM-lar eng yuqori og'irlikdagi modullar va ularning eng yuqori vazn λ - bu vakolatxonaning eng yuqori og'irligi V. Agar ${ displaystyle v _ { lambda}}$ V ning eng katta vazn vektori, keyin ${ displaystyle 1 otimes v _ { lambda}}$ eng katta vazn vektoridir ${ displaystyle M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ .

GVM-lar vazn modullari, ya'ni ular to'g'ridan-to'g'ri yig'indisidir vazn oraliqlari va bu vazn bo'shliqlari cheklangan o'lchovli.

Hammasi kabi eng yuqori og'irlikdagi modullar, GVM - bu Verma modullarining kotirovkalari. The yadro ning proektsiya ${ displaystyle M _ { lambda} to M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ bu

{ displaystyle (1) quad K _ { lambda}: = sum _ { alfa in S} M_ {s _ { alpha} cdot lambda} subset M _ { lambda}}

qayerda ${ displaystyle S subset Delta}$ bularning to'plami oddiy ildizlar a shunday, ildizning salbiy ildiz bo'shliqlari ${ displaystyle - alfa}$ ichida ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ (S to'plami subalgebrani o'ziga xos tarzda aniqlaydi ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ ), ${ displaystyle s _ { alpha}}$ bo'ladi ildiz aksi a va ildizlariga nisbatan ${ displaystyle s _ { alpha} cdot lambda}$ bo'ladi afine harakati ning ${ displaystyle s _ { alpha}}$ on da. Bu (haqiqiy) nazariyasidan kelib chiqadi Verma modullari bu ${ displaystyle M_ {s _ { alpha} cdot lambda}}$ ning noyob submoduli uchun izomorfikdir ${ displaystyle M _ { lambda}}$ . (1) da biz aniqladik ${ displaystyle M_ {s _ { alpha} cdot lambda} subset M _ { lambda}}$ . (1) ning yig'indisi emas to'g'ridan-to'g'ri.

Qachon maxsus holatda ${ displaystyle S = emptyset}$ , parabolik subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ bo'ladi Borel subalgebra va GVM (haqiqiy) Verma moduliga to'g'ri keladi. Boshqa ekstremal holatda qachon ${ displaystyle S = Delta}$ , ${ displaystyle { mathfrak {p}} = { mathfrak {g}}}$ va GVM induktsiya qiluvchi V vakili uchun izomorfdir.

GVM ${ displaystyle M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ deyiladi muntazam, agar uning eng katta vazni λ dominant og'irlikdagi afin Veyl orbitasida bo'lsa ${ displaystyle { tilde { lambda}}}$ . Boshqacha qilib aytganda, Weyl guruhining w elementi mavjud, shunday qilib

{ displaystyle lambda = w cdot { tilde { lambda}}}

qayerda ${ displaystyle cdot}$ bo'ladi afine harakati Veyl guruhi.

Verma moduli ${ displaystyle M _ { lambda}}$ deyiladi yakka, agar afinaning orbitasida dominant og'irlik bo'lmasa. Bunday holda, vazn mavjud ${ displaystyle { tilde { lambda}}}$ Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${ displaystyle { tilde { lambda}} + delta}$ ning devorida joylashgan Veylning asosiy kamerasi (δ - hammasining yig'indisi asosiy og'irliklar ).

GVMlarning homomorfizmlari

GVMlarning homomorfizmi deganda biz nazarda tutamiz ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -omomorfizm.

Har qanday ikki vazn uchun ${ displaystyle lambda, mu}$ a homomorfizm

{ displaystyle M _ { mathfrak {p}} ( mu) rightarrow M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}

faqat agar mavjud bo'lsa ${ displaystyle mu}$ va ${ displaystyle lambda}$ bilan bog'langan afine harakati ning Veyl guruhi ${ displaystyle W}$ yolg'on algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Bu osonlikcha quyidagidan kelib chiqadi Xarish-Chandra teoremasi kuni cheksiz kichik markaziy belgilar.

(Haqiqiy) holatidan farqli o'laroq Verma modullari, GVM ning homomorfizmlari umuman in'ektsion emas va o'lchov

{ displaystyle dim (Hom (M _ { mathfrak {p}} ( mu), M _ { mathfrak {p}} ( lambda)))}

ba'zi bir aniq holatlarda bittadan kattaroq bo'lishi mumkin.

Agar ${ displaystyle f: M _ { mu} to M _ { lambda}}$ (haqiqiy) Verma modullarining homomorfizmi, ${ displaystyle K _ { mu}}$ resp. ${ displaystyle K _ { lambda}}$ proektsiyaning yadrolari ${ displaystyle M _ { mu} to M _ { mathfrak {p}} ( mu)}$ , resp. ${ displaystyle M _ { lambda} to M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ , keyin homomorfizm mavjud ${ displaystyle K _ { mu} to K _ { lambda}}$ va Verma umumiy modullarining homomorfizmiga ta'sir qiluvchi omillar ${ displaystyle M _ { mathfrak {p}} ( mu) to M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ . Bunday gomomorfizm (bu Verma modullari gomomorfizmining omili) deyiladi standart. Biroq, ba'zi hollarda standart homomorfizm nolga teng bo'lishi mumkin.

Standart

Haqiqiy Verma modullarining noan'anaviy homomorfizmi mavjud deb taxmin qilaylik ${ displaystyle M _ { mu} to M _ { lambda}}$ .Qo'yaylik ${ displaystyle S subset Delta}$ ularning to'plami bo'ling oddiy ildizlar a shunday, ildizning salbiy ildiz bo'shliqlari ${ displaystyle - alfa}$ ichida ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ (bo'limda bo'lgani kabi) Xususiyatlari Quyidagi teorema isbotlangan Lepovskiy:^[2]

Standart gomomorfizm ${ displaystyle M _ { mathfrak {p}} ( mu) to M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ agar mavjud bo'lsa va faqat nolga teng ${ displaystyle alpha in S}$ shu kabi ${ displaystyle M _ { mu}}$ ning submoduli uchun izomorfikdir ${ displaystyle M_ {s _ { alpha} cdot lambda}}$ ( ${ displaystyle s _ { alpha}}$ mos keladi ildiz aksi va ${ displaystyle cdot}$ bo'ladi afine harakati ).

A ning affin orbitasida GVMlarning tuzilishi ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -dominant va ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ - ajralmas vazn ${ displaystyle { tilde { lambda}}}$ aniq ta'riflash mumkin. Agar W bo'lsa Veyl guruhi ning ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , pastki to'plam mavjud ${ displaystyle W ^ { mathfrak {p}} subset W}$ shunday elementlarning, shunday qilib ${ displaystyle w in W ^ { mathfrak {p}} Leftrightarrow w ({ tilde { lambda}})}$ bu ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ - dominant. Buni ko'rsatish mumkin ${ displaystyle W ^ { mathfrak {p}} simeq W _ { mathfrak {p}} backslash W}$ qayerda ${ displaystyle W _ { mathfrak {p}}}$ Weyl guruhidir ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ (jumladan, ${ displaystyle W ^ { mathfrak {p}}}$ tanloviga bog'liq emas ${ displaystyle { tilde { lambda}}}$ ). Xarita ${ displaystyle w in W ^ { mathfrak {p}} mapsto M _ { mathfrak {p}} (w cdot { tilde { lambda}})}$ orasidagi biektsiya ${ displaystyle W ^ { mathfrak {p}}}$ va eng yuqori vaznga ega GVM to'plami afin orbitasi ning ${ displaystyle { tilde { lambda}}}$ . Faraz qilaylik ${ displaystyle mu = w ' cdot { tilde { lambda}}}$ , ${ displaystyle lambda = w cdot { tilde { lambda}}}$ va ${ displaystyle w leq w '}$ ichida Bruhat buyurtma berish (aks holda, Verma modullarining (haqiqiy) homomorfizmi yo'q ${ displaystyle M _ { mu} to M _ { lambda}}$ va standart homomorfizm mantiqiy emas, qarang Verma modullarining gomomorfizmlari ).

Quyidagi gaplar yuqoridagi teorema va ning tuzilishidan kelib chiqadi ${ displaystyle W ^ { mathfrak {p}}}$ :

Teorema. Agar ${ displaystyle w '= s _ { gamma} w}$ kimdir uchun ijobiy ildiz ${ displaystyle gamma}$ va uzunligi (qarang Bruhat buyurtma berish ) l (w ') = l (w) +1, keyin nolga teng bo'lmagan standart homomorfizm mavjud ${ displaystyle M _ { mathfrak {p}} ( mu) to M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ .

Teorema. Standart gomomorfizm ${ displaystyle M _ { mathfrak {p}} ( mu) to M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ agar mavjud bo'lsa va faqat nolga teng ${ displaystyle w '' W da}$ shu kabi ${ displaystyle w leq w '' leq w '}$ va ${ displaystyle w '' not W ^ { mathfrak {p}}}$ .

Ammo, agar ${ displaystyle { tilde { lambda}}}$ faqat dominant, ammo ajralmas emas, hali ham mavjud bo'lishi mumkin ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ -dominant va ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ - uning affin orbitasidagi integral og'irliklar.

Agar GVM singular xarakterga ega bo'lsa, ya'ni u erda bo'lsa, vaziyat yanada murakkablashadi ${ displaystyle mu}$ va ${ displaystyle lambda}$ ba'zilarning affine orbitasida ${ displaystyle { tilde { lambda}}}$ shu kabi ${ displaystyle { tilde { lambda}} + delta}$ ning devorida joylashgan Veylning asosiy kamerasi.

Nostandart

Gomomorfizm ${ displaystyle M _ { mathfrak {p}} ( mu) to M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ deyiladi nostandart, agar u standart bo'lmasa. GVMlarning standart gomomorfizmi nolga teng bo'lishi mumkin, ammo nostandart homomorfizm mavjud.

Bernshteyn-Gelfand-Gelfand rezolyutsiyasi

Misollar

Maydonlari konformal maydon nazariyasi umumiy Verma modullariga tegishli konformal algebra.^[3]

Shuningdek qarang

Tashqi havolalar

Lie algebra modullarining BGG piksellar sonini yaratish va uning kohomologiyasini hisoblash uchun kod

Adabiyotlar

^ Nomlangan Daya-Nand Verma.
^ Lepovskiy J., Bernshteyn-Gelfand-Gelfand rezolyutsiyasini umumlashtirish, J. Algebra, 49 (1977), 496-511.
^ Penedones, Joao; Trevisani, Emilio; Yamazaki, Masahito (2016). "Konformal bloklar uchun rekursiya munosabatlari". Yuqori energiya fizikasi jurnali. 2016 (9). doi:10.1007 / JHEP09 (2016) 070. ISSN 1029-8479.

[1] Nomlangan Daya-Nand Verma.

[2] Lepovskiy J., Bernshteyn-Gelfand-Gelfand rezolyutsiyasini umumlashtirish, J. Algebra, 49 (1977), 496-511.

[pty16-3] Penedones, Joao; Trevisani, Emilio; Yamazaki, Masahito (2016). "Konformal bloklar uchun rekursiya munosabatlari". Yuqori energiya fizikasi jurnali. 2016 (9). doi:10.1007 / JHEP09 (2016) 070. ISSN 1029-8479.

[1]

[2]

[3]