Geometrik progressiya - Geometric progression

Naqshning uchta asosiy geometrik ketma-ketligini aks ettiruvchi diagramma 1 (rⁿ⁻¹) 6 tagacha chuqurlikda. Birinchi blok birlik blok bo'lib, chiziqli chiziq cheksiz summa ketma-ketlik, u abadiy yaqinlashadigan, ammo hech qachon tegmaydigan raqam: mos ravishda 2, 3/2 va 4/3.

Yilda matematika, a geometrik progressiya, shuningdek, a geometrik ketma-ketlik, a ketma-ketlik ning raqamlar bu erda birinchisidan keyingi har bir muddat oldingi deb nomlangan sobit, bitta bo'lmagan songa ko'paytirib topiladi umumiy nisbat. Masalan, 2, 6, 18, 54, ... ketma-ketlik umumiy koeffitsientga ega bo'lgan geometrik progressiya 3. Xuddi shunday 10, 5, 2.5, 1.25, ... - bu 1/2 umumiy nisbatga ega bo'lgan geometrik ketma-ketlik.

Geometrik ketma-ketlikning misollari kuchlar r^k belgilangan raqam r, kabi 2^k va 3^k. Geometrik ketma-ketlikning umumiy shakli bu

{displaystyle a, ar, ar ^ {2}, ar ^ {3}, ar ^ {4}, ldots}

qayerda r ≠ 1 umumiy koeffitsient va a a o'lchov omili, ketma-ketlikning boshlang'ich qiymatiga teng.

Elementar xususiyatlar

The n- boshlang'ich qiymati bo'lgan geometrik ketma-ketlikning uchinchi davri a = a₁ va umumiy nisbat r tomonidan berilgan

{displaystyle a_ {n} = a, r ^ {n-1}.}

Bunday geometrik ketma-ketlik quyidagiga ham amal qiladi rekursiv munosabat

{displaystyle a_ {n} = r, a_ {n-1}}

har bir butun son uchun

{displaystyle ngeq 1.}

Odatda, berilgan ketma-ketlikning geometrik ekanligini tekshirish uchun ketma-ketlikdagi ketma-ket yozuvlar bir xil nisbatga ega ekanligini tekshiradi.

Geometrik ketma-ketlikning umumiy nisbati salbiy bo'lishi mumkin, natijada o'zgaruvchan ketma-ketlik paydo bo'ladi, raqamlar ijobiy va salbiy o'rtasida o'zgarib turadi. Masalan; misol uchun

1, −3, 9, −27, 81, −243, ...

umumiy nisbati −3 bo'lgan geometrik ketma-ketlikdir.

Geometrik ketma-ketlikning harakati umumiy nisbat qiymatiga bog'liq.
Agar umumiy nisbat:

ijobiy, shartlarning barchasi dastlabki muddat bilan bir xil belgi bo'ladi.
salbiy, atamalar ijobiy va salbiy o'rtasida o'zgarib turadi.
1 dan katta bo'lsa, bo'ladi eksponent o'sish tomonga ijobiy yoki salbiy cheksizlik (dastlabki muddatning belgisiga qarab).
1, rivojlanish a doimiy ketma-ketlik.
-1 va 1 orasida, lekin nol emas, bo'ladi eksponensial yemirilish nolga (→ 0) qarab.
−1, ketma-ketlikdagi har bir davrning absolyut qiymati doimiy va atamalar belgi bilan o'zgarib turadi.
-1 dan kam, absolyut qiymatlar uchun eksponent o'sish mavjud (imzosiz) cheksizlik, o'zgaruvchan belgisi tufayli.

Geometrik ketma-ketliklar (umumiy koeffitsienti -1, 1 yoki 0 ga teng bo'lmagan holda) aksincha, eksponent o'sishni yoki eksponensial parchalanishni ko'rsatadi. chiziqli o'sish (yoki pasayish) arifmetik progressiya masalan, 4, 15, 26, 37, 48,… (umumiy bilan farq 11). Ushbu natija olingan T.R. Maltus uning matematik poydevori sifatida Populyatsiya tamoyili.Ishlashning ikki turi bir-biriga bog'liqligini ta'kidlang: arifmetik progresiyaning har bir hadini eksponentlash geometrik progressiyani hosil qiladi, logaritma ijobiy umumiy koeffitsientga ega bo'lgan geometrik progresiyadagi har bir haddan tashqari arifmetik progresiyani beradi.

Geometrik progressiya ta'rifining qiziqarli natijasi shundan iboratki, har qanday ketma-ket uchta atama a, b va v quyidagi tenglamani qondiradi:

{displaystyle b ^ {2} = ac}

qayerda b deb hisoblanadi geometrik o'rtacha o'rtasida a va v.

Geometrik qatorlar

	2	+	10	+	50	+	250			=	312
− (			10	+	50	+	250	+	1250	=	5 × 312 )

	2							−	1250	=	(1 − 5) × 312

2 + 10 + 50 + 250 yig'indisini hisoblash. Ushbu ketma-ketlik muddat bo'yicha 5 ga ko'paytiriladi va keyin dastlabki ketma-ketlikdan chiqariladi. Ikki muddat qoldi: birinchi muddat, a, va muddat oxirgisi, yoki ar^m. Istalgan natija, 312, ushbu ikkita atamani olib tashlash va 1 - 5 ga bo'lish orqali topiladi.

A geometrik qatorlar bo'ladi sum geometrik progresiyadagi sonlarning. Masalan:

{displaystyle 2 + 10 + 50 + 250 = 2 + 2 imes 5 + 2 imes 5 ^ {2} +2 imes 5 ^ {3}.}

Ruxsat berish a birinchi atama bo'ling (bu erda 2), n atamalar soni (bu erda 4) va r har bir atama ko'paytirilib, keyingi atamani olish uchun doimiy (bu erda 5), yig'indisi quyidagicha bo'ladi:

{displaystyle {frac {a (1-r ^ {n})} {1-r}}}

Yuqoridagi misolda bu quyidagilarni beradi:

{displaystyle 2 + 10 + 50 + 250 = {frac {2 (1-5 ^ {4})} {1-5}} = {frac {-1248} {- 4}} = 312.}

Formula har qanday haqiqiy sonlar uchun ishlaydi a va r (bundan mustasno r = 1, bu nolga bo'linishga olib keladi). Masalan:

{displaystyle -2pi + 4pi ^ {2} -8pi ^ {3} = - 2pi + (- 2pi) ^ {2} + (- 2pi) ^ {3} = {frac {-2pi (1 - (- 2pi) ^ {3})} {1 - (- 2pi)}} = {frac {-2pi (1 + 2pi ^ {3})} {1 + 2pi}} taxminan -54.360768.}

Chiqish (quyida) bog'liq emasligi sababli a va r haqiqiy bo'lsa, u murakkab sonlar uchun ham amal qiladi.

Hosil qilish

Ushbu formulani olish uchun avval umumiy geometrik qatorni quyidagicha yozing:

{displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} ar ^ {k-1} = ar ^ {0} + ar ^ {1} + ar ^ {2} + ar ^ {3} + cdots + ar ^ { n-1}.}

Yuqoridagi tenglamaning ikkala tomonini 1 - ga ko'paytirib, ushbu yig'indining sodda formulasini topishimiz mumkin. rva biz buni ko'ramiz

{displaystyle {egin {aligned} (1-r) sum _ {k = 1} ^ {n} ar ^ {k-1} & = (1-r) (ar ^ {0} + ar ^ {1} + ar ^ {2} + ar ^ {3} + cdots + ar ^ {n-1}) & = ar ^ {0} + ar ^ {1} + ar ^ {2} + ar ^ {3} + cdots + ar ^ {n-1} -ar ^ {1} -ar ^ {2} -ar ^ {3} -cdots -ar ^ {n-1} -ar ^ {n} & = a-ar ^ { n} oxiri {hizalanmış}}}

chunki boshqa barcha shartlar bekor qilinadi. Agar r ≠ 1, biz n atamalar yig'indisini hisoblaydigan geometrik qator uchun qulay formulani olish uchun yuqoridagilarni o'zgartiramiz:

{displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} ar ^ {k-1} = {frac {a (1-r ^ {n})} {1-r}}.}

Tegishli formulalar

Agar summani k = 1 dan emas, balki boshqa qiymatdan boshlash kerak bo'lsa, aytaylik m, keyin

{displaystyle sum _ {k = m} ^ {n} ar ^ {k} = {frac {a (r ^ {m} -r ^ {n + 1})} {1-r}},}

taqdim etilgan ${displaystyle req 1}$ . Agar ${displaystyle r = 1}$ unda yig'indisi faqat doimiy bo'ladi ${displaystyle a}$ va shunga teng ${displaystyle a (n-m + 1)}$ .

Differentsiallash ushbu formulani nisbatan r shaklning yig'indisi uchun formulalarga kelishimizga imkon beradi

{displaystyle G_ {s} (n, r): = sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {s} r ^ {k}.}

Masalan:

{displaystyle {frac {d} {dr}} sum _ {k = 0} ^ {n} r ^ {k} = sum _ {k = 1} ^ {n} kr ^ {k-1} = {frac { 1-r ^ {n + 1}} {(1-r) ^ {2}}} - {frac {(n + 1) r ^ {n}} {1-r}}.}

Faqat teng kuchlarini o'z ichiga olgan geometrik qator uchun r 1 ga ko'paytiring - r² :

{displaystyle (1-r ^ {2}) sum _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {2k} = a-ar ^ {2n + 2}.}

Keyin

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {2k} = {frac {a (1-r ^ {2n + 2})} {1-r ^ {2}}}.}

Teng ravishda, olingr² umumiy nisbat sifatida va standart formuladan foydalaning.

Faqat toq kuchga ega seriya uchun r

{displaystyle (1-r ^ {2}) sum _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {2k + 1} = ar-ar ^ {2n + 3}}

va

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {2k + 1} = {frac {ar (1-r ^ {2n + 2})} {1-r ^ {2}}}.}

Umumlashtirilgan yig'indining aniq formulasi ${displaystyle G_ {s} (n, r)}$ qachon ${displaystyle sin mathbb {N}}$ tomonidan kengaytiriladi Ikkinchi turdagi raqamlar kabi ^[1]

{displaystyle G_ {s} (n, r) = sum _ {j = 0} ^ {s} leftlbrace {s atop j} ightbrace x ^ {j} {frac {d ^ {j}} {dx ^ {j} }} chap [{frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}} ight].}

Cheksiz geometrik qatorlar

An cheksiz geometrik qatorlar bu cheksiz qatorlar ketma-ket shartlari umumiy nisbatga ega. Bunday ketma-ketlik yaqinlashadi agar va faqat agar The mutlaq qiymat umumiy koeffitsient birdan kam (|r| <1). Keyinchalik uning qiymati cheklangan summa formulasidan hisoblanishi mumkin

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} ar ^ {k} = lim _ {n o infty} {sum _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {k}} = lim _ {n o infty} {frac {a (1-r ^ {n + 1})} {1-r}} = {frac {a} {1-r}} - lim _ {n o infty} {frac {ar ^ { n + 1}} {1-r}}}

Geometrik progressiyaning qisman yig'indilarini ko'rsatuvchi animatsiya

{displaystyle summasi chegaralari _ {k = 0} ^ {n} q ^ {k}}

(qizil chiziq) uning yig'indisiga

{displaystyle {1 ustidan 1-q}}

(ko'k chiziq) uchun

{displaystyle | q | <1}

.

2 ga yaqinlashadigan 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + the geometrik qatorlari ko'rsatilgan diagramma.

Beri:

{displaystyle r ^ {n + 1} o 0 {mbox {as}} n o infty {mbox {when}} | r | <1.}

Keyin:

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} ar ^ {k} = {frac {a} {1-r}} - 0 = {frac {a} {1-r}}}

Faqat teng kuchlarini o'z ichiga olgan qator uchun ${displaystyle r}$ ,

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} ar ^ {2k} = {frac {a} {1-r ^ {2}}}}

va faqat toq kuchlar uchun,

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} ar ^ {2k + 1} = {frac {ar} {1-r ^ {2}}}}

Yig'ma boshlanadigan holatlarda k = 0,

{displaystyle sum _ {k = m} ^ {infty} ar ^ {k} = {frac {ar ^ {m}} {1-r}}}

Yuqorida keltirilgan formulalar faqat | uchun amal qiladir| <1. Oxirgi formula har birida amal qiladi Banach algebra, ning normasi ekan r bittadan kam, shuningdek, sohasida p- oddiy raqamlar agar |r|_p <1. Sonli yig'indagi kabi, biz ham tegishli summalar uchun formulalarni hisoblash uchun farqlashimiz mumkin. Masalan,

{displaystyle {frac {d} {dr}} sum _ {k = 0} ^ {infty} r ^ {k} = sum _ {k = 1} ^ {infty} kr ^ {k-1} = {frac { 1} {(1-r) ^ {2}}}}

Ushbu formula faqat | uchun ishlaydir| <1 ham. Shundan kelib chiqadiki, uchun |r| < 1,

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} kr ^ {k} = {frac {r} {chap (1-o'ng) ^ {2}}},;, sum _ {k = 0} ^ {infty } k ^ {2} r ^ {k} = {frac {rleft (1 + o'ng)} {chap (1-o'ng) ^ {3}}},;, sum _ {k = 0} ^ {infty} k ^ {3} r ^ {k} = {frac {rleft (1 + 4r + r ^ {2} ight)} {chap (1-o'ng) ^ {4}}}}

Bundan tashqari, cheksiz qator 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ qatorining oddiy namunasidir mutlaqo birlashadi.

Bu geometrik qatorlar uning birinchi a'zosi 1/2 ga, umumiy nisbati esa 1/2 ga teng, shuning uchun uning yig'indisi

{displaystyle {frac {1} {2}} + {frac {1} {4}} + {frac {1} {8}} + {frac {1} {16}} + cdots = {frac {1/2 } {1 - (+ 1/2)}} = 1.}

Yuqoridagi ketma-ketlikning teskarisi 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ ning oddiy misoli o'zgaruvchan qatorlar bu mutlaqo yaqinlashadi.

Bu geometrik qatorlar uning birinchi a'zosi 1/2 va umumiy nisbati -1/2, shuning uchun uning yig'indisi

{displaystyle {frac {1} {2}} - {frac {1} {4}} + {frac {1} {8}} - {frac {1} {16}} + cdots = {frac {1/2 } {1 - (- 1/2)}} = {frac {1} {3}}.}

Murakkab raqamlar

Geometrik qatorlar uchun yig'indilik formulasi umumiy nisbat a bo'lgan taqdirda ham amal qiladi murakkab raqam. Bu holda shartning mutlaq qiymati r 1 dan kam bo'lishi, modul ning r 1. dan kam bo'ling. Ba'zi aniq bo'lmagan geometrik qatorlarning yig'indisini hisoblash mumkin. Masalan, taklifni ko'rib chiqing

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {sin (kx)} {r ^ {k}}} = {frac {rsin (x)} {1 + r ^ {2} -2rcos (x) )}}}

Buning isboti shundan kelib chiqadi

{displaystyle sin (kx) = {frac {e ^ {ikx} -e ^ {- ikx}} {2i}},}

bu natijadir Eyler formulasi. Buni asl seriyaga almashtirish beradi

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {sin (kx)} {r ^ {k}}} = {frac {1} {2i}} chap [sum _ {k = 0} ^ { infty} chap ({frac {e ^ {ix}} {r}} ight) ^ {k} -sum _ {k = 0} ^ {infty} chap ({frac {e ^ {- ix}} {r} } kech) ^ {k} tun

.

Bu ikkita geometrik qatorning farqidir va shuning uchun bu isbotni yakunlaydigan cheksiz geometrik qatorlar uchun formulani to'g'ridan-to'g'ri qo'llashdir.

Mahsulot

Geometrik progressiyaning hosilasi barcha atamalarning hosilasi. Buni tezda olish mumkin geometrik o'rtacha progressiyaning birinchi va oxirgi individual atamalari va bu atamalar sonining kuchini anglatadi. (Bu $ an $ atamalari yig'indisi formulasiga juda o'xshash arifmetik ketma-ketlik: olish o'rtacha arifmetik birinchi va oxirgi individual atamalarni, va atamalar soniga ko'paytiring.)

Ikkala sonning geometrik o'rtacha miqdori ularning hosilasining kvadrat ildiziga teng bo'lgani uchun, geometrik progressiyaning hosilasi quyidagicha:

{displaystyle prod _ {i = 0} ^ {n} ar ^ {i} = ({sqrt {acdot ar ^ {n}}}) ^ {n + 1} = ({sqrt {a ^ {2} r ^ {n}}}) ^ {n + 1}}

.

(Ushbu formulaning qiziqarli tomoni shundaki, garchi u potentsial-salbiyning potentsial-toq kuchining kvadrat ildizini olishni o'z ichiga oladi $r$ , agar u bo'lmasa murakkab natijani keltirib chiqara olmaydi $a$ na $r$ xayoliy qismga ega. Bu mumkin, kerak $r$ salbiy bo'ling va $n$ toq bo'lsin, chunki kvadrat ildiz salbiy oraliq natija olinadi, natijada keyingi oraliq natija xayoliy songa aylanadi. Biroq, shu tarzda hosil bo'lgan xayoliy qidiruv vositasi ko'p o'tmay kuchiga ko'tariladi ${displaystyle extstyle n + 1}$ , bu juft son bo'lishi kerak, chunki $n$ o'z-o'zidan g'alati edi; Shunday qilib, hisob-kitobning yakuniy natijasi g'alati raqam bo'lishi mumkin, ammo bu hech qachon xayoliy bo'lishi mumkin emas.)

Isbot

Ruxsat bering $P$ mahsulotni ifodalaydi. Ta'rifga ko'ra, uni har bir alohida atamani birgalikda ko'paytirish orqali hisoblash mumkin. To'liq yozilgan,

{displaystyle P = acdot arcdot ar ^ {2} cdots ar ^ {n-1} cdot ar ^ {n}}

.

Ko'paytirishni amalga oshirish va atamalar kabi yig'ish,

{displaystyle P = a ^ {n + 1} r ^ {1 + 2 + 3 + cdots + (n-1) + n}}

.

Ning eksponenti $r$ arifmetik ketma-ketlikning yig'indisi. Ushbu hisoblash uchun formulani almashtirib,

{displaystyle P = a ^ {n + 1} r ^ {frac {n (n + 1)} {2}}}

,

bu ifodani soddalashtirishga imkon beradi

{displaystyle P = (ar ^ {frac {n} {2}}) ^ {n + 1} = (a {sqrt {r ^ {n}}}) ^ {n + 1}}

.

Qayta yozish $a$ kabi ${displaystyle extstyle {sqrt {a ^ {2}}}}$ ,

{displaystyle P = ({sqrt {a ^ {2} r ^ {n}}}) ^ {n + 1}}

,

bu dalilni yakunlaydi.

Tarix

Dan loydan yasalgan lavha Mesopotamiyada dastlabki sulola davri, MS 3047, asos 3 va multiplikator 1/2 bo'lgan geometrik progressiyani o'z ichiga oladi. Bu bo'lishi tavsiya etilgan Shumer, shahridan Shuruppak. Bu geometrik progressiyaning ma'lum bo'lgan yagona rekordidir Bobil matematikasi.^[2]

VIII va IX kitoblar Evklid "s Elementlar geometrik progressiyalarni tahlil qiladi (masalan ikkitasining kuchlari, batafsil ma'lumot uchun maqolaga qarang) va ularning bir nechta xususiyatlarini keltiring.^[3]

Shuningdek qarang

Arifmetik progresiya - ketma-ket raqamlar orasidagi doimiy farqlarga ega bo'lgan sonlar ketma-ketligi
Arifmetik-geometrik ketma-ketlik
Lineer farq tenglamasi
Eksponent funktsiya - matematik funktsiyalar klassi
Garmonik rivojlanish
Harmonik seriyalar - musbat butun sonlarning o'zaro ta'sirining cheksiz qatori
Cheksiz seriyalar - cheksiz summa
Afzal raqam - Belgilangan cheklovlar to'plamida aniq mahsulot o'lchamlarini tanlash bo'yicha standart ko'rsatmalar
Tomas Robert Maltus - ingliz siyosiy iqtisodchisi
Geometrik taqsimot

Adabiyotlar

^ "Bo'limlarni o'rnating: stirling raqamlari". Matematik funktsiyalarning raqamli kutubxonasi. Olingan 24 may 2018.
^ Friberg, Joran (2007). "MS 3047: Eski Shumer metro-matematik jadval matni". Fribergda, Joran (tahrir). Bobil matematik matnlarining ajoyib to'plami. Matematika va fizika fanlari tarixidagi manbalar va tadqiqotlar. Nyu-York: Springer. 150-153 betlar. doi:10.1007/978-0-387-48977-3. ISBN 978-0-387-34543-7. JANOB 2333050.
^ Xit, Tomas L. (1956). Evklid elementlarining o'n uchta kitobi (2-nashr. [Faks. Asl nashr: Cambridge University Press, 1925] tahrir). Nyu-York: Dover nashrlari.

Hall va ritsar, Oliy algebra, p. 39, ISBN 81-8116-000-2

Tashqi havolalar

[1] "Bo'limlarni o'rnating: stirling raqamlari". Matematik funktsiyalarning raqamli kutubxonasi. Olingan 24 may 2018.

[2] Friberg, Joran (2007). "MS 3047: Eski Shumer metro-matematik jadval matni". Fribergda, Joran (tahrir). Bobil matematik matnlarining ajoyib to'plami. Matematika va fizika fanlari tarixidagi manbalar va tadqiqotlar. Nyu-York: Springer. 150-153 betlar. doi:10.1007/978-0-387-48977-3. ISBN 978-0-387-34543-7. JANOB 2333050.

[3] Xit, Tomas L. (1956). Evklid elementlarining o'n uchta kitobi (2-nashr. [Faks. Asl nashr: Cambridge University Press, 1925] tahrir). Nyu-York: Dover nashrlari.

[1]

[2]

[3]