Xulosa - Summation

Arifmetik amallar

Qo'shish (+) ${ displaystyle scriptstyle chap. { begin {matrix} scriptstyle { text {term}} , + , { text {term}} scriptstyle { text {summand}} , + , { text {summand}} scriptstyle { text {addend (keng ma'noda)}} , + , { text {addend (keng ma'noda)}} scriptstyle { text {augend}} , + , { text {addend (qattiq ma'noda)}} end {matrix}} right } , = ,}$ ${ displaystyle scriptstyle { text {sum}}}$ Chiqarish (−) ${ displaystyle scriptstyle chap. { begin {matrix} scriptstyle { text {term}} , - , { text {term}} scriptstyle { text {minuend}} , - , { text {subtrahend}} end {matrix}} right } , = ,}$ ${ displaystyle scriptstyle { text {farq}}}$ Ko'paytirish (×) ${ displaystyle scriptstyle chap. { begin {matrix} scriptstyle { text {factor}} , times , { text {factor}} scriptstyle { text {multiplier}} , times , { text {multiplicand}} end {matrix}} right } , = ,}$ ${ displaystyle scriptstyle { text {product}}}$ Bo'lim (÷) ${ displaystyle scriptstyle chap. { begin {matrix} scriptstyle { frac { scriptstyle { text {dividend}}} { scriptstyle { text {divisor}}}} scriptstyle { text { }} scriptstyle { frac { scriptstyle { text {numerator}}} { scriptstyle { text {denominator}}}} end {matrix}} right } , = ,}$ ${ displaystyle { begin {matrix} scriptstyle { text {фракция}} scriptstyle { text {quotient}} scriptstyle { text {ratio}} end {matrix}}}$ Ko'rsatkich ${ displaystyle scriptstyle { text {base}} ^ { text {exponent}} , = ,}$ ${ displaystyle scriptstyle { text {power}}}$ nildiz (√) ${ displaystyle scriptstyle { sqrt [{ text {degree}}] { scriptstyle { text {radicand}}}} , = ,}$ ${ displaystyle scriptstyle { text {root}}}$ Logaritma (jurnal) ${ displaystyle scriptstyle log _ { text {base}} ({ text {anti-logarithm}}) , = ,}$ ${ displaystyle scriptstyle { text {logarithm}}}$

Yilda matematika, yig'ish bo'ladi qo'shimcha a ketma-ketlik har qanday turdagi raqamlar, deb nomlangan qo'shimchalar yoki chaqiriqlar; natija ularning sum yoki jami. Raqamlardan tashqari, boshqa turdagi qiymatlarni ham umumlashtirish mumkin: funktsiyalari, vektorlar, matritsalar, polinomlar va umuman olganda har qanday turdagi elementlar matematik ob'ektlar qaysi ustida operatsiya "+" belgisi bilan belgilanadi.

Yig'ilishlar cheksiz ketma-ketliklar deyiladi seriyali. Ular kontseptsiyasini o'z ichiga oladi chegara, va ushbu maqolada ko'rib chiqilmaydi.

Aniq ketma-ketlikning yig'indisi qo'shimchalarning ketma-ketligi sifatida belgilanadi. Masalan, ning yig'indisi [1, 2, 4, 2] bilan belgilanadi 1 + 2 + 4 + 2va natijalar 9 ga, ya'ni 1 + 2 + 4 + 2 = 9. Chunki qo'shimcha assotsiativ va kommutativ, Qavslar kerak emas va natija chaqirish tartibidan qat'iy nazar bir xil bo'ladi. Faqat bitta element ketma-ketligining yig'indisi ushbu elementning o'ziga olib keladi. Bo'sh ketma-ketlikni yig'ish (nol elementli ketma-ketlik), odat bo'yicha, 0 ga olib keladi.

Ko'pincha, ketma-ketlik elementlari, odatiy naqsh orqali, a sifatida aniqlanadi funktsiya ularning ketma-ketlikdagi o'rni. Oddiy naqshlar uchun uzun ketma-ketliklarning yig'indisi ellips bilan almashtirilgan ko'pgina summandalar bilan ifodalanishi mumkin. Masalan, dastlabki 100 ta tabiiy sonning yig'indisi quyidagicha yozilishi mumkin 1 + 2 + 3 + 4 + ⋅⋅⋅ + 99 + 100. Aks holda, summa yordamida belgilanadi Ation yozuv, qayerda ${ displaystyle textstyle sum}$ kengaytirilgan kapitaldir Yunoncha xat sigma. Masalan, birinchisining yig'indisi n natural butun sonlarni quyidagicha belgilash mumkin ${ displaystyle textstyle sum _ {i = 1} ^ {n} i.}$

Uzoq yig'ilishlar va o'zgaruvchan uzunlikdagi yig'ilishlar uchun (ellipslar yoki Σ yozuvlari bilan belgilanadi) topish uchun umumiy muammo yopiq shakldagi iboralar natija uchun. Masalan,^[a]

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} i = { frac {n (n + 1)} {2}}.}$

Garchi bunday formulalar har doim ham mavjud bo'lmasa-da, ko'p sonli yig'ilish formulalari topilgan - ularning eng keng tarqalgan va boshlang'ich formulalari ushbu maqolaning qolgan qismida keltirilgan.

Notation

Kapital-sigma belgisi

Xulosa belgisi

Matematik yozuvlar shunga o'xshash ko'plab atamalarning yig'indisini ixcham ifodalovchi belgidan foydalanadi: the yig'ish belgisi, ${ displaystyle textstyle sum}$, tik turgan katta yunoncha harfning kattalashtirilgan shakli Sigma. Bu quyidagicha ta'riflanadi

${ displaystyle sum _ {i mathop {=} m} ^ {n} a_ {i} = a_ {m} + a_ {m + 1} + a_ {m + 2} + cdots + a_ {n- 1} + a_ {n}}$

qayerda men bo'ladi summaning ko'rsatkichi; a_men yig'indining har bir davrini ifodalovchi indekslangan o'zgaruvchi; m bo'ladi summaning pastki chegarasiva n bo'ladi summaning yuqori chegarasi. "i = m"yig'ish belgisi ostida indeks degan ma'noni anglatadi men ga teng boshlanadi m. Indeks, men, har bir keyingi davr uchun bittadan ko'paytiriladi, qachon to'xtaydi men = n.^[b]

Bu "yig'indisi a_men, dan men = m ga n".

Kvadratlarning yig'indisini ko'rsatadigan misol:

${ displaystyle sum _ {i = 3} ^ {6} i ^ {2} = 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 5 ^ {2} + 6 ^ {2} = 86.}$

Umuman olganda, har qanday o'zgaruvchini yig'ish indekslari sifatida ishlatish mumkin bo'lsa (noaniqlik yuzaga kelmasa), eng keng tarqalganlari qatoriga harflar kiradi. ${ displaystyle i}$, ${ displaystyle j}$ va ${ displaystyle k}$.^[1]

Shu bilan bir qatorda, indeks va yig'ilish chegaralari, ba'zida kontekst etarli darajada aniq bo'lsa, yig'indining ta'rifidan chiqarib tashlanadi. Bu, ayniqsa, indeks 1 dan n gacha bo'lganida qo'llaniladi.^[2] Masalan, shunday deb yozish mumkin:

${ displaystyle sum a_ {i} ^ {2} = sum _ {i mathop {=} 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2}.}$

Ixtiyoriy mantiqiy shart berilgan va yig'indisi shartni qondiradigan barcha qiymatlar bo'yicha olinishi kerak bo'lgan ushbu yozuvning umumlashmalarini tez-tez ko'rish mumkin. Masalan:

${ displaystyle sum _ {0 leq k <100} f (k)}$

yig'indisi ${ displaystyle f (k)}$ barchasi (butun sonlar) ${ displaystyle k}$ belgilangan diapazonda,

${ displaystyle sum _ {x mathop { in} S} f (x)}$

yig'indisi ${ displaystyle f (x)}$ barcha elementlar ustidan ${ displaystyle x}$ to'plamda ${ displaystyle S}$va

${ displaystyle sum _ {d | n} ; mu (d)}$

yig'indisi ${ displaystyle mu (d)}$ barcha musbat sonlar ustida ${ displaystyle d}$ bo'linish ${ displaystyle n}$.^[c]

Ko'p sigma belgilaridan foydalanishni umumlashtirish usullari ham mavjud. Masalan,

${ displaystyle sum _ {i, j}}$

bilan bir xil

${ displaystyle sum _ {i} sum _ {j}.}$

Xuddi shunday yozuv ham belgilashga kelganda qo'llaniladi mahsulot uning yig'indisiga o'xshash, ammo qo'shish o'rniga ko'paytirish operatsiyasidan foydalanadigan ketma-ketlikning (va bo'sh qator uchun 0 o'rniga 1 beradi). Xuddi shu asosiy tuzilish ishlatiladi ${ displaystyle textstyle prod}$, yunoncha bosh harfning kattalashtirilgan shakli pi, o'rniga ${ displaystyle textstyle sum}$.

Maxsus holatlar

Ikkita raqamni kamroq yig'ish mumkin:

• Agar summaning bitta chaqiruvi bo'lsa ${ displaystyle x}$, keyin baholangan summa ${ displaystyle x}$.
• Agar yig'indida chaqiruv belgisi bo'lmasa, unda baholangan yig'indisi bo'ladi nol, chunki nol shaxsiyat qo'shimcha qilish uchun. Bu sifatida tanilgan bo'sh sum.

Ushbu degenerativ holatlar odatda faqat summa belgisi maxsus holatda degenerativ natija berganida qo'llaniladi. ${ displaystyle n = m}$ yuqoridagi ta'rifda, keyin yig'indida faqat bitta atama mavjud; agar ${ displaystyle n = m-1}$, keyin yo'q.

Rasmiy ta'rif

Xulosa quyidagicha ta'riflanishi mumkin

${ displaystyle sum _ {i = a} ^ {b} g (i) = 0}$, uchun b < a.

${ displaystyle sum _ {i = a} ^ {b} g (i) = g (b) + sum _ {i = a} ^ {b-1} g (i)}$, uchun b ≥ a.

O'lchov nazariyasi yozuvlari

Ning yozuvida o'lchov va integratsiya nazariya, yig'indini a sifatida ifodalash mumkin aniq integral,

${ displaystyle sum _ {k mathop {=} a} ^ {b} f (k) = int _ {[a, b]} f , d mu}$

qayerda ${ displaystyle [a, b]}$ ning pastki qismi butun sonlar dan ${ displaystyle a}$ ga ${ displaystyle b}$va qaerda ${ displaystyle mu}$ bo'ladi hisoblash o'lchovi.

Sonli farqlarning hisobi

Funktsiya berilgan f bu butun sonlar bo'yicha aniqlanadi oraliq [m, n], quyidagi tenglama bajariladi:

${ displaystyle f (n) -f (m) = sum _ {i = m} ^ {n-1} (f (i + 1) -f (i))}.$

Bu analogning analogidir hisoblashning asosiy teoremasi yilda chekli farqlarning hisobi, unda quyidagilar ko'rsatilgan:

${ displaystyle f (n) -f (m) = int _ {m} ^ {n} f '(x) , dx,}$

qayerda

${ displaystyle f '(x) = lim _ {h to 0} { frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}$

bo'ladi lotin ning f.

Yuqoridagi tenglamani qo'llash misoli quyidagilar:

${ displaystyle n ^ {k} = sum _ {i = 0} ^ {n-1} chap ((i + 1) ^ {k} -i ^ {k} o'ng).}$

Foydalanish binomiya teoremasi, bu quyidagicha yozilishi mumkin:

${ displaystyle n ^ {k} = sum _ {i = 0} ^ {n-1} left ( sum _ {j = 0} ^ {i-1} { binom {k} {j}} i ^ {j} o'ng).}$

Yuqoridagi formuladan ko'pincha inverting uchun foydalaniladi farq operatori ${ displaystyle Delta}$, tomonidan belgilanadi:

${ displaystyle Delta (f) (n) = f (n + 1) -f (n),}$

qayerda f manfiy bo'lmagan butun sonlarda aniqlangan funktsiya, shuning uchun bunday funktsiya berilgan f, muammo hisoblashda antidifektivlik ning f, funktsiya ${ displaystyle F = Delta ^ {- 1} f}$ shu kabi ${ displaystyle Delta F = f}$. Anavi,${ displaystyle F (n + 1) -F (n) = f (n).}$Bu funktsiya doimiyning qo'shilishigacha aniqlanadi va quyidagicha tanlanishi mumkin^[3]

${ displaystyle F (n) = sum _ {i = 0} ^ {n-1} f (i).}$

Har doim ham mavjud emas yopiq shakldagi ifoda bunday summa uchun, lekin Faolxabarning formulasi qaerda bo'lsa yopiq shaklni taqdim etadi ${ displaystyle f (n) = n ^ {k}}$ va, tomonidan chiziqlilik, har bir kishi uchun polinom funktsiyasi ning n.

Aniq integrallar bo'yicha yaqinlashish

Bunday yaqinlashuvlarning ko'pini yig'indilar va ning orasidagi quyidagi bog'lanish orqali olish mumkin integrallar, bu har qanday uchun mos keladi ortib bormoqda funktsiya f:

${ displaystyle int _ {s = a-1} ^ {b} f (s) ds leq sum _ {i = a} ^ {b} f (i) leq int _ {s = a } ^ {b + 1} f (s) ds.}$

va har qanday kishi uchun kamayish funktsiya f:

${ displaystyle int _ {s = a} ^ {b + 1} f (s) ds leq sum _ {i = a} ^ {b} f (i) leq int _ {s = a -1} ^ {b} f (s) ds.}$

Ko'proq umumiy taxminlar uchun quyidagiga qarang Eyler - Maklaurin formulasi.

Summa berilgan (yoki interpolatsiya qilinishi mumkin) bo'lgan anjomlar uchun integral indeksning funktsiyasi, summani a sifatida talqin qilish mumkin Riman summasi mos keladigan aniq integralni aniqlashda uchraydi. Masalan, buni kutish mumkin

${ displaystyle { frac {ba} {n}} sum _ {i = 0} ^ {n-1} f chap (a + i { frac {ba} {n}} o'ng) taxminan int _ {a} ^ {b} f (x) dx,}$

chunki o'ng tomon ta'rifi bo'yicha chegara hisoblanadi ${ displaystyle n to infty}$ chap tomonning Biroq, ma'lum bir summa uchun n belgilangan va yuqoridagi taxminiy xato haqida qo'shimcha taxminlarsiz ozgina gapirish mumkin f: vahshiy tebranuvchi funktsiyalar uchun Riman summasi Riman integralidan o'zboshimchalik bilan uzoq bo'lishi mumkinligi aniq.

Shaxsiyat

Quyidagi formulalar cheklangan summalarni o'z ichiga oladi; o'z ichiga olgan cheksiz yig'ilishlar yoki ifodalarning cheklangan yig'ilishlari uchun trigonometrik funktsiyalar yoki boshqa transandantal funktsiyalar, qarang matematik qatorlar ro'yxati.

Umumiy identifikatorlar

${ displaystyle sum _ {n = s} ^ {t} C cdot f (n) = C cdot sum _ {n = s} ^ {t} f (n) quad}$ (tarqatish )^[4]

${ displaystyle sum _ {n = s} ^ {t} f (n) pm sum _ {n = s} ^ {t} g (n) = sum _ {n = s} ^ {t} chap (f (n) pm g (n) o'ng) quad}$ (kommutativlik va assotsiativlik )^[4]

${ displaystyle sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = sum _ {n = s + p} ^ {t + p} f (n-p) quad}$ (indeks siljishi)

${ displaystyle sum _ {n in B} f (n) = sum _ {m in A} f ( sigma (m)), quad}$ a bijection σ cheklangan to'plamdan A to'plamga B (indeks o'zgarishi); bu avvalgi formulani umumlashtiradi.

${ displaystyle sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = sum _ {n = s} ^ {j} f (n) + sum _ {n = j + 1} ^ {t } f (n) quad}$ (foydalanib, sumni ajratish assotsiativlik )

${ displaystyle sum _ {n = a} ^ {b} f (n) = sum _ {n = 0} ^ {b} f (n) - sum _ {n = 0} ^ {a-1 } f (n) quad}$ (oldingi formulaning bir varianti)

${ displaystyle sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = sum _ {n = 0} ^ {t-s} f (t-n) quad}$ (birinchi davrdan oxirigacha bo'lgan summa, oxirgisidan birinchisiga teng)

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ {t} f (n) = sum _ {n = 0} ^ {t} f (t-n) quad}$ (yuqoridagi formulaning ma'lum bir holati)

${ displaystyle sum _ {i = k_ {0}} ^ {k_ {1}} sum _ {j = l_ {0}} ^ {l_ {1}} a_ {i, j} = sum _ { j = l_ {0}} ^ {l_ {1}} sum _ {i = k_ {0}} ^ {k_ {1}} a_ {i, j} quad}$ (komutativlik va assotsiativlik, yana)

${ displaystyle sum _ {k leq j leq i leq n} a_ {i, j} = sum _ {i = k} ^ {n} sum _ {j = k} ^ {i} a_ {i, j} = sum _ {j = k} ^ {n} sum _ {i = j} ^ {n} a_ {i, j} = sum _ {j = 0} ^ {nk} sum _ {i = k} ^ {nj} a_ {i + j, i} quad}$ (komutativlik va assotsiativlikning boshqa qo'llanilishi)

${ displaystyle sum _ {n = 2s} ^ {2t + 1} f (n) = sum _ {n = s} ^ {t} f (2n) + sum _ {n = s} ^ {t } f (2n + 1) quad}$ (summani toq va juft qismlarga ajratish, juft indekslar uchun)

${ displaystyle sum _ {n = 2s + 1} ^ {2t} f (n) = sum _ {n = s + 1} ^ {t} f (2n) + sum _ {n = s + 1 } ^ {t} f (2n-1) quad}$ (toq indekslar uchun summani toq va juft qismlarga bo'lish)

${ displaystyle left ( sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} right) left ( sum _ {j = 0} ^ {n} b_ {j} right) = sum _ {i = 0} ^ {n} sum _ {j = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {j} quad}$ (tarqatish )

${ displaystyle sum _ {i = s} ^ {m} sum _ {j = t} ^ {n} {a_ {i}} {c_ {j}} = left ( sum _ {i = s } ^ {m} a_ {i} right) left ( sum _ {j = t} ^ {n} c_ {j} right) quad}$ (distributivlik faktorizatsiya qilishga imkon beradi)

${ displaystyle sum _ {n = s} ^ {t} log _ {b} f (n) = log _ {b} prod _ {n = s} ^ {t} f (n) quad }$ (the logaritma mahsulotning omili logarifmlari yig'indisi)

${ displaystyle C ^ { sum limit _ {n = s} ^ {t} f (n)} = prod _ {n = s} ^ {t} C ^ {f (n)} quad}$ (the eksponent yig'indining yig'indisi eksponentining hosilasi)

Arifmetik progressiyalarning kuchlari va logarifmi

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} c = nc quad}$ har bir kishi uchun v bu bog'liq emas men

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} i = sum _ {i = 1} ^ {n} i = { frac {n (n + 1)} {2}} qquad}$ (Eng sodda yig'indisi arifmetik progressiya, birinchi n dan iborat natural sonlar.)^[3]:52

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} (2i-1) = n ^ {2} qquad}$ (Birinchi toq natural sonlar yig'indisi)

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} 2i = n (n + 1) qquad}$ (Birinchi juft sonlar yig'indisi)

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} log i = log n! qquad}$ (Yig'indisi logarifmlar mahsulotning logarifmi)

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {2} = { frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = { frac {n ^ {3 }} {3}} + { frac {n ^ {2}} {2}} + { frac {n} {6}} qquad}$ (Birinchisi kvadratchalar, qarang kvadrat piramidal raqam.) ^[3]:52

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {3} = chap ( sum _ {i = 0} ^ {n} i o'ng) ^ {2} = chap ({ frac {n (n + 1)} {2}} o'ng) ^ {2} = { frac {n ^ {4}} {4}} + { frac {n ^ {3}} {2}} + { frac {n ^ {2}} {4}} qquad}$ (Nicomachus teoremasi ) ^[3]:52

Umuman olganda, biri bor Faolxabarning formulasi

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = { frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}} + { frac {1} {2}} n ^ {p} + sum _ {k = 2} ^ {p} { binom {p} {k}} { frac {B_ {k}} {p-k + 1}} , n ^ { p-k + 1},}$

qayerda ${ displaystyle B_ {k}}$ a ni bildiradi Bernulli raqami va ${ displaystyle { binom {p} {k}}}$ a binomial koeffitsient.

Ko'rsatkichlar bo'yicha yig'indisi

Keyingi yig'ilishlarda a dan farq qilishi taxmin qilinmoqda.

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n-1} a ^ {i} = { frac {1-a ^ {n}} {1-a}}}$ (a yig'indisi geometrik progressiya )

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n-1} { frac {1} {2 ^ {i}}} = 2 - { frac {1} {2 ^ {n-1}}} }$ (uchun maxsus ish a = 1/2)

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n-1} ia ^ {i} = { frac {a-na ^ {n} + (n-1) a ^ {n + 1}} {( 1-a) ^ {2}}}}$ (a nisbatan lotin marta a geometrik progressiyaning)

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {i = 0} ^ {n-1} left (b + id right) a ^ {i} & = b sum _ {i = 0} ^ { n-1} a ^ {i} + d sum _ {i = 0} ^ {n-1} ia ^ {i} & = b chap ({ frac {1-a ^ {n}} {1-a}} o'ng) + d chap ({ frac {a-na ^ {n} + (n-1) a ^ {n + 1}} {(1-a) ^ {2}} } o'ng) & = { frac {b (1-a ^ {n}) - (n-1) da ^ {n}} {1-a}} + { frac {da (1-a ^ {n-1})} {(1-a) ^ {2}}} end {hizalanmış}}}$

(an. yig'indisi arifmetik-geometrik ketma-ketlik )

Binomial koeffitsientlar va faktoriallar

Binomial koeffitsientlarni o'z ichiga olgan juda ko'p sonli identifikatorlar mavjud (butun bob.) Beton matematika faqat asosiy texnikaga bag'ishlangan). Eng asosiylaridan ba'zilari quyidagilar.

Binomial teoremani jalb qilish

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} {n i} a ^ {n-i} b ^ {i} = (a + b) ^ {n},} ni tanlang$ The binomiya teoremasi

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} {n select i} = 2 ^ {n},}$ qaerda bo'lgan maxsus holat a = b = 1

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} {n i} p ^ {i} (1-p) ^ {n-i} = 1} ni tanlang$, qaerda maxsus holat p = a = 1 – b, qaysi uchun ${ displaystyle 0 leq p leq 1,}$ ning yig‘indisini ifodalaydi binomial taqsimot

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} i {n ni tanlang i} = n (2 ^ {n-1}),}$ qiymati a = b = 1 ning lotin munosabat bilan a binomiya teoremasining

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} { frac {n ni tanlang i} {i + 1}} = { frac {2 ^ {n + 1} -1} {n + 1} },}$ qiymati a = b = 1 ning antivivativ munosabat bilan a binomiya teoremasining

O'rniga raqamlarni kiritish

Keyingi yig'ilishlarda ${ displaystyle {} _ {n} P_ {k}}$ soni k- ning o'zgarishi n.

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} {} _ {i} P_ {k} {n select i} = {} _ {n} P_ {k} (2 ^ {n-k})}$

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} {} _ {i + k} P_ {k + 1} = sum _ {i = 1} ^ {n} prod _ {j = 0} ^ {k} (i + j) = { frac {(n + k + 1)!} {(n-1)! (k + 2)}}}$

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} i! cdot {n select i} = sum _ {i = 0} ^ {n} {} _ {n} P_ {i} = lfloor n! cdot e rfloor, quad n in mathbb {Z} ^ {+}}$, qaerda va ${ displaystyle lfloor x rfloor}$ belgisini bildiradi qavat funktsiyasi.

Boshqalar

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {m} chap ({ begin {array} {c} n + k n end {array}} right) = left ({ begin {array} {c} n + m + 1 n + 1 end {array}} right)}$

${ displaystyle sum _ {i = k} ^ {n} {i ni tanlang k} = {n + 1 ni tanlang k + 1}}$

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} i cdot i! = (n + 1)! - 1}$

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} {m + i-1 ni tanlang}} = {m + n ni tanlang}}$

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} {n ni tanlang i} ^ {2} = {2n ni tanlang}}$

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} { frac {1} {i!}} = { frac { lfloor n! ; e rfloor} {n!}}}$

Harmonik raqamlar

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {1} {i}} = H_ {n}}$ (bu nth harmonik raqam )

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {1} {i ^ {k}}} = H_ {n} ^ {k}}$ (bu a umumlashtirilgan harmonik raqam )

O'sish sur'atlari

Quyidagilar foydali taxminlar (foydalanib teta yozuvi ):

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {c} in Theta (n ^ {c + 1})}$ haqiqatdan v -1 dan katta

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {1} {i}} in Theta ( log _ {e} n)}$ (Qarang Harmonik raqam )

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} c ^ {i} in Theta (c ^ {n})}$ haqiqatdan v 1 dan katta

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} log (i) ^ {c} in Theta (n cdot log (n) ^ {c})}$ uchun salbiy bo'lmagan haqiqiy v

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} log (i) ^ {c} cdot i ^ {d} in Theta (n ^ {d + 1} cdot log (n) ^ {c})}$ salbiy bo'lmagan real uchun v, d

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} log (i) ^ {c} cdot i ^ {d} cdot b ^ {i} in Theta (n ^ {d} cdot log (n) ^ {c} cdot b ^ {n})}$ salbiy bo'lmagan real uchun b > 1, v, d

Shuningdek qarang

• Eynshteyn yozuvlari
• Iverson qavs
• Takrorlangan ikkilik operatsiya
• Kaxan yig'ish algoritmi
• Ketma-ketlik mahsulotlari
• Mahsulot (matematika)
• Qismlar bo'yicha xulosa
• ∑ summa bitta glif (U + 2211 N-ARY SUMMATION)
• ⎲ juftlashgan glifning boshlanishi (U + 23B2) XULOSA TOP)
• ⎳ juftlashgan glif uchi (U + 23B3) SUMMATION POTTOM)

Izohlar

Manbalar

Tashqi havolalar

• Bilan bog'liq ommaviy axborot vositalari Xulosa Vikimedia Commons-da
• "Xulosa". PlanetMath.