O'zgarmas asos raqami - Invariant basis number

Yilda matematika, aniqrog'i halqa nazariyasi, a uzuk bor o'zgarmas asos raqami (IBN) agar barchasi oxir-oqibat yaratilgan bo'lsa, mulk ozod chap modullar ustida R aniq belgilangan darajaga ega bo'lish. Bo'lgan holatda dalalar, IBN xususiyati cheklangan o'lchovli bayonotga aylanadi vektor bo'shliqlari noyob narsaga ega o'lchov.

Ta'rif

A uzuk R bor o'zgarmas asos raqami (IBN) agar barcha musbat butun sonlar uchun m va n, R^m izomorfik ga Rⁿ (chap tomonda R-modullar) shuni nazarda tutadi m = n.

Bunga teng ravishda, bu aniq musbat sonlar mavjud emasligini anglatadi m va n shu kabi R^m izomorfik Rⁿ.

Matritsalar nuqtai nazaridan o'zgarmas asosiy raqamning ta'rifini qayta ko'rib chiqishda, bu har doim aytiladi A bu m-by-n matritsa tugadi R va B bu n-by-m matritsa tugadi R shu kabi AB = Men va BA = Men, keyin m = n. Ushbu shakl ta'rifi chapdan o'ngga nosimmetrik ekanligini ko'rsatib beradi, shuning uchun IBNni chap yoki o'ng modullar nuqtai nazaridan belgilashimiz farq qilmaydi; ikkita ta'rif tengdir.

Ta'riflardagi izomorfizmlar quyidagilardan iborat emas halqa izomorfizmlari, ular modul izomorfizmlari.

Xususiyatlari

İnvariantning asosiy maqsadi asos raqam sharti shundaki, IBN uzuk ustidagi bepul modullar analogini qondiradi vektor bo'shliqlari uchun o'lchov teoremasi: IBN uzuk ustidagi bepul modul uchun har qanday ikkita asos bir xil kuchga ega. Faraz qilsak ultrafilter lemma (ning aniqroq zaif shakli tanlov aksiomasi ), bu natija aslida bu erda berilgan ta'rifga teng va uni muqobil ta'rif sifatida olish mumkin.

The daraja bepul modul Rⁿ IBN uzuk orqali R deb belgilanadi kardinallik eksponentning m har qanday (va shuning uchun ham) R-modul R^m izomorfik Rⁿ. Shunday qilib, IBN xususiyati har bir izomorfizm sinfi bepul deb ta'kidlaydi R-modullar noyob darajaga ega. IBNni qoniqtirmaydigan uzuklar uchun unvon belgilanmagan. Vektorli bo'shliqlar uchun daraja ham deyiladi o'lchov. Shunday qilib, yuqoridagi natija qisqacha: daraja hamma uchun bepul aniqlanadi R-modullar iff uchun noyob tarzda aniqlangan nihoyatda hosil bo'lgan ozod R-modullar.

Misollar

Har qanday maydon IBNni qondiradi va bu cheklangan o'lchovli vektor bo'shliqlari aniq belgilangan o'lchovga ega bo'lishiga olib keladi. Bundan tashqari, har qanday komutativ uzuk (qaerda ahamiyatsiz holatlar bundan mustasno 1 = 0) har qanday kabi IBNni ham qondiradi chap-noeteriya uzugi va har qanday semilokal halqa.

Isbot

Ruxsat bering A kommutativ halqa bo'ling va mavjudligini taxmin qiling A-modul izomorfizmi ${ displaystyle f nuqta A ^ {n} dan A ^ {p}} gacha$ . Ruxsat bering ${ displaystyle (e_ {1}, nuqtalar, e_ {n})}$ ning kanonik asoslari Aⁿ, bu degani ${ displaystyle e_ {i} A ^ {n}} da$ ning bittasidan tashqari barchasi nolga teng men-pozitsiya By Krull teoremasi, ruxsat bering Men a maksimal to'g'ri ideal ning A va ${^ displaystyle (i_ {1}, nuqtalar, i_ {n}) I ^ {n}} da$ . An A-modul morfizmi degani

{ displaystyle f (i_ {1}, dots, i_ {n}) = sum _ {k = 1} ^ {n} i_ {k} f (e_ {k}) I ^ {p}} da

chunki Men idealdir. Shunday qilib f sabab bo'ladi A/Men-modul morfizmi ${ displaystyle f ' colon chap ({ frac {A} {I}} right) ^ {n} to chap ({ frac {A} {I}} right) ^ {p}}$ , bu izomorfizm ekanligini osongina isbotlash mumkin. Beri A/Men bu maydon, f ' cheklangan o'lchovli vektor bo'shliqlari orasidagi izomorfizmdir, shuning uchun n = p.

IBNni qoniqtirmaydigan uzukka misol - ring ustunli matritsalar ${ displaystyle mathbb {CFM} _ { mathbb {N}} (R)}$ , halqadagi koeffitsientli matritsalar R, indekslangan yozuvlar bilan ${ displaystyle mathbb {N} times mathbb {N}}$ va har bir ustunda faqat nolga teng bo'lmagan yozuvlar mavjud. Ushbu oxirgi talab cheksiz matritsalar mahsulotini aniqlashga imkon beradi MN, uzuk tuzilishini berish. Chap modul izomorfizmi ${ displaystyle mathbb {CFM} _ { mathbb {N}} (R) cong mathbb {CFM} _ { mathbb {N}} (R) ^ {2}}$ tomonidan berilgan:

{ displaystyle { begin {array} {rcl} psi: mathbb {CFM} _ { mathbb {N}} (R) & to & mathbb {CFM} _ { mathbb {N}} (R ) ^ {2} M & mapsto & ({ text {to {ustunlar}} M, { text {} ustunlar}} M) end {array}}}

Ushbu cheksiz matritsa halqasi ga izomorf bo'lib chiqadi endomorfizmlar huquq bepul modul ustida R ning hisoblanadigan undagi 190-sahifada joylashgan darajaHungerford ).

Ushbu izomorfizmdan (qisqartirish) ko'rsatish mumkin ${ displaystyle mathbb {CFM} _ { mathbb {N}} (R) = S}$ ) bu S ≅ Sⁿ har qanday musbat son uchun nva shuning uchun Sⁿ ≅ S^m har qanday ikkita musbat butun son uchun m va n. Ushbu xususiyatga ega bo'lmagan IBN bo'lmagan uzuklarning boshqa misollari ham bor, ular orasida Leavitt algebralari ko'rinib turganidek (Abrams 2002 yil ).

Boshqa natijalar

IBN - a ga o'rnatilishi mumkin bo'lgan nol bo'linuvchisiz halqa uchun zarur (ammo etarli emas) shart bo'linish halqasi (konferentsiya kasrlar maydoni almashtirish holatida). Shuningdek qarang Ruda holati.

Har qanday noan'anaviy bo'linish halqasi yoki barqaror cheklangan halqa o'zgarmas asos raqamiga ega.

Adabiyotlar

Abrams, Gen; Anh, P. N. (2002), "Leavitt algebralarining kesishgan joylarida paydo bo'ladigan ba'zi ultramaterial algebralar", J. Algebra Appl., 1 (4): 357–363, doi:10.1142 / S0219498802000227, ISSN 0219-4988, JANOB 1950131

Hungerford, Tomas V. (1980) [1974], Algebra, Matematikadan magistrlik matnlari, 73, Nyu-York: Springer-Verlag, xxiii + 502-bet, ISBN 0-387-90518-9, JANOB 0600654 1974 yil asl nusxasini qayta nashr etish