Katugampola kasr operatorlari - Katugampola fractional operators

Yilda matematika, Katugampola kasr operatorlari bor integral operatorlar umumlashtiradigan Riemann – Liovil va Hadamard fraksiyonel operatorlar noyob shaklga.^[1][2][3][4] The Katugampola kasrli integral ikkalasini ham umumlashtiradi Riman-Liovil fraksiyonel integrali va Hadamard kasrli integral yagona shaklga kiradi va u bilan ham chambarchas bog'liqdir Erdeliy-Kober ^[5][6][7][8] Riman-Liovil kasr integralini umumlashtiruvchi operator. Katugampola fraksiyonel sanab chiqing^[2][3][4] yordamida aniqlangan Katugampola kasrli integral ^[3] va boshqalar kabi kasrli differentsial operator, shuningdek, qabul qilish imkoniyatini kengaytiradi haqiqiy raqam kuchlar yoki murakkab raqam integralning kuchlari va differentsial operatorlar.

Ta'riflar

Ushbu operatorlar quyidagi kengaytirilgan Lebesg maydonida aniqlangan.

Ruxsat bering ${ displaystyle { textit {X}} _ {c} ^ {p} (a, b), ; c in mathbb {R}, , 1 leq p leq infty}$ Lebesgue-ning makoni bo'ling o'lchanadigan funktsiyalar ${ displaystyle f}$ kuni ${ displaystyle [a, b]}$ buning uchun ${ displaystyle | f | _ {{ textit {X}} _ {c} ^ {p}} < infty}$, bu erda norma bilan belgilanadi ^[1] 

${ displaystyle { begin {aligned} | f | _ {{ textit {X}} _ {c} ^ {p}} = { Big (} int _ {a} ^ {b} | t ^ {c} f (t) | ^ {p} { frac {dt} {t}} { Big)} ^ {1 / p} < infty, end {aligned}}}$

uchun ${ displaystyle 1 leq p < infty, , c in mathbb {R}}$ va ish uchun ${ displaystyle p = infty}$ 

${ displaystyle { begin {aligned} | f | _ {{ textit {X}} _ {c} ^ { infty}} = { text {ess sup}} _ {a leq t leq b} [t ^ {c} | f (t) |], quad (c in mathbb {R}). end {hizalangan}}}$

Katugampola kasrli integral

U quyidagi integrallar orqali aniqlanadi ^{[1][2][9][10][11]}

${ displaystyle ({} ^ { rho} { mathcal {I}} _ {a +} ^ { alpha} f) (x) = { frac { rho ^ {1- alpha}} { Gamma ( alfa)}} int _ {a} ^ {x} { frac { tau ^ { rho -1} f ( tau)} {(x ^ { rho} - tau ^ { rho }) ^ {1- alfa}}} , d tau,}$

(1)

uchun ${ displaystyle x> a}$ va ${ displaystyle operatorname {Re} ( alpha)> 0.}$ Ushbu integral integral deb nomlanadi chap tomonli kasrli integral. Xuddi shunday, o'ng tomonlama kasrli integral quyidagicha aniqlanadi:

${ displaystyle ({} ^ { rho} { mathcal {I}} _ {b -} ^ { alpha} f) (x) = { frac { rho ^ {1- alpha}} { Gamma ({ alpha})}} int _ {x} ^ {b} { frac { tau ^ { rho -1} f ( tau)} {( tau ^ { rho} -x ^ { rho}) ^ {1- alfa}}} , d tau.}$

(2)

uchun ${ displaystyle textstyle x$ va ${ displaystyle textstyle operator nomi {Re} ( alpha)> 0}$.

Bularning fraksiyonel umumlashtirilishi ${ displaystyle n}$- shaklning chap va o'ng integrallari

${ displaystyle int _ {a} ^ {x} t_ {1} ^ { rho -1} , dt_ {1} int _ {a} ^ {t_ {1}} t_ {2} ^ { rho -1} , dt_ {2} cdots int _ {a} ^ {t_ {n-1}} t_ {n} ^ { rho -1} f (t_ {n}) , dt_ {n }}$

va

${ displaystyle int _ {x} ^ {b} t_ {1} ^ { rho -1} , dt_ {1} int _ {t_ {1}} ^ {b} t_ {2} ^ { rho -1} , dt_ {2} cdots int _ {t_ {n-1}} ^ {b} t_ {n} ^ { rho -1} f (t_ {n}) , dt_ {n }}$ uchun ${ displaystyle textstyle n in mathbb {N},}$

navbati bilan. Garchi ko'rib chiqilayotgan integral operatorlar mashhurlarga o'xshash bo'lsa ham Erdélyi – Kober operatori, Erdélyi-Kober operatorlarining to'g'ridan-to'g'ri natijasi sifatida Hadamard kasr integrallarini olish mumkin emas. Bundan tashqari, ni umumlashtiradigan tegishli kasrli lotin mavjud Riemann – Liovil va Hadamard fraksiyonel sanab chiqing. Fraksiyonel integrallar singari, xuddi shu narsa Erdélii-Kober operatori uchun to'g'ri kelmaydi.

Katugampola fraksiyonel sanab chiqing

Boshqa fraksiyonel lotinlar singari, u Katugampola fraksiyonel integrali orqali aniqlanadi.^{[3][9][10][11]}

Ruxsat bering ${ displaystyle alpha in mathbb {C}, operator nomi {Re} ( alfa) geq 0, n = [ operator nomi {Re} ( alfa)] + 1}$ va ${ displaystyle rho> 0.}$ Umumlashtirilgan kasrli integrallarga mos keladigan umumlashtirilgan kasr hosilalari (1) va (2) mos ravishda, uchun belgilanadi ${ displaystyle 0 leq a$, tomonidan

Funktsiyaning yarim hosilasi ${ displaystyle f (x) = x ^ {0.5}}$ Katugampola fraksiyonel lotin uchun.

Funktsiyaning yarim hosilasi ${ displaystyle f (x) = x ^ { nu}}$ uchun Katugampola fraksiyonel lotin uchun ${ displaystyle alfa = 0.5}$ va ${ displaystyle rho = 2}$.

${ displaystyle { begin {aligned} { big (} {} ^ { rho} { mathcal {D}} _ {a +} ^ { alpha} f { big)} (x) & = { bigg (} x ^ {1- rho} , { frac {d} {dx}} { bigg)} ^ {n} , , { big (} {} ^ { rho} { mathcal {I}} _ {a +} ^ {n- alfa} f { big)} (x) & = { frac { rho ^ { alpha -n + 1}} { Gamma ({ n- alfa})}} , { bigg (} x ^ {1- rho} , { frac {d} {dx}} { bigg)} ^ {n} int _ {a} ^ {x} { frac { tau ^ { rho -1} f ( tau)} {(x ^ { rho} - tau ^ { rho}) ^ { alpha -n + 1}} } , d tau, end {hizalanmış}}}$

va

${ displaystyle { begin {aligned} { big (} {} ^ { rho} { mathcal {D}} _ {b -} ^ { alpha} f { big)} (x) & = { bigg (} -x ^ {1- rho} , { frac {d} {dx}} { bigg)} ^ {n} , , { big (} {} ^ { rho} { mathcal {I}} _ {b -} ^ {n- alpha} f { big)} (x) & = { frac { rho ^ { alpha -n + 1}} { Gamma ({n- alfa})}} { bigg (} -x ^ {1- rho} { frac {d} {dx}} { bigg)} ^ {n} int _ {x} ^ {b} { frac { tau ^ { rho -1} f ( tau)} {( tau ^ { rho} -x ^ { rho}) ^ { alpha -n + 1}} } , d tau, end {hizalanmış}}}$

mos ravishda, agar integral mavjud bo'lsa.

Ushbu operatorlar Riman-Liovil va Hadamard fraksiyonel hosilalarini yagona shaklda umumlashtiradilar, Erdelyi-Kober fraktsiyasi Riman-Liovil fraksiyonel hosilasini umumlashtiradilar.^[3] Qachon, ${ displaystyle b = infty}$, fraksiyonel hosilalari deb ataladi Veyl turi hosilalar.

Kaputo-Katugampola fraksiyonel hosilasi

Katugampola lotinining Caputo tipidagi modifikatsiyasi mavjud bo'lib, u endi Caputo-Katugampola fraksiyonel hosilasi sifatida tanilgan.^[12][13]Ruxsat bering ${ displaystyle f in L ^ {1} [a, b], alfa in (0,1]}$ va ${ displaystyle rho}$. Tartibning C-K fraksiyonel hosilasi ${ displaystyle alpha}$ funktsiyasi ${ displaystyle f: [a, b] rightarrow mathbb {R},}$ parametrga nisbatan ${ displaystyle rho}$ sifatida ifodalanishi mumkin

${ displaystyle {} ^ {C} { mathcal {D}} _ {a +} ^ { alpha, rho} f (t) = { frac { rho ^ { alpha} t ^ {1- alfa}} { Gamma (1- alfa)}} { frac {d} {dt}} int _ {a} ^ {t} { frac {s ^ { rho -1}} {(t ^ { rho} -s ^ { rho}) ^ { alfa}}} { big [} f (s) -f (a) { big]} , ds.}$

Bu quyidagi natijani qondiradi. Buni taxmin qiling ${ displaystyle f in C ^ {1} [a, b]}$, keyin C-K hosilasi quyidagi ekvivalent shaklga ega^{[iqtibos kerak ]}

${ displaystyle {} ^ {C} { mathcal {D}} _ {a +} ^ { alpha, rho} f (t) = { frac { rho ^ { alpha}} { Gamma (1 - alfa)}} int _ {a} ^ {t} { frac {f ^ { prime} (s)} {(t ^ { rho} -s ^ { rho}) ^ { alfa }}} ds.}$

Hilfer-Katugampola fraksiyonel sanab chiqing

Yaqinda yana bir umumlashma Hilfer-Katugampola kasrli hosila^[14][15] Buyurtma bering ${ displaystyle 0 < alfa <1}$ va yozing ${ displaystyle 0 leq { beta} leq {1}}$. Fraksiyonel lotin (chap tomonlama / o'ng tomonlama), nisbatan ${ displaystyle x}$, bilan ${ displaystyle rho> 0}$, tomonidan belgilanadi

${ displaystyle { begin {aligned} ({^ { rho} { mathcal {D}} _ {a pm} ^ { alpha, beta}} varphi) (x) & = left ( pm , {^ { rho} { mathcal {J}} _ {a pm} ^ { beta (1- alfa)}} left (t ^ { rho -1} { frac {d } {dt}} o'ng) {^ { rho} { mathcal {J}} _ {a pm} ^ {(1- beta) (1- alfa)}} varphi right) (x ) & = left ( pm , {^ { rho} { mathcal {J}} _ {a pm} ^ { beta (1- alfa)}} delta _ { rho} , {^ { rho} { mathcal {J}} _ {a pm} ^ {(1- beta) (1- alfa)}} varphi right) (x), end {hizalanmış }}}$

qayerda ${ displaystyle delta _ { rho} = t ^ { rho -1} { frac {d} {dt}}}$, funktsiyalar uchun ${ displaystyle varphi}$ unda o'ng tarafdagi ifoda mavjud, qaerda ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ () da berilgan umumlashtirilgan kasr integralidir1).

Mellin o'zgarishi

Ishda bo'lgani kabi Laplas o'zgaradi, Mellin o'zgaradi echishda maxsus foydalaniladi differentsial tenglamalar. Ning Mellin o'zgarishi chap tomonli va o'ng tomonlama Katugampola integral operatorlarining versiyalari tomonidan berilgan ^[2][4]

Teorema

Ruxsat bering ${ displaystyle alpha in { mathcal {C}}, operatorname {Re} ( alpha)> 0,}$ va ${ displaystyle rho> 0.}$ Keyin,

${ displaystyle { begin {aligned} & { mathcal {M}} { bigg (} {} ^ { rho} { mathcal {I}} _ {a +} ^ { alpha} f { bigg) } (lar) = { frac { Gamma { big (} 1 - { frac {s} { rho}} - alfa { big)}} { Gamma { big (} 1 - { frac {s} { rho}} { big)} , rho ^ { alpha}}} , { mathcal {M}} f (s + alfa rho), quad operatorname {Re} (s / rho + alfa) <1, , x> a, & { mathcal {M}} { bigg (} {} ^ { rho} { mathcal {I}} _ {b -} ^ { alpha} f { bigg)} (s) = { frac { Gamma { big (} { frac {s} { rho}} { big)}} { Gamma { katta (} { frac {s} { rho}} + alfa { big)} , rho ^ { alfa}}} , { mathcal {M}} f (s + alfa rho) , quad operator nomi {Re} (s / rho)> 0, , x$

uchun ${ displaystyle f in { textit {X}} _ {s + alpha rho} ^ {1} ( mathbb {R ^ {+}})}$, agar ${ displaystyle { mathcal {M}} f (s + alpha rho)}$ uchun mavjud ${ displaystyle s in mathbb {C}}$.

Hermit-Hadamard tipidagi tengsizliklar

Katugampola operatorlari quyidagi Hermite-Hadamard tipidagi tengsizlikni qondiradilar:^[16]

Teorema

Ruxsat bering ${ displaystyle alpha> 0}$ va ${ displaystyle rho> 0.}$. Agar ${ displaystyle f}$ konveks funktsiyasi yoqilgan ${ displaystyle [a, b]}$, keyin

${ displaystyle f chap ({ frac {a + b} {2}} o'ng) leq { frac { rho ^ { alpha} Gamma ( alfa +1)} {4 (b ^ { alpha} -a ^ { alpha}) ^ { alpha}}} left [{} ^ { rho} { mathcal {I}} _ {a +} ^ { alpha} F (b) + { } ^ { rho} { mathcal {I}} _ {b -} ^ { alpha} F (a) right] leq { frac {f (a) + f (b)} {2}} ,}$

qayerda ${ displaystyle F (x) = f (x) + f (a + b-x), ; x in [a, b].}$.

Qachon ${ displaystyle rho rightarrow 0 ^ {+}}$, yuqoridagi natijada quyidagi Hadamard turidagi tengsizlik mavjud:^[16]

Xulosa

Ruxsat bering ${ displaystyle alpha> 0}$. Agar ${ displaystyle f}$ konveks funktsiyasi yoqilgan ${ displaystyle [a, b]}$, keyin

${ displaystyle f chap ({ frac {a + b} {2}} o'ng) leq { frac { Gamma ( alfa +1)} {4 chap ( ln { frac {b} {a}} o'ng) ^ { alfa}}} chap [ mathbf {I} _ {a +} ^ { alfa} F (b) + mathbf {I} _ {b -} ^ { alfa } F (a) right] leq { frac {f (a) + f (b)} {2}},}$

qayerda ${ displaystyle mathbf {I} _ {a +} ^ { alpha}}$ va ${ displaystyle mathbf {I} _ {b -} ^ { alpha}}$ chap va o'ng tomonlama Hadamard kasrli integrallari.

So'nggi rivojlanish

Ushbu operatorlar quyidagi asarlarda aytib o'tilgan:

1. Kesirli hisoblash. Fiziklar uchun kirish, Richard Herrmann tomonidan ^[17]
2. Fizikaga tatbiq etiladigan umumlashtirilgan fraksiyonel integral nuqtai nazaridan o'zgarishlarning fraksiyonel hisobi, Tatyana Odzijevich, Agnieszka B. Malinowska va Delfim F. M. Torres, Xulosa va Amaliy tahlil, Vol 2012 (2012), Maqola identifikatori 871912, 24 bet ^[18]
3. O'zgarishlarning fraksiyonel hisobi bilan tanishish, Agnieszka B Malinowska va Delfim F. M. Torres, Imperial College Press, 2015
4. O'zgarishlarni fraksiyonel hisoblashda ilg'or usullar, Malinowska, Agnieszka B., Odzijewicz, Tatyana, Torres, Delfim F.M., Springer, 2015
5. Hadamard kasrli integrali va hosilasi uchun butun tartibli hosilalar bo'yicha kengayish formulalari, Shakur Pooseh, Rikardo Almeyda va Delfim F. M. Torres, Sonli funktsional tahlil va optimallashtirish, 33-tom, 2012 yil 3-son, 301-319-betlar.^[19]

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish

Izohlar

CRONE (R) Toolbox, qismli hisob-kitoblarga bag'ishlangan Matlab va Simulink Toolbox-ni yuklab olish mumkin http://cronetoolbox.ims-bordeaux.fr