Kepler uchburchagi - Kepler triangle

A Kepler uchburchagi ga muvofiq geometrik progressiyada maydonlari bo'lgan uchta kvadrat hosil bo'lgan to'rtburchak uchburchak oltin nisbat.

A Kepler uchburchagi a to'g'ri uchburchak a-da qirralarning uzunligi bilan geometrik progressiya. Progressiyaning nisbati √ $φ$ , qayerda $φ$ bo'ladi oltin nisbat,^[a] va yozilishi mumkin: ${ displaystyle 1: { sqrt { varphi}}: varphi}$ yoki taxminan 1 : 1.272 : 1.618.^[1] Ushbu uchburchakning qirralarining kvadratlari ham oltin nisbati bo'yicha geometrik progressiyada.

Bunday nisbatlarga ega uchburchaklar nemis nomi bilan atalgan matematik va astronom Yoxannes Kepler (1571-1630), birinchi bo'lib ushbu uchburchak uning qisqa tomoni bilan nisbati bilan tavsiflanganligini ko'rsatdi gipotenuza oltin nisbatga teng.^[2] Kepler uchburchagi ikkita asosiy matematik tushunchani birlashtiradi Pifagor teoremasi va oltin nisbat - bu Keplerni chuqur hayratga soldi, u shunday dedi:

Geometriyada ikkita buyuk xazina bor: biri Pifagor teoremasi, ikkinchisi chiziqni haddan tashqari va o'rtacha nisbatga bo'lish. Birinchisini oltin massasi bilan taqqoslashimiz mumkin, ikkinchisini qimmatbaho marvarid deb atashimiz mumkin.^[3]

Ba'zi manbalarda o'lchamlari Kepler uchburchagiga chambarchas yaqin uchburchakni tanib olish mumkin Buyuk Giza piramidasi,^[4]^[5] buni qilish a oltin piramida.

Hosil qilish

Qirralari bo'lgan uchburchak ${ displaystyle 1}$ , ${ displaystyle { sqrt { varphi}}}$ va ${ displaystyle varphi}$ , to'rtburchaklar uchburchagi hosil qiladi, bu to'g'ridan-to'g'ri oltin nisbat uchun aniqlanadigan kvadratik polinomni qayta yozishdan kelib chiqadi ${ displaystyle varphi}$ :

{ displaystyle varphi ^ {2} = varphi +1}

shakliga Pifagor teoremasi:

{ displaystyle ( varphi) ^ {2} = ({ sqrt { varphi}}) ^ {2} + (1) ^ {2}.}

Arifmetik, geometrik va garmonik o'rtacha bilan bog'liqlik

Ijobiy haqiqiy sonlar uchun a va b, ularning o'rtacha arifmetik, o'rtacha geometrik va garmonik o'rtacha to'rtburchak uchburchagi Kepler uchburchagi bo'lsa, u tomonlarning uzunliklari.^[6]

Kepler uchburchagini qurish

A orqali Kepler uchburchagini qurish usuli oltin to'rtburchak

Kepler uchburchagi bo'lishi mumkin faqat tekis va kompas yordamida qurilgan avval a yaratish orqali oltin to'rtburchak:

Birlik kvadratini qurish
Kvadratning bir tomonining o'rta nuqtasidan qarama-qarshi burchakka chiziq torting
To'rtburchakning balandligini aniqlaydigan yoyni chizish uchun o'sha chiziqdan radius sifatida foydalaning
Oltin to'rtburchakni to'ldiring
To'rtburchakning qarama-qarshi tomonini kesib o'tuvchi va belgilaydigan yoyni chizish uchun oltin to'rtburchakning uzunroq tomonidan foydalaning gipotenuza Kepler uchburchagi

Kepler uni boshqacha tarzda qurgan. Uning sobiq professoriga yozgan xatida Maykl Mastlin, u shunday deb yozgan edi: "Agar haddan tashqari va o'rtacha nisbatga bo'lingan chiziqda bitta to'g'ri burchakli uchburchak uchastka hosil qilsa, u holda to'g'ri burchak kesma nuqtaga qo'yilgan perpendikulyarga to'g'ri keladigan bo'lsa, u holda kichikroq oyoq katta bo'lakka teng bo'ladi ajratilgan chiziq. "^[2]

Matematik tasodif

Doira va kvadrat taxminan bir xil perimetrga ega

Tomonlari bo'lgan Kepler uchburchagida ${ displaystyle 1, { sqrt { varphi}}, varphi,}$ ko'rib chiqing:

uni aylanib o'tadigan aylana va
tomoni uchburchakning o'rta kattalikdagi chetiga teng bo'lgan kvadrat.

Keyin perimetrlar maydonning ( ${ displaystyle 4 { sqrt { varphi}}}$ ) va doira ( ${ displaystyle pi varphi}$ ) 0,1% dan kam bo'lgan xatoga to'g'ri keladi.

Bu matematik tasodif ${ displaystyle pi approx 4 / { sqrt { varphi}}}$ . Kvadrat va doira aynan bir xil perimetrga ega bo'lolmaydi, chunki u holda klassik (imkonsiz) masalani echish mumkin bo'ladi. doiraning kvadrati. Boshqa so'zlar bilan aytganda, ${ displaystyle pi neq 4 / { sqrt { varphi}}}$ chunki ${ displaystyle pi}$ a transandantal raqam.

Ba'zi manbalarga ko'ra, Kepler uchburchagi Misr piramidalari dizaynida paydo bo'ladi. Qavatining diagonali Qirol palatasi, ortiqcha xonaning uzunligiga bo'linadigan kengligi oltin nisbatga juda yaqin.^[5]^[7] Biroq, ushbu munosabatlarni o'rgangan turli xil olimlarning fikriga ko'ra, qadimgi misrliklar raqam bilan bog'liq matematik tasodifni bilishmagan bo'lishi mumkin ${ displaystyle pi}$ va oltin nisbat ${ displaystyle varphi}$ .^[8]

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

Izohlar

^ ${ displaystyle varphi = {1 + { sqrt {5}} 2}} dan ortiq$

Iqtiboslar

^ Rojer Xers-Fishler (2000). Buyuk Piramidaning shakli. Wilfrid Laurier universiteti matbuoti. p. 81. ISBN 0-88920-324-5.
^ ^a ^b Livio, Mario (2002). Oltin nisbat: Phi haqidagi hikoya, dunyodagi eng hayratlanarli raqam. Nyu York: Broadway kitoblari. p.149. ISBN 0-7679-0815-5.
^ Karl Fink; Wooster Woodruff Beman; Devid Eugene Smit (1903). Matematikaning qisqacha tarixi: Doktor Karl Finkning Geschichte der Elementar-Mathematikning vakolatli tarjimasi (2-nashr). Chikago: Open Court Publishing Co. p.223.
^ Astraeaning eng yaxshisi: fan, tarix va falsafa bo'yicha 17 ta maqola. Astrea veb-radiosi. 2006. p. 93. ISBN 1-4259-7040-0.
^ ^a ^b Pol Kalter, doirani kvadratga aylantirmoq
^ Di Domeniko, Anjelo, "Oltin nisbat - to'g'ri uchburchak - va arifmetik, geometrik va garmonik vositalar" Matematik gazeta 89, 2005.
^ Buyuk Piramida, Buyuk kashfiyot va Buyuk tasodif, Mark Herkommer, 2008 yil 24-iyun (Veb-arxiv)
^ Markovskiy, Jorj (1992 yil yanvar). "Oltin nisbat haqidagi noto'g'ri tushunchalar" (PDF). Kollej matematikasi jurnali. Amerika matematik assotsiatsiyasi. 23 (1): 2–19. doi:10.2307/2686193. JSTOR 2686193. Misrliklar hanuzgacha o'z binolarida kamroq mavjud bo'lganligini bilgan ko'rinadi

Tashqi havolalar

[1] ${ displaystyle varphi = {1 + { sqrt {5}} 2}} dan ortiq$

[2] Rojer Xers-Fishler (2000). Buyuk Piramidaning shakli. Wilfrid Laurier universiteti matbuoti. p. 81. ISBN 0-88920-324-5.

[livio-3] Livio, Mario (2002). Oltin nisbat: Phi haqidagi hikoya, dunyodagi eng hayratlanarli raqam. Nyu York: Broadway kitoblari. p.149. ISBN 0-7679-0815-5.

[4] Karl Fink; Wooster Woodruff Beman; Devid Eugene Smit (1903). Matematikaning qisqacha tarixi: Doktor Karl Finkning Geschichte der Elementar-Mathematikning vakolatli tarjimasi (2-nashr). Chikago: Open Court Publishing Co. p.223.

[5] Astraeaning eng yaxshisi: fan, tarix va falsafa bo'yicha 17 ta maqola. Astrea veb-radiosi. 2006. p. 93. ISBN 1-4259-7040-0.

[Squaring_the_circle,_Paul_Calter-6] Pol Kalter, doirani kvadratga aylantirmoq

[7] Di Domeniko, Anjelo, "Oltin nisbat - to'g'ri uchburchak - va arifmetik, geometrik va garmonik vositalar" Matematik gazeta 89, 2005.

[8] Buyuk Piramida, Buyuk kashfiyot va Buyuk tasodif, Mark Herkommer, 2008 yil 24-iyun (Veb-arxiv)

[9] Markovskiy, Jorj (1992 yil yanvar). "Oltin nisbat haqidagi noto'g'ri tushunchalar" (PDF). Kollej matematikasi jurnali. Amerika matematik assotsiatsiyasi. 23 (1): 2–19. doi:10.2307/2686193. JSTOR 2686193. Misrliklar hanuzgacha o'z binolarida kamroq mavjud bo'lganligini bilgan ko'rinadi

[a]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Yoxannes Kepler
Ilmiy martaba	Kepler gumoni Keplerning sayyoralar harakatining qonunlari Kepler orbitasi Kepler uchburchagi Kepler tenglamasi Kepler polyhedra Keplerning Supernovasi Keplerian teleskopi
Ishlaydi	Mysterium Cosmographicum (1596) De Stella Nova (1606) Astronomiya yangi (1609) Epitome Astronomiae Copernicanae (1618, 1620-21) Mundi uyg'unligi (1619) Rudolfin jadvallari (1627) Somnium (1634)
Bog'liq	Die Harmonie der Welt (opera) Katarina Kepler (Ona) Yakob Bartsch (kuyov) Kepler (opera) Kepler kosmik teleskopi Yoxannes Kepler ATV Ismlar ro'yxati