Lehmers gumoni - Lehmers conjecture

Lexmerning taxminlari, deb ham tanilgan Lehmerning Mahler o'lchov muammosi, muammo sonlar nazariyasi tomonidan ko'tarilgan Derrik Genri Lemmer.^[1] Gumon mutlaq doimiy borligini tasdiqlaydi ${ displaystyle mu> 1}$ shunday har bir polinom butun son koeffitsientlari bilan ${ displaystyle P (x) in mathbb {Z} [x]}$ quyidagi xususiyatlardan birini qondiradi:

• The Mahler o'lchovi ${ displaystyle { mathcal {M}} (P (x))}$ ning ${ displaystyle P (x)}$ dan katta yoki tengdir ${ displaystyle mu}$.
• ${ displaystyle P (x)}$ siklotomik polinomlar yoki monomiallar ko'paytmasining ajralmas ko'pligi ${ displaystyle x}$, bu holda ${ displaystyle { mathcal {M}} (P (x)) = 1}$. (Bunga teng ravishda, har bir murakkab ildiz ${ displaystyle P (x)}$ birlikning ildizi yoki nol.)

Mahler o'lchovining bir qator ta'riflari mavjud, ulardan biri faktor ${ displaystyle P (x)}$ ustida ${ displaystyle mathbb {C}}$ kabi

${ displaystyle P (x) = a_ {0} (x- alfa _ {1}) (x- alfa _ {2}) cdots (x- alfa _ {D}),}$

va keyin o'rnatiladi

${ displaystyle { mathcal {M}} (P (x)) = | a_ {0} | prod _ {i = 1} ^ {D} max (1, | alfa _ {i} |). }$

Malerning eng kichik o'lchovi (1 dan katta) "Lemmer polinomiga" tegishli

${ displaystyle P (x) = x ^ {10} + x ^ {9} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} + x + 1 ,,}$

buning uchun Mahler o'lchovi Salem raqami^[2]

${ displaystyle { mathcal {M}} (P (x)) = 1.176280818 nuqta .}$

Ushbu misol haqiqiy minimal qiymatni anglatadi, degan fikr keng tarqalgan: ya'ni ${ displaystyle mu = 1.176280818 nuqta}$ Lexmerning taxminida.^[3][4]

Motivatsiya

Mahler o'lchovini bitta o'zgaruvchiga va Jensen formulasi shuni ko'rsatadiki, agar ${ displaystyle P (x) = a_ {0} (x- alfa _ {1}) (x- alfa _ {2}) cdots (x- alfa _ {D})}$ keyin

${ displaystyle { mathcal {M}} (P (x)) = | a_ {0} | prod _ {i = 1} ^ {D} max (1, | alfa _ {i} |). }$

Ushbu xatboshini belgilang${ displaystyle m (P) = log ({ mathcal {M}} (P (x))}$ , bu ham deyiladi Mahler o'lchovi.

Agar ${ displaystyle P}$ tamsayı koeffitsientlariga ega, bu shuni ko'rsatadiki ${ displaystyle { mathcal {M}} (P)}$ bu algebraik raqam shunday ${ displaystyle m (P)}$ algebraik tamsayı logarifmidir. Bu ham buni ko'rsatadi ${ displaystyle m (P) geq 0}$ va agar shunday bo'lsa ${ displaystyle m (P) = 0}$ keyin ${ displaystyle P}$ ning mahsulotidir siklotomik polinomlar ya'ni barcha ildizlari birlikning ildizlari bo'lgan monik polinomlar yoki ning monomial polinomlari ${ displaystyle x}$ ya'ni kuch ${ displaystyle x ^ {n}}$ kimdir uchun ${ displaystyle n}$ .

Lexmer buni payqadi^[1][5] bu ${ displaystyle m (P) = 0}$ butun sonli ketma-ketlikni o'rganishda muhim ahamiyatga ega ${ displaystyle Delta _ {n} = { text {Res}} (P (x), x ^ {n} -1) = prod _ {i = 1} ^ {D} ( alfa _ {i } ^ {n} -1)}$ monik uchun ${ displaystyle P}$ . Agar ${ displaystyle P}$ u holda aylanada yo'qolib qolmaydi ${ displaystyle lim | Delta _ {n} | ^ {1 / n} = { mathcal {M}} (P)}$ va agar bu gap to'g'ri bo'lsa ham ${ displaystyle P}$ aylanada yo'qoladi. Bu bilan u so'rashga majbur bo'ldi

doimiy mavjudmi yoki yo'qmi ${ displaystyle c> 0}$ shu kabi ${ displaystyle m (P)> c}$ taqdim etilgan ${ displaystyle P}$ siklotomik emasmi?

yoki

berilgan ${ displaystyle c> 0}$, bormi ${ displaystyle P}$ buning uchun tamsayı koeffitsientlari bilan ${ displaystyle 0$?

Ba'zi ijobiy javoblar quyidagicha berilgan, ammo Lexmerning taxminlari hali to'liq isbotlanmagan va hali ham katta qiziqish uyg'otmoqda.

Qisman natijalar

Ruxsat bering ${ displaystyle P (x) in mathbb {Z} [x]}$ darajadagi kamaytirilmaydigan monik polinom bo'ling ${ displaystyle D}$.

Smit ^[6] Lehmer gipotezasi mavjud bo'lmagan barcha polinomlar uchun to'g'ri ekanligini isbotladi o'zaro, ya'ni barcha polinomlar qoniqtiradi ${ displaystyle x ^ {D} P (x ^ {- 1}) neq P (x)}$.

Blanksbi va Montgomeri^[7] va Styuart^[8] mutlaq doimiy borligini mustaqil ravishda isbotladi ${ displaystyle C> 1}$ shunday ham ${ displaystyle { mathcal {M}} (P (x)) = 1}$ yoki^[9]

${ displaystyle log { mathcal {M}} (P (x)) geq { frac {C} {D log D}}.}$

Dobrowolski ^[10] buni yaxshilagan

${ displaystyle log { mathcal {M}} (P (x)) geq C left ({ frac { log log D} { log D}} right) ^ {3}.}$

Dobrowolski bu qiymatni qo'lga kiritdi C 12 1/1200 va asimptotik ravishda C> 1-ε hamma uchun etarlicha katta D.. Voutier 1996 yilda olingan C ≥ 1/4 uchun D. ≥ 2.^[11]

Elliptik analoglar

Ruxsat bering ${ displaystyle E / K}$ bo'lish elliptik egri chiziq raqam maydonida aniqlangan ${ displaystyle K}$va ruxsat bering ${ displaystyle { hat {h}} _ {E}: E ({ bar {K}}) to mathbb {R}}$ bo'lishi kanonik balandlik funktsiya. Kanonik balandlik funktsiyaning elliptik egri chiziqlari uchun analog hisoblanadi ${ displaystyle ( deg P) ^ {- 1} log { mathcal {M}} (P (x))}$. Uning xususiyati bor ${ displaystyle { hat {h}} _ {E} (Q) = 0}$ agar va faqat agar ${ displaystyle Q}$ a burilish nuqtasi yilda ${ displaystyle E ({ bar {K}})}$. The Leliper gipotezasi doimiy borligini ta'kidlaydi ${ displaystyle C (E / K)> 0}$ shu kabi

${ displaystyle { hat {h}} _ {E} (Q) geq { frac {C (E / K)} {D}}}$ barcha burishmaydigan nuqtalar uchun ${ displaystyle Q in E ({ bar {K}})}$,

qayerda ${ displaystyle D = [K (Q): K]}$. Agar elliptik egri chiziq bo'lsa E bor murakkab ko'paytirish, keyin Dobrowolski natijasining analogi quyidagicha:

${ displaystyle { hat {h}} _ {E} (Q) geq { frac {C (E / K)} {D}} left ({ frac { log log D} { log D}} o'ng) ^ {3},}$

Laurent tufayli.^[12] Ixtiyoriy elliptik egri chiziqlar uchun eng yaxshi ma'lum bo'lgan natija

${ displaystyle { hat {h}} _ {E} (Q) geq { frac {C (E / K)} {D ^ {3} ( log D) ^ {2}}},}$

sababli Masser.^[13] Integral bo'lmagan elliptik egri chiziqlar uchun j-o'zgarmas, bu yaxshilandi

${ displaystyle { hat {h}} _ {E} (Q) geq { frac {C (E / K)} {D ^ {2} ( log D) ^ {2}}},}$

Hindri va Silverman.^[14]

Cheklangan natijalar

Kuchli natijalar cheklangan polinomlar yoki algebraik sonlar uchun ma'lum.

Agar P(x) u holda o'zaro emas

${ displaystyle M (P) geq M (x ^ {3} -x-1) taxminan 1.3247}$

va bu aniq eng yaxshi mumkin.^[15] Agar bundan keyingi barcha koeffitsientlar P u holda g'alati^[16]

${ displaystyle M (P) geq M (x ^ {2} -x-1) taxminan 1.618.}$

Har qanday algebraik son uchun a, ruxsat bering ${ displaystyle M ( alfa)}$ minimal polinomning Mahler o'lchovi bo'ling ${ displaystyle P _ { alpha}}$ ning a. Agar maydon bo'lsa Q(a) a Galois kengaytmasi ning Q, keyin Lexmerning gumoni ushlanadi ${ displaystyle P _ { alpha}}$.^[16]

Adabiyotlar

• Smit, Kris (2008). "Allerbraik sonlarning Mahler o'lchovi: so'rovnoma". McKee-da Jeyms; Smit, Kris (tahrir). Sonlar nazariyasi va polinomlar. London matematik jamiyati ma'ruzalar to'plami. 352. Kembrij universiteti matbuoti. 322-349 betlar. ISBN  978-0-521-71467-9.

Tashqi havolalar

• http://www.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/ muammo haqida yaxshi ma'lumot.
• Vayshteyn, Erik V. "Lemmerning Mahler o'lchovi muammosi". MathWorld.