Lehmersning dolzarb muammolari - Lehmers totient problem

Matematikada hal qilinmagan muammo: Kompozit sonning totient vazifasini bajara oladimi ${ displaystyle n}$ bo'lmoq ${ displaystyle n-1}$? (matematikada ko'proq hal qilinmagan muammolar)

Matematikada, Lexmerning totient muammosi bor-yo'qligini so'raydi kompozit raqam n shu kabi Eylerning totient funktsiyasi φ (n) ajratadi n - 1. Bu hal qilinmagan muammo.

Ma'lumki, φ (n) = n - 1 va faqat agar n asosiy hisoblanadi. Shunday qilib, har bir kishi uchun asosiy raqam n, bizda φ (n) = n - 1 va shuning uchun ayniqsa φ (n) ajratadi n − 1. D. X. Lemmer 1932 yilda ushbu xususiyatga ega kompozitsion raqamlar yo'q deb taxmin qildi.^[1]

Xususiyatlari

• Lehmer agar biron bir kompozitsion echim bo'lsa, buni ko'rsatdi n mavjud bo'lsa, g'alati bo'lishi kerak, kvadratsiz va kamida ettita aniq tublarga bo'linadi (ya'ni. ω (n) ≥ 7). Bunday raqam ham bo'lishi kerak a Karmikel raqami.
• 1980 yilda Koen va Xagis har qanday echim uchun buni isbotladilar n muammoga, n > 10²⁰ va ω (n) ≥ 14.^[2]
• 1988 yilda Xagis shuni ko'rsatdiki, agar 3 har qanday echimni ajratsa n keyin n > 10^1937042 va ω (n) ≥ 298848.^[3]
• Muammoni hal qilish soni kamroq ${ displaystyle X}$ ko'pi bilan ${ displaystyle {X ^ {1/2} / ( log X) ^ {1/2 + o (1)}}}$.^[4]

Adabiyotlar

• Koen, Grem L.; Xagis, Piter, jun. (1980). "Ning asosiy omillari soni to'g'risida n agar φ (n) ajratadi n−1". Nieuw Arch. Viskd., III. Ser. 28: 177–185. ISSN  0028-9825. Zbl  0436.10002.
• Yigit, Richard K. (2004). Raqamlar nazariyasida hal qilinmagan muammolar (3-nashr). Springer-Verlag. B37. ISBN  0-387-20860-7. Zbl  1058.11001.
• Xagis, Piter, jun. (1988). "Tenglama to'g'risida M⋅φ (n)=n−1". Nieuw Arch. Viskd., IV. Ser. 6 (3): 255–261. ISSN  0028-9825. Zbl  0668.10006.
• Lexmer, D. H. (1932). "Eylerning totient funktsiyasi to'g'risida". Amerika Matematik Jamiyati Axborotnomasi. 38: 745–751. doi:10.1090 / s0002-9904-1932-05521-5. ISSN  0002-9904. Zbl  0005.34302.
• Luka, Florian; Pomerance, Karl (2011). "Kompozit tamsayılarda n buning uchun ${ displaystyle varphi (n) mid n-1}$". Bol. Soc. Mat Meksikana. 17 (3): 13–21. ISSN  1405-213X. JANOB  2978700.
• Ribenboim, Paulu (1996). Asosiy raqamlar yozuvlarining yangi kitobi (3-nashr). Nyu York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-94457-5. Zbl  0856.11001.
• Shandor, Yozsef; Mitrinovich, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, nashrlar. (2006). Raqamlar nazariyasi I. Dordrext: Springer-Verlag. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.
• Burcsi, Peter; Tsirbusz, Shandor; Farkas, Gábor (2011). "Lehmerning dolzarb muammolarini hisoblash yo'li bilan tekshirish" (PDF). Ann. Univ. Ilmiy ish. Budap. Rolando Eötvos, Sekt. Hisoblash. 35: 43–49. ISSN  0138-9491. JANOB  2894552. Zbl  1240.11005.