Mitchells teoremasini joylashtirish - Mitchells embedding theorem

Mitchellning yotqizish teoremasi, deb ham tanilgan Freyd-Mitchell teoremasi yoki to'liq ichki teoremahaqida natija abeliya toifalari; mohiyatan ushbu toifalar mavhum ravishda aniqlangan bo'lsa-da, aslida ekanligini ta'kidlaydi aniq toifalar ning modullar. Bu elementlardan oqilona foydalanishga imkon beradi diagramma ta'qib qilish ushbu toifadagi dalillar. Teorema nomlangan Barri Mitchell va Piter Freyd.

Tafsilotlar

Aniq bayonot quyidagicha: agar A kichik abeliya toifasi, keyin mavjud uzuk R (1 bilan, majburiy emas) va a to'liq, sodiq va aniq funktsiya F: A → R-Mod (bu erda ikkinchisi barchaning toifasini bildiradi chap R-modullar ).

Funktsiya F hosil beradi ekvivalentlik o'rtasida A va a to'liq pastki toifa ning R- Modani shunday qiling yadrolari va kokernellar hisoblangan A hisoblangan oddiy yadrolarga va kokernellarga mos keladi R-Mod. Bunday ekvivalentlik shart qo'shimchalar.Shunday qilib, teorema asosan ob'ektlari A deb o'ylash mumkin R-modullar va morfizmlar kabi R- yadrolari, kokernellari bo'lgan chiziqli xaritalar, aniq ketma-ketliklar va modullarda bo'lgani kabi aniqlanadigan morfizmlar yig'indisi. Biroq, loyihaviy va in'ektsion ob'ektlar A proektsion va in'ektsionga mos kelmasligi shart R-modullar.

Dalilning eskizi

Ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {L}} subset operatorname {Fun} ({ mathcal {A}}, Ab)}$ toifasi bo'lishi chap aniq funktsiyalar abeliya toifasidan ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ uchun abeliya guruhlari toifasi ${ displaystyle Ab}$. Avval biz a ni quramiz qarama-qarshi ko'mish ${ displaystyle H: { mathcal {A}} to { mathcal {L}}}$ tomonidan ${ displaystyle H (A) = h ^ {A}}$ Barcha uchun ${ displaystyle A in { mathcal {A}}}$, qayerda ${ displaystyle h ^ {A}}$ kovariant hom-funktor, ${ displaystyle h ^ {A} (X) = operatorname {Hom} _ { mathcal {A}} (A, X)}$. The Yoneda Lemma ta'kidlaydi ${ displaystyle H}$ to'liq sodiq va biz ham chap aniqligini olamiz ${ displaystyle H}$ juda oson, chunki ${ displaystyle h ^ {A}}$ allaqachon aniq qoldirilgan. To'g'ri aniqligining isboti ${ displaystyle H}$ qiyinroq va uni oqqushda o'qish mumkin, Matematikadan ma'ruza matnlari 76.

Shundan so'ng biz buni isbotlaymiz ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ lokalizatsiya nazariyasidan foydalangan holda abeliya toifasi (shuningdek, oqqush). Bu dalilning qiyin qismi.

Abeliya toifasini tekshirish oson ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ bu AB5 toifasi bilan generator ${ displaystyle bigoplus _ {A in { mathcal {A}}} h ^ {A}}$.Boshqacha qilib aytganda Grotendik toifasi va shuning uchun in'ektsion kogenerator mavjud ${ displaystyle I}$.

The endomorfizm halqasi ${ displaystyle R: = operatorname {Hom} _ { mathcal {L}} (I, I)}$ toifasiga kerak bo'lgan uzuk R-modullar.

By ${ displaystyle G (B) = operatorname {Hom} _ { mathcal {L}} (B, I)}$ biz yana bir qarama-qarshi, aniq va to'liq sodiq joylashtiramiz ${ displaystyle G: { mathcal {L}} to R operator nomi {-Mod}.}$ Tarkibi ${ displaystyle GH: { mathcal {A}} to R operator nomi {-Mod}}$ kerakli aniq va to'liq ishonchli joylashish.

Ning isboti ekanligini unutmang Gabriel-Kvillen singdirish teoremasi uchun aniq toifalar deyarli bir xil.

Adabiyotlar