Nevanlinnas mezonlari - Nevanlinnas criterion

Yilda matematika, Nevanlinnaning mezonlari yilda kompleks tahlil, 1920 yilda fin matematikasi tomonidan isbotlangan Rolf Nevanlinna, xarakterlaydi holomorfik bir xil funktsiyalar ustida birlik disk qaysiki yulduzcha. Nevanlinna ushbu mezondan buni isbotlash uchun foydalangan Biberbaxning gumoni yulduz kabi bir xil bo'lmagan funktsiyalar uchun

Mezonning bayoni

Univalent funktsiya h qoniqarli birlik diskida h(0) = 0 va h '(0) = 1 yulduzcha rangga o'xshaydi, ya'ni [0,1] dagi haqiqiy sonlarga ko'paytirilganda tasvir o'zgarmas bo'ladi, agar shunday bo'lsa va ${ displaystyle zh ^ { prime} (z) / h (z)}$ | uchun ijobiy real qism mavjudz| <1 va 0 qiymatidagi 1 qiymatini oladi.

E'tibor bering, natijani qo'llash orqali a•h(rz), mezon har qanday diskka tegishli |z| faqat shu talab bilan f(0) = 0 va f '(0) ≠ 0.

Mezonni tasdiqlovchi hujjat

Ruxsat bering h(z) | da yulduz kabi bir xil funktsiya bo'lishiz| <1 bilan h(0) = 0 va h '(0) = 1.

Uchun t <0, aniqlang^[1]

${ displaystyle f_ {t} (z) = h ^ {- 1} (e ^ {- t} h (z)), ,}$

holomorfik xaritalashning yarim guruhi D. o'z ichiga 0 ni o'rnatadi.

Bundan tashqari h bo'ladi Koenigs funktsiyasi yarim guruh uchun f_t.

Tomonidan Shvarts lemma, |f_t(z) | kabi kamayadi t ortadi.

Shuning uchun

${ displaystyle kısalt _ {t} | f_ {t} (z) | ^ {2} leq 0.}$

Ammo, sozlash w = f_t(z),

${ displaystyle kısalt _ {t} | f_ {t} (z) | ^ {2} = 2 Re , { overline {f_ {t} (z)}} kısalt _ {t} f_ {t } (z) = 2 Re , { overline {w}} v (w),}$

qayerda

${ displaystyle v (w) = - {h (w) over h ^ { prime} (w)}.}$

Shuning uchun

${ displaystyle Re , { overline {w}} {h (w) over h ^ { prime} (w)} geq 0.}$

va shunday qilib, | ga bo'lishw|²,

${ displaystyle Re , {h (w) over wh ^ { prime} (w)} geq 0.}$

O'zaro munosabatlarni olib, ruxsat berish t 0 ga o'ting

${ displaystyle Re , z {h ^ { prime} (z) over h (z)} geq 0}$

hamma uchun |z| <1. Chap tomon a bo'lganligi sababli harmonik funktsiya, maksimal tamoyil tengsizlikning qat'iyligini anglatadi.

Aksincha, agar shunday bo'lsa

${ displaystyle g (z) = z {h ^ { prime} (z) over h (z)}}$

ijobiy real qismga ega va g(0) = 1, keyin h faqat 0da yo'q bo'lib ketishi mumkin, bu erda u oddiy nolga ega bo'lishi kerak.

Endi

${ displaystyle kısalt _ { theta} arg h (re ^ {i theta}) = qisman _ { theta} Im , log h (z) = Im , qismli _ { theta} log h (z) = Im , { qismli z ustidan qisman teta} cdot qisman _ {z} log h (z) = Re , z {h ^ { prime } (z) over h (z)}.}$

Shunday qilib z doirani izlaydi ${ displaystyle z = re ^ {i theta}}$, tasvirning argumenti ${ displaystyle h (re ^ {i theta})}$ qat'iy ravishda ko'payadi. Tomonidan argument printsipi, beri ${ displaystyle h}$ 0da oddiy nolga ega, kelib chiqishni atigi bir marta aylantiradi. Shuning uchun mintaqaning ichki qismi uning egri chizig'i bilan chegaralangan bo'lib, yulduzlarga o'xshaydi. Agar a ichki qismdagi nuqta, keyin echimlar soni N(a) ning h (z) = a bilan |z| < r tomonidan berilgan

${ displaystyle N (a) = {1 over 2 pi i} int _ {| z | = r} {h ^ { prime} (z) over h (z) -a} , dz. }$

Bu butun son bo'lgani uchun, doimiy ravishda bog'liqdir a va N(0) = 1, u bir xil 1. Demak h har bir diskda bir xil va yulduzcha |z| < r va shuning uchun hamma joyda.

Bieberbax taxminiga ariza

Karateodori lemmasi

Konstantin Karateodori agar 1907 yilda isbotlangan bo'lsa

${ displaystyle g (z) = 1 + b_ {1} z + b_ {2} z ^ {2} + cdots.}$

birlik diskidagi holomorfik funktsiya D. ijobiy haqiqiy qism bilan, keyin^[2][3]

${ displaystyle | b_ {n} | leq 2.}$

Aslida natijani ko'rsatish kifoya g bilan almashtirildi g_r(z) = g(rz) har qanday kishi uchun r <1 va keyin limitga o'ting r = 1. U holda g yopiq diskda doimiy real funktsiyaga va ijobiy qismga ega Shvarts formulasi

${ displaystyle g (z) = {1 over 2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} {e ^ {i theta} + z over e ^ {i theta} -z} Re g (e ^ {i theta}) , d theta.}$

Shaxsiyatdan foydalanish

${ displaystyle {e ^ {i theta} + z over e ^ {i theta} -z} = 1 + 2 sum _ {n geq 1} e ^ {- in theta} z ^ {n },}$

bundan kelib chiqadiki

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} Re g (e ^ {i theta}) , d theta = 1}$,

shuning uchun ehtimollik o'lchovini belgilaydi va

${ displaystyle b_ {n} = 2 int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {- int} Re g (e ^ {i theta}) , d theta.}$

Shuning uchun

${ displaystyle | b_ {n} | leq 2 int _ {0} ^ {2 pi} Re g (e ^ {i theta}) , d theta = 2.}$

Yulduzli funktsiyalar uchun dalil

Ruxsat bering

${ displaystyle f (z) = z + a_ {2} z ^ {2} + a_ {3} z ^ {3} + cdots}$

undagi yulduzga o'xshash funktsiya bo'lishi |z| < 1. Nevanlinna (1921) buni isbotladi

${ displaystyle | a_ {n} | leq n.}$

Aslida Nevanlinna mezoniga ko'ra

${ displaystyle g (z) = z {f ^ { prime} (z) over f (z)} = 1 + b_ {1} z + b_ {2} z ^ {2} + cdots}$

| uchun ijobiy real qism mavjudz| <1. Shunday qilib, Karateodori lemmasi bilan

${ displaystyle | b_ {n} | leq 2.}$

Boshqa tarafdan

${ displaystyle zf ^ { prime} (z) = g (z) f (z)}$

takrorlanish munosabatini beradi

${ displaystyle (n-1) a_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n-1} b_ {n-k} a_ {k}.}$

qayerda a₁ = 1. Shunday qilib

${ displaystyle | a_ {n} | leq {2 over n-1} sum _ {k = 1} ^ {n-1} | a_ {k} |,}$

shuning uchun indüksiya quyidagicha

${ displaystyle | a_ {n} | leq n.}$

Izohlar

Adabiyotlar

• Karateodori, S (1907), "Über den Variabilitatsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen", Matematika. Ann., 64: 95–115, doi:10.1007 / bf01449883, S2CID  116695038
• Duren, P. L. (1983), Noyob funktsiyalar, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259, Springer-Verlag, 41-42 betlar, ISBN  0-387-90795-5
• Xeyman, V. K. (1994), Ko'p valentli funktsiyalar, Matematikada Kembrij traktlari, 110 (2-nashr), Kembrij universiteti matbuoti, ISBN  0-521-46026-3
• Nevanlinna, R. (1921), "Über die konforme Abbildung von Sterngebieten", Ofvers. Finska Vet. Soc. Forx., 53: 1–21
• Pommerenke, S (1975), Gerd Jensen tomonidan kvadratik differentsiallarga bag'ishlangan noyob funktsiyalar, Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15, Vandenhoek va Ruprext