Nyuton fraktali - Newton fractal

Yuliya Nyuton usuli bilan bog'liq bo'lgan ratsional funktsiyani ƒ: z → z uchun o'rnatdi³−1.

The Nyuton fraktali a chegara belgilandi ichida murakkab tekislik bilan tavsiflanadi Nyuton usuli sobit uchun qo'llaniladi polinom ${displaystyle p (Z) matematikada {C} [Z]}$ yoki transandantal funktsiya. Bu Yuliya o'rnatdi ning meromorfik funktsiya ${displaystyle zmapsto z- {frac {p (z)} {p '(z)}}}$ bu Nyuton usuli bilan berilgan. Jozibali tsikllar bo'lmaganida (tartibi 1 dan katta), u murakkab tekislikni mintaqalarga ajratadi ${displaystyle G_ {k}}$, ularning har biri a bilan bog'liq ildiz ${displaystyle zeta _ {k}}$ polinomning, ${displaystyle k = 1, ldots, deg (p)}$. Shu tarzda Nyuton fraktali o'xshashdir Mandelbrot o'rnatildi va boshqa fraktallar singari u ham oddiy ta'rifdan kelib chiqadigan murakkab ko'rinishni namoyish etadi. Bu bilan bog'liq raqamli tahlil chunki bu shuni ko'rsatadiki (mintaqadan tashqarida kvadratik yaqinlik ) Nyuton usuli boshlang'ich nuqtasini tanlashga juda sezgir bo'lishi mumkin.

Murakkab tekislikning ko'p nuqtalari biri bilan bog'langan ${displaystyle deg (p)}$ polinomning ildizlari quyidagi tarzda: nuqta boshlang'ich qiymati sifatida ishlatiladi ${displaystyle z_ {0}}$ Nyutonning takrorlanishi uchun ${displaystyle z_ {n + 1}: = z_ {n} - {frac {p (z_ {n})} {p '(z_ {n})}}}$, ballar ketma-ketligini berish ${displaystyle z_ {1}, z_ {2}, ldots,}$ Agar ketma-ketlik ildizga yaqinlashsa ${displaystyle zeta _ {k}}$, keyin ${displaystyle z_ {0}}$ mintaqaning bir elementi edi ${displaystyle G_ {k}}$. Biroq, har bir darajadagi kamida 2 polinom uchun Nyuton iteratsiyasi hech qanday ildizga yaqinlashmaydigan nuqtalar mavjud: misollar har xil ildizlarning tortishish havzalarining chegaralari. Hatto boshlanish nuqtalarining ochiq to'plamlari biron bir ildizga yaqinlasha olmaydigan polinomlar mavjud: oddiy misol ${displaystyle z ^ {3} -2z + 2}$, bu erda ba'zi fikrlarni ildiz emas, balki 0, 1, 0, 1 ... tsikli o'ziga jalb qiladi.

Takrorlashlar ma'lum bir ildizga yoki tsiklga yaqinlashadigan ochiq to'plam (bu sobit nuqta emas), a Fatou qo'ydi takrorlash uchun. Bularning barchasini birlashtiradigan qo'shimcha narsa - Julia to'plamidir. Fatu to'plamlari umumiy chegaraga ega, ya'ni Juliya to'plami. Shuning uchun Julia to'plamining har bir nuqtasi Fatou to'plamlarining har biri uchun to'planish nuqtasidir. Aynan shu xususiyat Julia to'plamining fraktal tuzilishini keltirib chiqaradi (polinomning darajasi 2 dan katta bo'lsa).

Qiziqarli rasmlarni chizish uchun avval ma'lum bir raqamni tanlash mumkin ${displaystyle d}$ murakkab nuqtalar ${displaystyle (zeta _ {1}, ldots, zeta _ {d})}$ va koeffitsientlarni hisoblang ${displaystyle (p_ {1}, ldots, p_ {d})}$ polinomning

${displaystyle p (z) = z ^ {d} + p_ {1} z ^ {d-1} + cdots + p_ {d-1} z + p_ {d}: = (z-zeta _ {1}) cdot cdots cdot (z-zeta _ {d})}$.

Keyin to'rtburchaklar panjara uchun ${displaystyle z_ {mn} = z_ {00} + m, Delta x + in, Delta y}$, ${displaystyle m = 0, ldots, M-1}$, ${displaystyle n = 0, ldots, N-1}$ ball ${displaystyle mathbb {C}}$, biri indeksni topadi ${displaystyle k (m, n)}$ tegishli ildiz ${displaystyle zeta _ {k (m, n)}}$ va undan to'ldirish uchun foydalanadi ${displaystyle M}$×${displaystyle N}$ har bir nuqtaga tayinlash orqali raster panjarasi ${displaystyle (m, n)}$ rang ${displaystyle f_ {k (m, n)}}$. Qo'shimcha yoki muqobil ravishda ranglar masofaga bog'liq bo'lishi mumkin ${displaystyle D (m, n)}$, bu birinchi qiymat sifatida belgilangan ${displaystyle D}$ shu kabi ${displaystyle | z_ {D} -zeta _ {k (m, n)} |$ ba'zilari ilgari belgilangan kichik ${displaystyle epsilon> 0}$.

Nyuton fraktallarini umumlashtirish

Nyuton takrorlanishining umumlashtirilishi

${displaystyle z_ {n + 1} = z_ {n} -a {frac {p (z_ {n})} {p '(z_ {n})}}}$

qayerda ${displaystyle a}$ har qanday murakkab son.^[1] Maxsus tanlov ${displaystyle a = 1}$ Nyuton fraktaliga to'g'ri keladi. Ushbu xaritaning belgilangan nuqtalari qachon barqaror bo'ladi ${displaystyle a}$ markazida joylashgan 1 radiusli diskning ichida joylashgan. Qachon ${displaystyle a}$ ushbu diskdan tashqarida, belgilangan nuqtalar mahalliy darajada beqaror, ammo xarita hanuzgacha fraktal tuzilishini namoyish etadi Yuliya o'rnatdi. Agar ${displaystyle p}$ daraja polinomidir ${displaystyle d}$, keyin ketma-ketlik ${displaystyle z_ {n}}$ bu chegaralangan sharti bilan ${displaystyle a}$ radiusli disk ichida joylashgan ${displaystyle d}$ markazida ${displaystyle d}$.

Umuman olganda, Nyuton fraktali a ning alohida holatidir Yuliya o'rnatdi.

• 

  Uch daraja-3 ildiz uchun Nyuton fraktali (${displaystyle p (z) = z ^ {3} -1}$), kerakli takrorlanishlar soni bo'yicha rang

• 

  Uch daraja-3 ildiz uchun Nyuton fraktali (${displaystyle p (z) = z ^ {3} -1}$), ildiz bilan ranglangan

• 

  Nyuton fraktal uchun ${displaystyle p (z) = z ^ {3} -2z + 2}$. Qizil havzalardagi ballar ildizga etib bormaydi.

• 

  7-darajali polinom uchun Nyuton fraktali, ildizga qarab rangga yaqinlashadi va yaqinlashuv tezligida soyalanadi.

• 

  Nyuton fraktal uchun ${displaystyle x ^ {8} + 15x ^ {4} -16}$

• 

  Nyuton fraktal uchun ${displaystyle p (z) = z ^ {5} -3iz ^ {3} - (5 + 2i) z ^ {2} + 3z + 1}$, zarur bo'lgan takrorlanishlar soniga qarab soyalangan, ildizga qarab rang.

• 

  Nyuton fraktal uchun ${displaystyle p (z) = gunoh (z)}$, zarur bo'lgan takrorlanishlar soniga qarab soyalangan, ildizga qarab rang

• 

  Uchun yana bir Nyuton fraktali ${displaystyle sin (x)}$

• 

  Umumlashtirilgan Nyuton fraktali ${displaystyle p (z) = z ^ {3} -1}$, ${displaystyle a = -0.5.}$ Rang 40 ta takrorlashdan so'ng argument asosida tanlangan.

• 

  Umumlashtirilgan Nyuton fraktali ${displaystyle p (z) = z ^ {2} -1}$, ${displaystyle a = 1 + i.}$

• 

  Umumlashtirilgan Nyuton fraktali ${displaystyle p (z) = z ^ {3} -1}$, ${displaystyle a = 2.}$

• 

  Umumlashtirilgan Nyuton fraktali ${displaystyle p (z) = z ^ {4 + 3i} -1}$, ${displaystyle a = 2.1.}$

• 

  ${displaystyle p (z) = z ^ {6} + z ^ {3} -1}$
• 

  ${displaystyle p (z) = sin (z) -1}$
• 

  ${displaystyle p (z) = cosh (z) -1}$

Yangi fraktal

1990 yillarning o'rtalarida Pol Derbishir tomonidan ixtiro qilingan Nova fraktal,^[2][3] Nyuton fraktalining qiymat qo'shilishi bilan umumlashtirilishi ${displaystyle c}$ har bir qadamda:^[4]

${displaystyle z_ {n + 1} = z_ {n} -a {frac {p (z_ {n})} {p '(z_ {n})}} + c = G (a, c, z)}$

Novak fraktalining "Julia" varianti saqlanib qoldi ${displaystyle c}$ tasvir ustida doimiy va ishga tushiradi ${displaystyle z_ {0}}$ piksel koordinatalariga. Novak fraktalining "Mandelbrot" varianti initsializatsiya qilinadi ${displaystyle c}$ piksel koordinatalari va to'plamlariga ${displaystyle z_ {0}}$ tanqidiy nuqtaga, qaerda ${displaystyle {frac {kısmi} {qisman z}} G (a, c, z) = 0}$.^[5] Kabi keng tarqalgan polinomlar ${displaystyle p (z) = z ^ {3} -1}$ yoki ${displaystyle p (z) = (z-1) ^ {3}}$ tanqidiy nuqtaga olib boring ${displaystyle z = 1}$.

Amalga oshirish

Nyuton Fraktalini amalga oshirish uchun boshlang'ich funktsiyasi va uning hosilasi funktsiyasi bo'lishi kerak:

${displaystyle f (z) = z ^ {3} -1}$

${displaystyle f '(z) = 3z ^ {2}}$

Funktsiyaning ildizlari

${displaystyle z = 1, -0.5pm {sqrt {3}} / 2i}$

Yuqorida belgilangan funktsiyalar psevdokodda quyidagicha tarjima qilinishi mumkin:

// z ^ 3-1 suzuvchi2 Funktsiya (suzuvchi2 z){	qaytish qarag'ay(z, 3) - suzuvchi2(1, 0); // cpow - murakkab sonlar uchun eksponent funktsiya}// 3 * z ^ 2suzuvchi2 Hosil (suzuvchi2 z){	qaytish 3 * smul(z, z); // cmul - bu murakkab sonlarni ko'paytirish bilan shug'ullanadigan funktsiya}

Endi faqat Nyuton usulini berilgan funktsiyalar yordamida amalga oshirish kerak.

suzuvchi2 ildizlar[3] = // Polinomning ildizlari (echimlari){	suzuvchi2(1, 0), 	suzuvchi2(-.5, kv(3)/2), 	suzuvchi2(-.5, -kv(3)/2)};	rang ranglar[3] =  // Har bir ildiz uchun rang belgilang{    qizil,    yashil,    ko'k}Uchun har biri piksel (x, y) kuni The nishon, qil:{	zx = miqyosli x muvofiqlashtirish ning piksel (miqyosli ga yolg'on yilda The Mandelbrot X o'lchov (-2.5, 1))    zy = miqyosli y muvofiqlashtirish ning piksel (miqyosli ga yolg'on yilda The Mandelbrot Y o'lchov (-1, 1))    suzuvchi2 z = suzuvchi2(zx, zy); // Z dastlab piksel koordinatalariga o'rnatiladi	uchun (int takrorlash = 0;	     takrorlash < maxIteration;	     takrorlash++;)	{		z -= cdiv(Funktsiya(z), Hosil(z)); // cdiv - murakkab sonlarni ajratish funktsiyasi        suzmoq bag'rikenglik = 0.000001;        		uchun (int men = 0; men < ildizlar.Uzunlik; men++)		{		    suzmoq farq = z - ildizlar[men];		    			// Agar joriy takrorlash ildizga etarlicha yaqin bo'lsa, pikselni ranglang.			agar (abs(farq.x) < bag'rikenglik && abs (farq.y) < bag'rikenglik)			{				qaytish ranglar[men]; // Ildizga mos keladigan rangni qaytaring			}		}		    }        qaytish qora; // Agar echim topilmasa}

Shuningdek qarang

• Yuliya o'rnatdi
• Mandelbrot o'rnatildi

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish

• J. H. Xubbar, D. Shleyxer, S. Sazerlend: Nyuton usuli bilan murakkab polinomlarning barcha ildizlarini qanday topish mumkin, Ixtirolar Mathematicae vol. 146 (2001) - Nyuton fraktallarining global tuzilishini muhokama qilish bilan
• Nyuton usuli uchun takrorlanishlar soni to'g'risida Dierk Schleicher tomonidan 2000 yil 21-iyul
• Nyuton usuli dinamik tizim sifatida Yoxannes Rukkert tomonidan