Oddiy konus (funktsional tahlil) - Normal cone (functional analysis)

Matematikada, xususan tartib nazariyasi va funktsional tahlil, agar C a ning 0 ga teng bo'lgan konusidir topologik vektor maydoni X shunday qilib 0 ∈ C va agar ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ bo'ladi mahalla filtri kelib chiqishi bilan, keyin C deyiladi normal agar ${ displaystyle { mathcal {U}} = left [{ mathcal {U}} right] _ {C}}$ , qayerda ${ displaystyle left [{ mathcal {U}} right] _ {C}: = left {[U] _ {C}: U in { mathcal {U}} right }}$ va har qanday kichik to'plam uchun qaerda S ning X, [S]_C : = (S + C) ∩ (S - C) bu C- to'yinganlik ning S.^[1]

Oddiy konuslar nazariyasida muhim rol o'ynaydi tartiblangan topologik vektor bo'shliqlari va topologik vektor panjaralari.

Xarakteristikalar

Agar C televizorda konus X keyin har qanday kichik to'plam uchun S ning X ruxsat bering ${ displaystyle [S] _ {C}: = chap (S + C o'ng) cap chap (S-C o'ng)}$ bo'lishi C- to'yingan korpus S ning X va har qanday to'plam uchun ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ ning pastki to'plamlari X ruxsat bering ${ displaystyle left [{ mathcal {S}} right] _ {C}: = left { left [S right] _ {C}: S in { mathcal {S}} right }}$ . Agar C televizorda konus X keyin C bu normal agar ${ displaystyle { mathcal {U}} = left [{ mathcal {U}} right] _ {C}}$ , qayerda ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ kelib chiqishi bo'yicha mahalla filtri.^[1]

Agar ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ ning pastki to'plamlari to'plamidir X va agar ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ ning pastki qismi ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ keyin ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ a asosiy subfamily ning ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ agar har biri bo'lsa ${ displaystyle T in { mathcal {T}}}$ ning ba'zi bir elementlari to'plami sifatida mavjud ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ . Agar ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ televizorning pastki guruhlari oilasi X keyin konus C yilda X deyiladi a ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ -konus agar ${ displaystyle left {{ overline { left [G right] _ {C}}}: G in { mathcal {G}} right }}$ ning asosiy subfamilasi hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ va C a qattiq ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ -konus agar ${ displaystyle left { left [G right] _ {C}: G in { mathcal {G}} right }}$ ning asosiy subfamilasi hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ .^[1] Ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ ning barcha chegaralangan kichik guruhlari oilasini belgilang X.

Agar C televizorda konus X (haqiqiy yoki murakkab sonlar ustida), keyin quyidagilar teng:^[1]

C oddiy konus.
Har bir filtr uchun ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ yilda X, agar ${ displaystyle lim { mathcal {F}} = 0}$ keyin ${ displaystyle lim left [{ mathcal {F}} right] _ {C} = 0}$ .
Mahalla bazasi mavjud ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ yilda X shu kabi ${ displaystyle B in { mathcal {G}}}$ nazarda tutadi ${ displaystyle left [B cap C right] _ {C} subseteq B}$ .

va agar X bu reals ustidagi vektor maydoni bo'lib, biz ushbu ro'yxatga qo'shishimiz mumkin:^[1]

Boshida qavariqdan iborat bo'lgan mahalla bazasi mavjud, muvozanatli, C- to'yingan to'plamlar.
U erda nasl beradigan oila mavjud ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ bo'yicha yarim me'yorlar X shu kabi ${ displaystyle p (x) leq p (x + y)}$ Barcha uchun ${ displaystyle x, y in C}$ va ${ displaystyle p in { mathcal {P}}}$ .

va agar X mahalliy konveks oralig'i va agar er-xotin konus bo'lsa C bilan belgilanadi ${ displaystyle X ^ { prime}}$ keyin biz ushbu ro'yxatga qo'shishimiz mumkin:^[1]

Har qanday tengdoshli ichki to'plam uchun ${ displaystyle S subseteq X ^ { prime}}$ , tengdoshli mavjud ${ displaystyle B subseteq C ^ { prime}}$ shu kabi ${ displaystyle S subseteq B-B}$ .
Topologiyasi X ning teng qismli kichik to'plamlari bo'yicha bir xil yaqinlashuv topologiyasi ${ displaystyle C ^ { prime}}$ .

va agar X bu infrabarreled mahalliy konveks oralig'i va agar ${ displaystyle { mathcal {B}} ^ { prime}}$ ning bir-biriga chambarchas bog'liq bo'lgan kichik to'plamlari oilasi ${ displaystyle X ^ { prime}}$ keyin biz ushbu ro'yxatga qo'shishimiz mumkin:^[1]

Topologiyasi X ning kuchli chegaralangan kichik to'plamlari bo'yicha bir xil yaqinlashuv topologiyasi ${ displaystyle C ^ { prime}}$ .
${ displaystyle C ^ { prime}}$ ${ displaystyle C ^ { prime}}$ a ${ displaystyle { mathcal {B}} ^ { prime}}$ ${ displaystyle { mathcal {B}} ^ { prime}}$ - kirish ${ displaystyle X ^ { prime}}$ ${ displaystyle X ^ { prime}}$ .
- bu degani oila ${ displaystyle left {{ overline { left [B ^ { prime} right] _ {C}}}: B ^ { prime} in { mathcal {B}} ^ { prime} o'ng }}$ ning asosiy subfamilasi hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {B}} ^ { prime}}$ .
${ displaystyle C ^ { prime}}$ ${ displaystyle C ^ { prime}}$ qat'iydir ${ displaystyle { mathcal {B}} ^ { prime}}$ ${ displaystyle { mathcal {B}} ^ { prime}}$ - kirish ${ displaystyle X ^ { prime}}$ ${ displaystyle X ^ { prime}}$ .
- bu degani oila ${ displaystyle left { left [B ^ { prime} right] _ {C}: B ^ { prime} in { mathcal {B}} ^ { prime} right }}$ ning asosiy subfamilasi hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {B}} ^ { prime}}$ .

va agar X ijobiy konus bo'lgan reallar ustidan buyurtma qilingan mahalliy konveks TVS C, keyin biz ushbu ro'yxatga qo'shishimiz mumkin:

Hausdorff mavjud mahalliy ixcham topologik makon S shu kabi X izomorfik (buyurtma qilingan TVS sifatida) ning pastki fazosiga ega R(S), qaerda R(S) - bu haqiqiy baholangan doimiy funktsiyalarning maydoni X ixcham konvergentsiya topologiyasi ostida.^[2]

Agar X a mahalliy konveks TVS, C konus X bilan ikkita konus ${ displaystyle C ^ { prime} subseteq X ^ { prime}}$ va ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ a to'yingan oila ning chegaralangan kichik to'plamlari ${ displaystyle X ^ { prime}}$ , keyin^[1]

agar ${ displaystyle C ^ { prime}}$ a ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ - keyin C uchun oddiy konusdir ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ -topologiya X;
agar C a uchun oddiy konusdir ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ -topologiya X bilan izchil ${ displaystyle left langle X, X ^ { prime} right rangle}$ keyin ${ displaystyle C ^ { prime}}$ qat'iydir ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ - kirish ${ displaystyle X ^ { prime}}$ .

Agar X bu Banach makoni, C yopiq konusdir X,, va ${ displaystyle { mathcal {B}} ^ { prime}}$ ning barcha chegaralangan kichik guruhlari oilasi ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime}}$ keyin ikkita konus ${ displaystyle C ^ { prime}}$ normaldir ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime}}$ agar va faqat agar C qat'iydir ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ -konus.^[1]

Agar X bu Banach makoni va C konus X unda quyidagilar teng:^[1]

C a ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ - kirish X;
${ displaystyle X = { overline {C}} - { overline {C}}}$ ;
${ displaystyle { overline {C}}}$ qat'iydir ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ - kirish X.

Xususiyatlari

Agar X Hausdorff TVS, keyin har bir normal konus X to'g'ri konus.^[1]
Agar X bu normal maydon va agar bo'lsa C normal konusdir X keyin ${ displaystyle X ^ { prime} = C ^ { prime} -C ^ { prime}}$ .^[1]
Aytaylik, buyurtma qilingan mahalliy konveks TVS ning ijobiy konusi X ichida normal darajada normal emas X va bu Y ijobiy konusli buyurtma qilingan mahalliy konveks TVS D.. Agar Y = D. - D. keyin H - H zich ${ displaystyle L_ {s} chap (X; Y o'ng)}$ ${ displaystyle L_ {s} chap (X; Y o'ng)}$ qayerda H ning kanonik ijobiy konusidir ${ displaystyle L chap (X; Y o'ng)}$ ${ displaystyle L chap (X; Y o'ng)}$ va ${ displaystyle L_ {s} chap (X; Y o'ng)}$ ${ displaystyle L_ {s} chap (X; Y o'ng)}$ makon ${ displaystyle L chap (X; Y o'ng)}$ ${ displaystyle L chap (X; Y o'ng)}$ oddiy konvergentsiya topologiyasi bilan.^[3]
- Agar ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ ning chegaralangan kichik guruhlari oilasi X, keyin buni kafolatlaydigan oddiy shartlar mavjud emas H a ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ - kirish ${ displaystyle L _ { mathcal {G}} chap (X; Y o'ng)}$ , hatto eng keng tarqalgan oilalar turlari uchun ham ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ ning cheklangan kichik to'plamlari ${ displaystyle L _ { mathcal {G}} chap (X; Y o'ng)}$ (juda alohida holatlar bundan mustasno).^[3]

Yetarli shartlar

Agar topologiya yoqilgan bo'lsa X mahalliy konveks bo'lib, normal konusning yopilishi oddiy konusdir.^[1]

Aytaylik ${ displaystyle left {X _ { alpha}: alfa in A right }}$ mahalliy konveks televizorlarining oilasi va shu ${ displaystyle C _ { alpha}}$ konus ${ displaystyle X _ { alpha}}$ .Agar ${ displaystyle X: = bigoplus _ { alpha} X _ { alpha}}$ mahalliy konveks to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi, keyin konus ${ displaystyle C: = bigoplus _ { alpha} C _ { alpha}}$ normal konusdir X agar va faqat har biri bo'lsa ${ displaystyle X _ { alpha}}$ normaldir ${ displaystyle X _ { alpha}}$ .^[1]

Agar X mahalliy konveks bo'shliq bo'lsa, normal konusning yopilishi oddiy konusdir.^[1]

Agar C mahalliy konveks TVS-dagi konusdir X va agar ${ displaystyle C ^ { prime}}$ ning ikkita konusidir C, keyin ${ displaystyle X ^ { prime} = C ^ { prime} -C ^ { prime}}$ agar va faqat agar C zaif normaldir.^[1] Mahalliy konveks TVSdagi har bir normal konus zaif darajada normaldir.^[1] Norma qilingan kosmosda konus normaldir, agar u zaif normal bo'lsa.^[1]

Agar X va Y mahalliy konveks televizorlariga buyurtma qilinadi va agar ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ ning chegaralangan kichik guruhlari oilasi X, keyin ijobiy konus bo'lsa X a ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ - kirish X va agar ijobiy konus bo'lsa Y normal konusdir Y keyin ijobiy konus ${ displaystyle L _ { mathcal {G}} chap (X; Y o'ng)}$ uchun oddiy konusdir ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ -topologiya ${ displaystyle L chap (X; Y o'ng)}$ .^[4]

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ ^a ^b ^v ^d ^e ^f ^g ^h ^men ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q ^r Schaefer & Wolff 1999 yil, 215-222 betlar.
^ Schaefer & Wolff 1999 yil, 222-225-betlar.
^ ^a ^b Schaefer & Wolff 1999 yil, 225-229 betlar.
^ Schaefer & Wolff 1999 yil, 225-229-betlar.

Shefer, Helmut H.; Volf, Manfred P. (1999). Topologik vektor bo'shliqlari. GTM. 3. Nyu-York, NY: Springer Nyu-York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.CS1 maint: ref = harv (havola)

[FOOTNOTESchaeferWolff1999215–222-1] v ^d ^e ^f ^g ^h ^men ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q ^r Schaefer & Wolff 1999 yil, 215-222 betlar.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999222-225-2] Schaefer & Wolff 1999 yil, 222-225-betlar.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999225–229-3] Schaefer & Wolff 1999 yil, 225-229 betlar.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999225-229-4] Schaefer & Wolff 1999 yil, 225-229-betlar.

[1]

[2]

[3]

[4]

Funktsional tahlil (mavzular – lug'at )
Bo'shliqlar	Hilbert maydoni Banach maydoni Frechet maydoni topologik vektor maydoni
Teoremalar	Xaxn-Banax teoremasi yopiq grafik teoremasi bir xil chegaralanish printsipi Kakutani sobit nuqta teoremasi Kerin-Milman teoremasi min-maks teoremasi Gelfand - Neymar teoremasi Banach-Alaoglu teoremasi
Operatorlar	chegaralangan operator ixcham operator qo'shma operator unitar operator Xilbert-Shmidt operatori iz sinf cheksiz operator
Algebralar	Banach algebra C * - algebra C * algebra spektri operator algebra mahalliy ixcham guruhning guruh algebrasi fon Neyman algebra
Ochiq muammolar	o'zgarmas subspace muammosi Malerning gumoni
Ilovalar	Besov maydoni Qattiq joy oddiy differentsial tenglamalarning spektral nazariyasi issiqlik yadrosi indeks teoremasi variatsiya hisobi funktsional hisob integral operator Jons polinomi topologik kvant maydon nazariyasi noaniq geometriya Riman gipotezasi
Murakkab mavzular	mahalliy qavariq bo'shliq taxminiy xususiyat muvozanatli to'plam Shvarts maydoni zaif topologiya barreli bo'shliq Banax - Mazur masofasi Tomita-Takesaki nazariyasi

Topologik vektor bo'shliqlari tartiblangan
Asosiy tushunchalar	Topologik vektor maydoni tartiblangan Vektorli bo'shliq buyurtma qilingan Qisman buyurtma qilingan joy Riesz maydoni Topologiyani buyurtma qilish Buyurtma birligi Topologik vektor panjarasi Vektorli panjara
Buyurtma turlari / bo'shliqlar	AL-bo'shliq Bo'sh joy Arximed Banax panjarasi Fréchet panjarasi Mahalliy qavariq vektorli panjara Normali panjara Buyurtma dual Ikkala buyurtma Buyurtma tugadi Muntazam ravishda buyurtma qilinadi
Elementlar / pastki to'plamlarning turlari	Band Konusga to'yingan Panjara ajratilgan Ikkita / qutbli konus Oddiy konus Buyurtma tugadi Buyurtma summable Buyurtma birligi Yarim ichki nuqta Qattiq to'plam Zaif buyurtma birligi
Topologiyalar / yaqinlashish	Buyurtma yaqinligi Topologiyani buyurtma qilish
Operatorlar	Ijobiy
Asosiy natijalar	Freydental spektral