Pikard teoremasi - Picard theorem

Yilda kompleks tahlil, Pikardning buyuk teoremasi va Pikardning kichik teoremasi bog'liqdir teoremalar haqida oralig'i ning analitik funktsiya. Ularning nomi berilgan Emil Pikard.

Teoremalar

Exp funktsiyasi uchastkasi (¹⁄_z), muhim birlikka asoslangan z = 0. Nuqtaning tusi z ifodalaydi dalil muddati tugagan (¹⁄_z), yorug'lik uning mutlaq qiymatini anglatadi. Ushbu syujet shuni ko'rsatadiki, o'zboshimchalik bilan birlikka yaqin, barcha nolga teng bo'lmagan qiymatlarga erishiladi.

Kichik Pikard teoremasi: Agar a funktsiya f : C → C bu butun va doimiy bo'lmagan, keyin bu qiymatlar to'plami f(z) butun kompleks tekislik yoki bitta nuqta olib tashlangan tekislik.

Isbot chizmasi: Picardning asl isboti xususiyatlariga asoslangan edi modulli lambda funktsiyasi, odatda $ mathbb {G} $ bilan belgilanadi va u zamonaviy terminologiya yordamida "holomorfik" bajaradi universal qoplama birligi diskida ikki marta teshilgan tekislikning. Ushbu funktsiya aniq nazariyasida tuzilgan elliptik funktsiyalar. Agar f ikkita qiymatni chiqarib tashlaydi, keyin f modul funktsiyasining teskari tomoni bilan shuni anglatadigan birlik disk qismidagi tekislikni xaritalar f tomonidan doimiy Liovil teoremasi.

Ushbu teorema Liovil teoremasining sezilarli darajada mustahkamlanishi bo'lib, unda butun doimiy funktsiya tasviri bo'lishi kerak cheksiz. Keyinchalik Pikard teoremasining turli xil dalillari topildi va Shottki teoremasi uning miqdoriy versiyasidir. Agar qiymatlari qaerda bo'lsa f bitta nuqta etishmayapti, bu nuqta a deb nomlanadi lakunar qiymati funktsiyasi.

Buyuk Pikard teoremasi: Agar analitik funktsiya bo'lsa f bor muhim o'ziga xoslik bir nuqtada w, keyin har qanday narsada teshilgan mahalla ning w, f(z) barcha mumkin bo'lgan murakkab qiymatlarni qabul qiladi, ko'pi bilan bitta istisno, cheksiz tez-tez.

Bu juda muhim kuch Kasoratiy - Veyerstrass teoremasi, bu faqat kafolat beradi f bu zich murakkab tekislikda. Buyuk Pikard teoremasining natijasi shundaki, har qanday butun, ko'p polinom bo'lmagan funktsiya barcha mumkin bo'lgan murakkab qiymatlarga cheksiz tez-tez erishadi, ko'pi bilan bitta istisno bundan mustasno.

Ikkala teoremada ham "bitta istisno" kerak, bu erda ko'rsatilgandek:

e^z hech qachon 0 ga teng bo'lmagan butun doimiy funktsiya,
e^1/z 0da muhim o'ziga xoslikka ega, ammo baribir hech qachon 0 qiymatiga ega bo'lmaydi.

Umumlashtirish va joriy tadqiqotlar

Buyuk Pikard teoremasi bir oz ko'proq umumiy shaklda ham amal qiladi meromorfik funktsiyalar:

Buyuk Pikard teoremasi (meromorfik versiya): Agar M a Riemann yuzasi, w nuqta M, P¹(C) = C ∪ {∞} belgisini bildiradi Riman shar va f : M\{w} → P¹(C) at muhim singularga ega bo'lgan holomorfik funktsiya w, keyin har qanday ochiq pastki qismida M o'z ichiga olgan w, funktsiyasi f(z) eng ko'piga erishadi ikkitasi ning nuqtalari P¹(C) cheksiz tez-tez.

Misol: Meromorfik funktsiya f(z) = 1/(1 − e^1/z) ning muhim o'ziga xosligi bor z = 0 va 0 ning har qanday mahallasida cheksiz tez-tez the qiymatiga erishadi; ammo u 0 yoki 1 qiymatlariga erisha olmaydi.

Ushbu umumlashtirish bilan, Kichik Pikard teoremasi dan kelib chiqadi Buyuk Pikard teoremasi chunki butun funktsiya polinom yoki u cheksizlikda muhim o'ziga xoslikka ega. Kichik teoremada bo'lgani kabi, erishilmagan (ko'pi bilan ikkitasi) nuqtalar funktsiyaning lakunar qiymatlari hisoblanadi.

Quyidagi taxmin "Buyuk Pikard teoremasi" bilan bog'liq:^[1]

Gumon: Ruxsat bering {U₁, ..., U_n} ning ochiq bog'langan pastki to'plamlari to'plami bo'lishi mumkin C bu qopqoq teshilgan birlik disk D. {0}. Aytaylik, har birida U_j bor in'ektsion holomorfik funktsiya f_j, shunday qilib df_j = df_k har bir chorrahada U_j ∩ U_k. Keyin differentsiallar bir-biriga yopishadi meromorfik 1-shakl kuni D..

Differentsial holomorfik 1-shaklga yopishganligi aniq g dz kuni D. {0}. Maxsus holatda qoldiq ning g 0 da nolga teng gipoteza "Buyuk Pikard teoremasi" dan kelib chiqadi.

Izohlar

^ Elsner, B. (1999). "Giperelliptik ta'sir integrali" (PDF). Annales de l'Institut Fourier. 49 (1): 303–331. doi:10.5802 / aif.1675.

Adabiyotlar

Konvey, Jon B. (1978). Bitta kompleks o'zgaruvchining vazifalari I (2-nashr). Springer. ISBN 0-387-90328-3.
Shurman, Jerri. "Pikard teoremasi eskizi" (PDF). Olingan 2010-05-18.

[1] Elsner, B. (1999). "Giperelliptik ta'sir integrali" (PDF). Annales de l'Institut Fourier. 49 (1): 303–331. doi:10.5802 / aif.1675.

[1]