Gomotopiyaga qadar vakillik - Representation up to homotopy

Bu maqola bu yetim, boshqa maqolalar singari unga havola. Iltimos havolalar bilan tanishtirish dan ushbu sahifaga tegishli maqolalar; harakat qilib ko'ring Havola vositasini toping takliflar uchun. (2011 yil oktyabr)

A Gomotopiyaga qadar vakillik bir nechta ma'nolarga ega. Eng qadimiylaridan biri cheklangan Hamilton tizimlarining "jismoniy" kontekstida paydo bo'lgan. Muhim g'oya - bu vakolatxonani a ga ko'tarish kuchli homotopiyaga qadar vakillik kontseptsiya sifatida differentsial geometriya, bu tushunchani umumlashtiradi Lie algebrasini aks ettirish ga Yolg'on algeroidlar va nodavlat vektorli to'plamlar. Shunday qilib, uni Abad va Crainic.^[1]

Motivatsiya sifatida muntazam Lie algebroidini ko'rib chiqing (A,r, [.,.]) (langar degan doimiy ma'no r doimiy darajaga ega), bu erda biz ikkita tabiiyga egamiz A-ulanishlar kuni g(A) = kerr va ν(A)= TM/ imr mos ravishda:

${ displaystyle nabla colon Gamma (A) times Gamma ({ mathfrak {g}} (A)) to Gamma ({ mathfrak {g}} (A)): nabla _ { ! phi ,} psi: = [ phi, psi],}$

${ displaystyle nabla colon Gamma (A) times Gamma ( nu (A)) to Gamma ( nu (A)): nabla _ {! phi ,} { overline { X}}: = { overline {[ rho ( phi), X]}}.}$

In deformatsiya nazariyasi Lie algebroid A uzoq aniq ketma-ketlik mavjud^[2]

${ displaystyle dots to H ^ {n} (A, { mathfrak {g}} (A)) to H_ {def} ^ {n} (A) to H ^ {n-1} (A) , nu (A)) to H ^ {n-1} (A, { mathfrak {g}} (A)) to dots}$

Bu shuni ko'rsatadiki, deformatsiyalar uchun to'g'ri kohomologiya (bu erda quyidagicha ko'rsatilgan) H_def) ikkita modulning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisidan kelib chiqadi g(A) va ν(A) va chaqirilishi kerak qo'shma vakillik. Shunga qaramay, umumiy vaziyatda qaerda ekanligiga e'tibor bering r doimiy darajaga ega emas, biz vakilliklarni osongina aniqlay olmaymiz g(A) va ν(A). Buning o'rniga biz 2-muddatli kompleksni ko'rib chiqishimiz kerak A→TM va uning vakili. Bu erda tushuntirilgan tushunchaga olib keladi.

Ta'rif

Ruxsat bering (A,r, [.,.]) silliq ko'p qirrali aliebroid bo'ling M va ruxsat bering let (A) uning Lie algebroid kompleksini bildiradi. Yana davom eting E vector gradusli vektor to'plami bo'ling M va Ω (A,E) = Ω (A⊗ Γ (E) ℤ darajali bo'ling A- qiymatlari bo'lgan zanjirlar E. Ning homotopiyasigacha bo'lgan vakili A kuni E - differentsial operator D. bu xaritalar

${ displaystyle D colon Omega ^ { bullet} (A, E) to Omega ^ { bullet +1} (A, E),}$

Leybnits qoidasini bajaradi

${ displaystyle D ( alpha wedge beta) = (D alpha) wedge beta + (- 1) ^ {| alfa |} alfa wedge (D beta),}$

va kvadratchalar nolga, ya'ni. D.² = 0.

Homotopiya operatorlari

Yuqorida keltirilgan homotopiyaga qadar namoyish quyidagi ma'lumotlarga teng

• 1-darajali operator ∂: E → E kvadratlar 0 ga,
• an A- ulanish ∇ yoqilgan E kabi mos keladi ${ displaystyle nabla circ kısalt = qisman circ nabla}$,
• oxiri (E) baholanadi A-2-shakl ω₂ umumiy daraja 1, shunday qilib egrilik bajariladi ${ displaystyle kısalt omega _ {2} + R _ { nabla} = 0,}$
• Oxiri(E) baholanadi A-p- shakllar ω_p homotopiya munosabatlarini bajaradigan umumiy darajadagi 1….

Yozishmalar quyidagicha tavsiflanadi

${ displaystyle D = kısmi + nabla + omega _ {2} + omega _ {3} + cdots. ,}$

Gomomorfizmlar

Gomotopiyaga qadar vakillar orasidagi homomorfizm (E,D._E) va (F,D._F) o'sha Lie algebroididan A 0 darajali xarita Φ: Ω (A,E) → Ω (A,F) bu differentsiallar bilan harakat qiladi, ya'ni.

${ displaystyle D_ {E} circ Phi = Phi circ D_ {E}. ,}$

An izomorfizm endi qaytarib bo'lmaydigan homomorfizmdir Rep^∞ homomorfizmlarning ekvivalentlik sinflari bilan birgalikda homotopiyaga qadar tasvirlarning ekvivalentlik sinflari toifasi.

Ning yuqoridagi parchalanish ma'nosida D. ch kokain xaritasi, ulanish ∇ va undan yuqori homotopiyalarga biz ham Φ ni Φ sifatida ajratishimiz mumkin₀ + Φ₁ + ... bilan

${ displaystyle Phi _ {i} in Omega ^ {i} (A, mathrm {Hom} ^ {- i} (E, F))}$

va keyin moslik holati o'qiladi

${ displaystyle kısalt Phi _ {n} + d _ { nabla} ( Phi _ {n-1}) + [ omega _ {2}, Phi _ {n-2}] + cdots + [ omega _ {n}, Phi _ {0}] = 0.}$

Misollar

Masalan, Lie algeroidlari yoki aniqrog'i Lie algebralarining, ya'ni modullarning odatiy tasvirlari.

Yana bir misol p-form ω_p bilan birga E = M × ℝ [0] ⊕ ℝ [p] va operator D. = ∇ + ω_p bu erda ∇ - ahamiyatsiz to'plamdagi tekis ulanishM × ℝ.

Sifatida homotopiyaga qadar berilgan D. = ∂ + ∇ + ω₂ + ... biz konjugatsiya orqali homotopiyaga qadar yangi vakillik qurishimiz mumkin, ya'ni.

D. = ∂ − ∇ + ω₂ − ω₃ + −….

Qo'shma vakillik

Lie algebroidi berilgan (A,r, [.,.]) uning vektor to'plamidagi a ulanish bilan birgalikda ikkita bog'liqlikni aniqlay olamiz A-birikmalar quyidagicha^[3]

${ displaystyle nabla _ {! phi ,} ^ {bas} psi: = [ phi, psi] + nabla _ {! rho ( psi) ,} phi,}$

${ displaystyle nabla _ {! phi ,} ^ {bas} X: = [ rho ( phi), X] + rho ( nabla _ {! X ,} phi).}$

Bundan tashqari, biz aralash egrilikni quyidagicha tanishtirishimiz mumkin

${ displaystyle R ^ {bas} ( phi, psi) (X): = nabla _ {! X ,} [ phi, psi] - [ nabla _ {! X ,} phi, psi] - [ phi, nabla _ {! X ,} psi] - nabla _ {! nabla _ {! psi ,} ^ {bas} X ,} phi + nabla _ {! nabla _ {! psi ,} ^ {bas} X ,} phi.}$

Ushbu egrilik Lie braketining ulanish bilan mosligini o'lchaydi va ikkita shartdan biridir A bilan birga TM shakllantirish mos juftlik Lie algebroidlari.

Birinchi kuzatuv shuki, bu atama langar xaritasi bilan bezatilgan r, shunga ko'ra ikkala bog'lanishning egriligini ifodalaydi ∇^bosh. Ikkinchidan, biz barcha uchta ingredientlarni homotopiyaga qadar quyidagicha moslashtirishimiz mumkin:

${ displaystyle D = rho + nabla ^ {bas} + R ^ {bas}.}$

Yana bir kuzatuv shundan iboratki, natijada gomotopiyaga qadar namoyish tanlangan ulanishdan mustaqil bo'ladi, asosan, ikkalasi orasidagi farq A- ulanishlar (A - End (1) qiymatlari bilan form (E).

Adabiyotlar