Schurs lemma (Riemann geometriyasi) - Schurs lemma (Riemannian geometry)

Yilda Riemann geometriyasi, Shur lemmasi natijasi, evristik jihatdan, har qanday egriliklar aniq yo'nalishda doimiy bo'lganda, ular global miqyosda doimiy bo'lishga majbur bo'ladi. Dalil aslida bir bosqichli hisob-kitob bo'lib, unda faqat bitta kirish mavjud: ikkinchi Byanki identifikatori.

Ricci tensori uchun Schur lemmasi

Aytaylik $(M, g)$ silliq Riemann manifoldu o'lchov bilan $n$ . Eslatib o'tamiz, bu har bir element uchun belgilanadi $p$ ning $M$ :

The kesma egriligi, bu har ikki o'lchovli chiziqli pastki maydonga belgilanadi $V$ ning $T p M$ haqiqiy raqam $soniya p (V)$
The Riemann egriligi tensori, bu ko'p qirrali xarita $Rm p : T p M \times T p M \times T p M \times T p M \to ℝ$
The Ricci egriligi, bu nosimmetrik bilinear xarita $Rik p : T p M \times T p M \to ℝ$
The skalar egriligi, bu haqiqiy raqam $R p$

Schur lemma quyidagilarni ta'kidlaydi:

Aytaylik $n$ ikkiga teng emas. Agar funktsiya mavjud bo'lsa $M$ shu kabi $Rik p = κ (p) g p$ Barcha uchun $p$ yilda $M$ keyin $dκ = 0.$ Bunga teng ravishda $ mathbb {L} $ har bir bog'langan komponentda doimiydir $M$ ; ning har bir bog'langan komponenti ekanligini tasdiqlovchi sifatida ifodalash mumkin $M$ bu Eynshteyn kollektori.

Schur lemma - bu "ikki marta shartnoma tuzilgan soniyaning" oddiy natijasidir Byankining o'ziga xosligi, "deb ta'kidlaydi

{ displaystyle operatorname {div} _ {g} operatorname {Ric} = { frac {1} {2}} dR.}

silliq 1-shakllarning tengligi sifatida tushuniladi $M$ . Berilgan shartda almashtirish $Rik p = κ (p) g p$ , buni topadi ${ displaystyle textstyle d kappa = { frac {n} {2}} d kappa.}$

Taxminlarning muqobil formulalari

Ruxsat bering $B$ ustida nosimmetrik bilinear shakl bo'lishi $n$ -o'lchovli ichki mahsulot maydoni $(V, g)$ . Keyin

{ displaystyle | B | _ {g} ^ {2} = { Big |} B - { frac {1} {n}} ( operatorname {tr} ^ {g} B) g { Big |} _ {g} ^ {2} + { frac {1} {n}} ( operator nomi {tr} ^ {g} B) ^ {2}.}

Bundan tashqari, agar shunday bo'lsa, e'tibor bering $B = κ g$ ba'zi bir κ raqamlari uchun avtomatik ravishda bitta bo'ladi $b = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} 1 / n tr g B$ . Ushbu kuzatishlarni hisobga olgan holda Schur lemmasini quyidagi shaklda takrorlash mumkin:

Ruxsat bering $(M, g)$ o'lchovi ikkiga teng bo'lmagan bog'langan silliq Riemann kollektori bo'ling. Keyin quyidagilar teng:
Κ funktsiyasi mavjud $M$ shu kabi $Rik p = κ (p) g p$ Barcha uchun $p$ yilda $M$
Bunday raqam mavjud that $Rik p = κ g p$ Barcha uchun $p$ yilda $M$ , ya'ni $(M, g)$ Eynshteyn
Bittasi bor $Rik p = 1 / n R p g p$ Barcha uchun $p$ yilda $M$ , ya'ni izsiz Ricci tensori nolga teng
${ displaystyle | operatorname {Ric} | _ {g} ^ {2} = textstyle { frac {1} {n}} R ^ {2}}$
${ displaystyle | operator nomi {Ric} | _ {g} ^ {2} leq textstyle { frac {1} {n}} R ^ {2}.}$
Agar $(M, g)$ bog'langan silliq psevdo-Riemann kollektoridir, keyin dastlabki uchta shart tengdir va ular to'rtinchi shartni nazarda tutadi.

E'tibor bering, o'lchovli cheklash muhim, chunki doimiy egrilikka ega bo'lmagan har ikki o'lchovli Riemann manifoldu qarshi misol bo'ladi.

Riman tensori uchun Schur lemmasi

Quyida Ricci tensori uchun Schur lemmasining darhol xulosasi keltirilgan.

Ruxsat bering ${ displaystyle (M, g)}$ o'lchamlari bir-biriga bog'langan silliq Riemann manifoldu bo'ling $n$ ikkiga teng emas. Keyin quyidagilar teng:
Κ funktsiyasi mavjud $M$ shu kabi $soniya p (V) = κ (p)$ Barcha uchun $p$ yilda $M$ va barcha ikki o'lchovli chiziqli pastki bo'shliqlar $V$ ning $T p M$
Bunday raqam mavjud that $soniya p (V) = κ$ Barcha uchun $p$ yilda $M$ va barcha ikki o'lchovli chiziqli pastki bo'shliqlar $V$ ning $T p M$ , ya'ni $(M, g)$ doimiy egrilikka ega
$soniya p (V) = 1 / n (n -1) R p$ Barcha uchun $p$ yilda $M$ va barcha ikki o'lchovli chiziqli pastki bo'shliqlar $V$ ning $T p M$
${ displaystyle | operator nomi {Rm} _ {p} | _ {g} ^ {2} = textstyle { frac {2} {n (n-1)}} R_ {p} ^ {2}}$ Barcha uchun $p$ yilda $M$
Riman tensorining Veyl egriligi va yarim izsiz qismi yig'indisi nolga teng
Veyl egriligi ham, Riman tensorining yarim izsiz qismi ham nolga teng

Codazzi tensorlari uchun Schur lemmasi

Ruxsat bering $(M, g)$ silliq Riemann yoki psevdo-Riemann o'lchovli manifoldu bo'ling $n$ . Ruxsat bering $h$ u Levi-Civita aloqasiga nisbatan kovariant hosilasi to'liq nosimmetrik (0,2) -tensorli maydon. Simmetriya holati ning analogidir Byankining o'ziga xosligi; o'xshashlikni davom ettirish, buni topish uchun iz oladi

{ displaystyle operator nomi {div} ^ {g} h = d { big (} operator nomi {tr} ^ {g} h { big)}.}

Agar funktsiya mavjud bo'lsa $M$ shu kabi $h p = κ (p) g p$ Barcha uchun $p$ yilda $M$ , keyin almashtirishdan keyin topiladi

{ displaystyle d kappa = n cdot d kappa.}

Shuning uchun $n > 1$ ning har bir bog'langan komponentida $ Delta $ doimiy ekanligini anglatadi $M$ . Yuqorida aytib o'tilganidek, Schur lemmasini ushbu kontekstda aytish mumkin:

Ruxsat bering $(M, g)$ o'lchamlari teng bo'lmagan, bog'langan silliq Riemann manifoldu bo'ling. Ruxsat bering $h$ kovariant hosilasi (0,3) -tensor maydoni sifatida to'liq nosimmetrik bo'lgan silliq simmetrik (0,2) -tensor maydoni bo'ling. Keyin quyidagilar teng:
funktsiya mavjud $M$ shu kabi $h p = κ (p) g p$ Barcha uchun $p$ yilda $M$
κ shunday raqam bor $h p = κ g p$ Barcha uchun $p$ yilda $M$
$h p = 1 / n (tr.) g h p) g p$ Barcha uchun $p$ yilda $M$ , ya'ni izsiz shakli $h$ nolga teng
${ displaystyle | h_ {p} | _ {g} ^ {2} = textstyle { frac {1} {n}} ( operator nomi {tr} ^ {g} h_ {p}) ^ {2}}$ Barcha uchun $p$ yilda $M$
${ displaystyle | h_ {p} | _ {g} ^ {2} leq textstyle { frac {1} {n}} ( operator nomi {tr} ^ {g} h_ {p}) ^ {2} }$ Barcha uchun $p$ yilda $M$
Agar $(M, g)$ - bu bog'langan va silliq psevdo-Riemann manifoldu, keyin dastlabki uchtasi ekvivalent bo'lib, to'rtinchi va beshinchisini nazarda tutadi.

Ilovalar

Shur lemmalar geometrik jismlarning yumaloqligini isbotlash uchun tez-tez ishlatiladi. Diqqatga sazovor misol - konvergent chegaralarini tavsiflash geometrik oqimlar.

Masalan, ning asosiy qismi Richard Xemilton Ricci oqimidagi 1982 yildagi yutuq^[1] uning "chimchilab baholashi" edi, unda norasmiy ravishda aytilganidek, 3-qirrali Ricci oqimida paydo bo'lgan Riemen metrikasi uchun ijobiy Ricci egriligi bilan Ricci tensorining o'ziga xos qiymatlari ularning yig'indisi kattaligiga nisbatan bir-biriga yaqin. Agar yig'indini normallashtiradigan bo'lsa, unda asl qiymatlar mutlaq ma'noda bir-biriga yaqin. Shu ma'noda, 3-o'lchovli Ricci egri chiziqli "taxminan" 3-qirrali Ricci oqimida paydo bo'ladigan har bir o'lchov Shur lemmasining shartlarini qondiradi. Schur lemmasining o'zi aniq qo'llanilmaydi, ammo uning isboti Hamiltonning hisob-kitoblari orqali samarali amalga oshiriladi.

Xuddi shu tarzda, Rimman tensori uchun Schur lemmasi ham Ricci oqimining yuqori o'lchamlarda yaqinlashishini o'rganish uchun ishlatiladi. Bu qaytib keladi Gerxard Xyusken Xemilton ishini yuqori o'lchamlarga kengaytirish,^[2] bu erda ishning asosiy qismi Veyl tenzori va yarim izsiz Rimann tensori uzoq vaqt chegarasida nolga aylanadi. Bu umumiy Ricci oqimining konvergentsiya teoremalariga to'g'ri keladi, ularning ba'zi ekspozitsiyalari to'g'ridan-to'g'ri Schur lemmasidan foydalanadi.^[3] Bunga farqlanadigan soha teoremasi.

Codazzi tensorlari uchun Schur lemmasi to'g'ridan-to'g'ri Xuyskenning konvergentsiya haqidagi asosiy ishida qo'llaniladi. egrilik oqimi degani Hamilton ijodi asosida yaratilgan.^[4] Xyussenning qog'ozidagi so'nggi ikkita jumlaga, uning bir tekis joylashtirilganligi haqida xulosa qilingan ${ displaystyle S ^ {n} to mathbb {R} ^ {n + 1}}$ bilan

{ displaystyle | h | ^ {2} = { frac {1} {n}} H ^ {2},}

qayerda ${ displaystyle h}$ bu ikkinchi asosiy shakl va ${ displaystyle H}$ o'rtacha egrilik. Schur lemmasi shuni anglatadiki, o'rtacha egrilik doimiy va shu sababli uning joylashuvi standart dumaloq shar bo'lishi kerak.

Boshqa dastur to'liq izotropiya va egrilik bilan bog'liq. Aytaylik ${ displaystyle (M, g)}$ uch marta farqlanadigan Riemann manifoldu va bu har biri uchun ${ displaystyle p in M}$ izometriya guruhi ${ displaystyle operatorname {Isom} (M, g)}$ vaqtincha harakat qiladi ${ displaystyle T_ {p} M.}$ Bu degani hamma uchun ${ displaystyle p in M}$ va barchasi ${ displaystyle v, w in T_ {p} M}$ izometriya mavjud ${ displaystyle varphi: (M, g) dan (M, g)}$ shu kabi ${ displaystyle varphi (p) = p}$ va ${ displaystyle d varphi _ {p} (v) = w.}$ Bu shuni anglatadiki ${ displaystyle operatorname {Isom} (M, g)}$ shuningdek, tranzitiv harakat qiladi ${ displaystyle { text {Gr}} (2, T_ {p} M),}$ ya'ni har bir kishi uchun ${ displaystyle P, Q in { text {Gr}} (2, T_ {p} M)}$ izometriya mavjud ${ displaystyle varphi: (M, g) dan (M, g)}$ shu kabi ${ displaystyle varphi (p) = p}$ va ${ displaystyle d varphi _ {p} (P) = Q.}$ Izometrlar kesmaning egriligini saqlaganligi sababli, bu shuni anglatadi ${ displaystyle operator nomi {sek} _ {p}}$ har biri uchun doimiydir ${ displaystyle p in M.}$ Schur lemma shuni nazarda tutadi ${ displaystyle (M, g)}$ doimiy egrilikka ega. Buning ayniqsa e'tiborga loyiq qo'llanilishi shu har qanday bo'sh vaqt qaysi modellar kosmologik printsip intervalli va doimiy egrilik Rimanning ko'p qirrali hosilasi bo'lishi kerak. O'Neillga qarang (1983, 341 bet).

Barqarorlik

Yaqinda o'tkazilgan tadqiqotlar Shur lemmasining shartlari deyarli qondirilganligini tekshirdi.

Schur lemmasini "Agar izsiz Ricci tensori nolga teng bo'lsa, u holda skalar egriligi doimiy bo'ladi" shaklida ko'rib chiqing. Camillo De Lellis va Piter tepasi^[5] agar izsiz Ricci tensori taxminan nolga teng bo'lsa, u holda skalar egriligi taxminan doimiy bo'ladi. Aniq:

Aytaylik ${ displaystyle (M, g)}$ negativ bo'lmagan Ricci egrilik va o'lchovli yopiq Riemann manifolduridir ${ displaystyle n geq 3.}$ Keyin, qaerda ${ displaystyle { overline {R}}}$ skalar egrilikning o'rtacha qiymatini bildiradi

{ displaystyle int _ {M} (R - { overline {R}}) ^ {2} , d mu _ {g} leq { frac {4n (n-1)} {(n- 2) ^ {2}}} int _ {M} { Big |} operator nomi {Ric} - { frac {1} {n}} Rg { Big |} _ {g} ^ {2} , d mu _ {g}.}

Keyin Shur lemmasini maxsus shaklda ko'rib chiqing "Agar ${ displaystyle Sigma}$ - bu bog'langan ko'milgan sirt ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ uning izsiz ikkinchi fundamental shakli nolga teng, demak uning o'rtacha egriligi doimiydir. " Camillo De Lellis va Stefan Myuller^[6] Agar ixcham yuzaning izsiz ikkinchi fundamental shakli taxminan nolga teng bo'lsa, o'rtacha egrilik taxminan doimiy bo'ladi. Aniq

raqam bor ${ displaystyle C}$ har qanday silliq ixcham bog'langan ko'milgan sirt uchun ${ displaystyle Sigma subset mathbb {R} ^ {3},}$ bittasi bor

{ displaystyle int _ { Sigma} (H - { overline {H}}) ^ {2} , d mu _ {g} leq C int _ { Sigma} { Big |} h - { frac {1} {2}} Hg { Big |} _ {g} ^ {2} , d mu _ {g},}

qayerda

{ displaystyle h}

ikkinchi asosiy shakl,

{ displaystyle g}

indüklenen metrik va

{ displaystyle H}

o'rtacha egrilik

{ displaystyle operatorname {tr} _ {g} h.}

Ariza sifatida, shunday xulosaga kelish mumkin ${ displaystyle Sigma}$ o'zi yumaloq sharga "yaqin".

Adabiyotlar

^ Xemilton, Richard S. (1982). "Ijobiy Ricci egriligiga ega uch manifold". J. Differentsial geometriya. 17 (2): 255–306.
^ Xyuzken, Gerxard (1985). "Riemann manifoldidagi metrikaning Ricci deformatsiyasi". J. Diferensial Geom. 21 (1): 47–62.
^ Bohm, Kristof; Uilking, Burxard (2008). "Ijobiy egrilik operatorlariga ega bo'lgan manifoldlar - bu bo'shliq shakllari". Ann. matematikadan. (2). 167 (3): 1079–1097.
^ Xyuzken, Gerxard (1984). "Sharsimon qavariq yuzalarning egriligi bo'yicha oqim". J. Diferensial Geom. 20 (1): 237–266.
^ De Lellis, Kamillo; Tepalik, Piter M. (2012). "Deyarli-Shur lemmasi". Kaltsiy. Var. Qisman differentsial tenglamalar. 443 (3–44): 347–354.
^ De Lellis, Kamillo; Myuller, Stefan (2005). "Deyarli kindik yuzalar uchun optimal qat'iylik ko'rsatkichlari". J. Diferensial Geom. 69 (1): 75–110.

Shoshichi Kobayashi va Katsumi Nomizu. Differentsial geometriya asoslari. Vol. I. Interscience Publishers, John Wiley & Sons bo'limi, Nyu-York-London 1963 xi + 329 pp.
Barret O'Nil. Yarim Riman geometriyasi. Nisbiylik uchun qo'llanmalar bilan. Sof va amaliy matematik, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Nyu-York, 1983. xiii + 468 pp. ISBN 0-12-526740-1

[1] Xemilton, Richard S. (1982). "Ijobiy Ricci egriligiga ega uch manifold". J. Differentsial geometriya. 17 (2): 255–306.

[2] Xyuzken, Gerxard (1985). "Riemann manifoldidagi metrikaning Ricci deformatsiyasi". J. Diferensial Geom. 21 (1): 47–62.

[3] Bohm, Kristof; Uilking, Burxard (2008). "Ijobiy egrilik operatorlariga ega bo'lgan manifoldlar - bu bo'shliq shakllari". Ann. matematikadan. (2). 167 (3): 1079–1097.

[4] Xyuzken, Gerxard (1984). "Sharsimon qavariq yuzalarning egriligi bo'yicha oqim". J. Diferensial Geom. 20 (1): 237–266.

[5] De Lellis, Kamillo; Tepalik, Piter M. (2012). "Deyarli-Shur lemmasi". Kaltsiy. Var. Qisman differentsial tenglamalar. 443 (3–44): 347–354.

[6] De Lellis, Kamillo; Myuller, Stefan (2005). "Deyarli kindik yuzalar uchun optimal qat'iylik ko'rsatkichlari". J. Diferensial Geom. 69 (1): 75–110.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]