Sierpíski gilamchasi - Sierpiński carpet

"Sierpinski snowflake" bu erga yo'naltiradi. Boshqa maqsadlar uchun qarang Sierpinski egri chizig'i.
Sierpinski gilamining 6 pog'onasi.

The Sierpińskiy gilamchasi samolyot fraktal birinchi tomonidan tasvirlangan Vatslav Sierpinskiy 1916 yilda. gilam Kantor o'rnatilgan ikki o'lchovga; boshqasi Kantor kukuni.

Ning texnikasi shaklni kichik nusxalariga ajratish, bir yoki bir nechta nusxasini olib tashlash va davom ettirish rekursiv boshqa shakllarga kengaytirilishi mumkin. Masalan, teng qirrali uchburchakni to'rtta teng qirrali uchburchakka bo'lish, o'rtadagi uchburchakni olib tashlash va rekursiya qilish Sierpińskki uchburchagi. Uch o'lchovda, kublarga asoslangan shunga o'xshash qurilish Menger shimgich.

Qurilish

Sierpískki gilamining qurilishi a bilan boshlanadi kvadrat. Kvadrat 9 ga kesilgan uyg'un 3 dan 3 gacha bo'lgan katakchada kvadratlar va markaziy subkvare olib tashlanadi. Keyin xuddi shu protsedura qo'llaniladi rekursiv qolgan 8 ta pastki maydonga, reklama infinitum. Uchlik bazasida yozilgan koordinatalari ikkalasi ham bir xil holatda '1' raqamiga ega bo'lmagan birlik kvadratidagi nuqtalar to'plami sifatida amalga oshirilishi mumkin.[1]

Kvadratlarni rekursiv ravishda olib tashlash jarayoni a ga misoldir cheklangan bo'linish qoidasi.

Sierpinski gilamchasi 1.svg Sierpinski gilamchasi 2.svg Sierpinski gilamchasi 3.svg Sierpinski gilamchasi 4.svg Sierpinski gilamchasi 5.svg Sierpinski gilamchasi 6.svg

Xususiyatlari

Variant Peano egri chizig'i O'rtacha chiziq o'chirilsa, Sierpískki gilamchasi hosil bo'ladi

Gilamning maydoni nolga teng (standart bo'yicha) Lebesg o'lchovi ).

Isbot: Sifatida belgilang amen takrorlanish maydoni men. Keyin amen + 1 = 8/9amen. Shunday qilib amen = (8/9)men, bu 0 ga teng men cheksizlikka boradi.

The ichki makon gilam bo'sh.

Isbot: Qarama-qarshilik bilan biron bir nuqta bor deylik P gilamning ichki qismida Keyin markazlashtirilgan kvadrat mavjud P u butunlay gilamchada joylashgan. Ushbu kvadrat koordinatalari ko'paytma bo'lgan kichikroq kvadratni o'z ichiga oladi 1/3k kimdir uchun k. Ammo, bu kvadrat takrorlanishda joylashgan bo'lishi kerak k, shuning uchun uni gilamda saqlash mumkin emas - ziddiyat.

The Hausdorff o'lchovi gilam log 8/log 3 ≈ 1.8928.[2]

Sierpíski o'zining gilamchasi universal tekislik egri ekanligini namoyish etdi.[3] Ya'ni: Sierpinski gilamchasi samolyotning ixcham pastki qismidir Lebesgue o'lchovi 1 va bu xususiyatlarga ega bo'lgan tekislikning har bir kichik qismi gomeomorfik Sierpískki gilamining ba'zi bir qismiga.

Sierpískki gilamining ushbu "universalligi" toifalar nazariyasi ma'nosida haqiqiy universal xususiyat emas: u bu joyni gomomorfizmgacha o'ziga xos xususiyatga ega emas. Masalan, Sierpinskiy gilamchasi va aylananing ajralgan birlashishi ham universal tekislik egri chizig'idir. Biroq, 1958 yilda Gordon Whyburn[4] Serpiski gilamini quyidagicha o'ziga xos xususiyati bor: har qanday egri chiziq mahalliy ulangan Sierpinski gilamining gomomorfik xususiyatiga ega "mahalliy chegara" yo'q. Bu erda a mahalliy chegara nuqta p buning uchun ba'zi bir qo'shni mahalla U ning p xususiyatiga ega U − {p} ulanmagan. Masalan, aylananing istalgan nuqtasi mahalliy kesim nuqtasidir.

Xuddi shu maqolada Whyburn Sierpískiy gilamining yana bir tavsifini berdi. Eslatib o'tamiz a doimiylik bo'sh bo'lmagan ixcham metrik maydon. Aytaylik X samolyotga o'rnatilgan doimiylikdir. Faraz qilaylik, uning tekislikda to'ldiruvchisi juda ko'p bog'langan komponentlarga ega C1, C2, C3, ... va taxmin qiling:

  • ning diametri Cmen kabi nolga boradi men → ∞;
  • chegarasi Cmen va chegarasi Cj agar bo'linmasa men ≠ j;
  • chegarasi Cmen har biri uchun oddiy yopiq egri chiziq men;
  • to'plamlar chegaralarining birlashishi Cmen zich X.

Keyin X Sierpískki gilamiga xos bo'lgan gomomorfdir.

Sierpískki gilamida braun harakati

Mavzusi Braun harakati Sierpíski gilamiga so'nggi yillarda qiziqish uyg'otdi.[5] Martin Barlou va Richard Bass shuni ko'rsatdiki, a tasodifiy yurish Sierpíski gilamchasida samolyotda cheklanmagan tasodifiy yurishdan ko'ra sekinroq tarqaladi. Ikkinchisi mutanosib o'rtacha masofaga etadi √n keyin n Sierpiński gilamchasida tasodifiy yurish faqat o'rtacha proportsional masofaga etadi β√n kimdir uchun β > 2. Ular, shuningdek, ushbu tasodifiy yurish kuchliroq qondirishini ko'rsatdilar katta og'ish tengsizliklar ("sub-Gauss tengsizliklari" deb nomlanadi) va u elliptikni qondiradi Harnack tengsizligi parabolikani qondirmasdan. Bunday misolning mavjudligi ko'p yillar davomida ochiq muammo edi.

Uollis elagi

Wallis elagining uchinchi takrorlanishi

Sierpískki gilamining "." Deb nomlangan o'zgarishi Uollis elagi, xuddi shu tarzda, birlik kvadratini to'qqizta kichik kvadratchalarga ajratish va ularning o'rtasini olib tashlash bilan boshlanadi. Bo'linishning keyingi darajasida u kvadratlarning har birini 25 ta kichik kvadratlarga ajratadi va o'rtasini olib tashlaydi va u davom etadi menhar bir kvadratni bo'linish orqali th qadam (2men + 1)2 (the toq kvadratchalar[6]) kichikroq kvadratchalar va o'rtasini olib tashlash.

Tomonidan Wallis mahsuloti, natijada olingan to'plamning maydoni π/4,[7][8] standart Sierpiński gilamidan farqli o'laroq, u nolga teng cheklov maydoniga ega.

Ammo, yuqorida aytib o'tilgan Whyburn natijalariga ko'ra, Wallis elagi Sierpiski gilamiga nisbatan gomomorf bo'lganligini ko'rishimiz mumkin. Xususan, uning ichki qismi hali ham bo'sh.

Ilovalar

Mobil telefon va Wi-fi fraktal antennalar Sierpískki gilamining ozgina takrorlanishi shaklida ishlab chiqarilgan. O'zlariga o'xshashlik va ko'lamning o'zgarmasligi tufayli ular bir nechta chastotalarni osongina joylashtiradilar. Bundan tashqari, ularni ishlab chiqarish oson va shunga o'xshash an'anaviy antennalarga qaraganda kichikroq, shuning uchun cho'ntak o'lchamidagi mobil telefonlar uchun maqbuldir.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

  1. ^ Alloush, Jan-Pol; Shallit, Jefri (2003). Avtomatik ketma-ketliklar: nazariya, qo'llanmalar, umumlashtirish. Kembrij universiteti matbuoti. pp.405 –406. ISBN  978-0-521-82332-6. Zbl  1086.11015.
  2. ^ Semmes, Stiven (2001). Fraktal geometriyaning ayrim roman turlari. Oksford matematik monografiyalari. Oksford universiteti matbuoti. p. 31. ISBN  0-19-850806-9. Zbl  0970.28001.
  3. ^ Sierpinskiy, Vatslav (1916). "Sur une courbe cantorienne qui contient une image ununivoque et et davom ettirishni davom ettirish". C. R. Akad. Ilmiy ish. Parij (frantsuz tilida). 162: 629–632. ISSN  0001-4036. JFM  46.0295.02.
  4. ^ Whyburn, Gordon (1958). "Sierpinski egri chizig'ining topologik xkrakterizatsiyasi". Jamg'arma. Matematika. 45: 320–324. doi:10.4064 / fm-45-1-320-324.
  5. ^ Barlow, Martin; Bass, Richard, Sierpískki gilamchalarida braun harakati va garmonik tahlil (PDF)
  6. ^ Sloan, N. J. A. (tahrir). "A016754 ketma-ketligi (g'alati kvadratlar: a (n) = (2n + 1) ^ 2. Shuningdek, markazlashtirilgan sakkizburchak raqamlar.)". The Butun sonlar ketma-ketligining on-layn ensiklopediyasi. OEIS Foundation.
  7. ^ Rummler, Xansklaus (1993). "Dumaloqni teshiklari bilan kvadratga solish". Amerika matematikasi oyligi. 100 (9): 858–860. doi:10.2307/2324662. JSTOR  2324662. JANOB  1247533.
  8. ^ Vayshteyn, Erik V. "Uollis elagi". MathWorld.

Tashqi havolalar