Tengsizlikni kuzatib borish - Trace inequality

Yilda matematika, ko'p turlari mavjud tengsizlik jalb qilish matritsalar va chiziqli operatorlar kuni Hilbert bo'shliqlari. Ushbu maqola bilan bog'liq ba'zi bir muhim operator tengsizliklarini o'z ichiga oladi izlar matritsalar.^[1][2][3][4]

Asosiy ta'riflar

Ruxsat bering H_n maydonini bildiring Hermitiyalik n×n matritsalar, H_n⁺ dan iborat to'plamni belgilang ijobiy yarim aniq n×n Ermit matritsalari va H_n⁺⁺ to'plamini belgilang ijobiy aniq Hermitian matritsalari. Cheksiz o'lchovli Hilbert fazosidagi operatorlar uchun biz ular bo'lishini talab qilamiz iz sinf va o'zini o'zi bog'laydigan, bu holda shunga o'xshash ta'riflar qo'llaniladi, ammo soddaligi uchun faqat matritsalarni muhokama qilamiz.

Haqiqiy qiymatga ega har qanday funktsiya uchun f oraliqda Men ⊂ ℝ, a ni aniqlash mumkin matritsa funktsiyasi f (A) har qanday operator uchun A ∈ H_n bilan o'zgacha qiymatlar λ yilda Men uni o'ziga xos qiymatlar bo'yicha belgilash va shunga mos ravishda projektorlar P kabi

${ displaystyle f (A) equiv sum _ {j} f ( lambda _ {j}) P_ {j} ~,}$ hisobga olib spektral parchalanish ${ displaystyle A = sum _ {j} lambda _ {j} P_ {j}.}$

Operator monoton

Funktsiya f: Men → ℝ oraliqda aniqlangan Men ⊂ ℝ deb aytiladi operator monoton agar ∀ bo'lsanva barchasi A, B ∈ H_n o'z qiymatlari bilan Men, quyidagi kuchlar,

${ displaystyle A geq B Rightarrow f (A) geq f (B),}$

bu erda tengsizlik A ≥ B operator degan ma'noni anglatadi A − B ≥ 0 ijobiy yarim aniq. Buni tekshirish mumkin f (A) = A² aslida, emas operator monoton!

Operator qavariq

Funktsiya ${ displaystyle f: I rightarrow mathbb {R}}$ deb aytilgan operator qavariq agar hamma uchun bo'lsa ${ displaystyle n}$ va barchasi A, B ∈ H_n o'z qiymatlari bilan Menva ${ displaystyle 0 < lambda <1}$, quyidagilar mavjud

${ displaystyle f ( lambda A + (1- lambda) B) leq lambda f (A) + (1- lambda) f (B).}$

Operator ekanligini unutmang ${ displaystyle lambda A + (1- lambda) B}$ o'z qiymatiga ega ${ displaystyle I}$, beri ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$ o'z qiymatlariga ega Men.

Funktsiya ${ displaystyle f}$ bu operator konkav agar ${ displaystyle -f}$ operator qavariq, ya'ni yuqoridagi tengsizlik ${ displaystyle f}$ teskari.

Qo'shish konveksiyasi

Funktsiya ${ displaystyle g: I times J rightarrow mathbb {R}}$, oraliqlarda aniqlanadi ${ displaystyle I, J subset mathbb {R}}$ deb aytilgan birgalikda konveks agar hamma uchun bo'lsa ${ displaystyle n}$ va barchasi${ displaystyle A_ {1}, A_ {2} in mathbf {H} _ {n}}$ o'z qiymatlari bilan ${ displaystyle I}$ va barchasi ${ displaystyle B_ {1}, B_ {2} in mathbf {H} _ {n}}$ o'z qiymatlari bilan ${ displaystyle J}$va har qanday ${ displaystyle 0 leq lambda leq 1}$ quyidagi ushlaydi

${ displaystyle g ( lambda A_ {1} + (1- lambda) A_ {2}, lambda B_ {1} + (1- lambda) B_ {2}) leq lambda g (A_ {1) }, B_ {1}) + (1- lambda) g (A_ {2}, B_ {2}).}$

Funktsiya g bu birgalikda konkav agar -g qo'shma qavariq, ya'ni yuqoridagi tengsizlik g teskari.

Izlash funktsiyasi

Funktsiya berilgan f: ℝ → ℝ, bog'liq izlash funktsiyasi kuni H_n tomonidan berilgan

${ displaystyle A mapsto operator nomi {Tr} f (A) = sum _ {j} f ( lambda _ {j}),}$

qayerda A o'ziga xos qiymatlarga ega λ va Tr a degan ma'noni anglatadi iz operatorning.

Izlash funktsiyasining konveksiyasi va monotonligi

Ruxsat bering f: ℝ → ℝ doimiy va ruxsat bering n har qanday tamsayı bo'lishi mumkin. Keyin, agar ${ displaystyle t mapsto f (t)}$ monoton ko'paymoqda, shunday qilib ${ displaystyle A mapsto operator nomi {Tr} f (A)}$ kuni H_n.

Xuddi shunday, agar ${ displaystyle t mapsto f (t)}$ bu qavariq, shunday ${ displaystyle A mapsto operator nomi {Tr} f (A)}$ kuni H_n, va agar u qat'iy ravishda konveks bo'lsa f qat'iy konveksdir.

Dalil va munozarani qarang,^[1] masalan.

Lyoner-Xaynts teoremasi

Uchun ${ displaystyle -1 leq p leq 0}$, funktsiyasi ${ displaystyle f (t) = - t ^ {p}}$ operator monoton va operator konkavidir.

Uchun ${ displaystyle 0 leq p leq 1}$, funktsiyasi ${ displaystyle f (t) = t ^ {p}}$ operator monoton va operator konkavidir.

Uchun ${ displaystyle 1 leq p leq 2}$, funktsiyasi ${ displaystyle f (t) = t ^ {p}}$ operatorning konveksidir. Bundan tashqari,

${ displaystyle f (t) = log (t)}$ operator konkav va operator monoton, esa

${ displaystyle f (t) = t log (t)}$ operatorning konveksidir.

Ushbu teoremaning asl isboti sababdir K. Louner uchun zarur va etarli shartni kim bergan f operator monoton bo'lishi.^[5] Teoremaning elementar isboti muhokama qilinadi ^[1] va uning umumiy versiyasi.^[6]

Klaynning tengsizligi

Barcha Hermitiyaliklar uchun n×n matritsalar A va B va barchasi farqlanadi qavariq funktsiyalarf: ℝ → ℝ bilan lotin f ' yoki barcha ijobiy aniq Hermitiyaliklar uchun n×n matritsalar A va Bva barcha differentsialbetonveks funktsiyalari f: (0, ∞) → ℝ, quyidagi tengsizlik amal qiladi,

Ikkala holatda ham, agar f qat'iy ravishda konveks bo'lib, agar shunday bo'lsa, tenglik bo'ladi A = B.Ilovalarda mashhur tanlov f(t) = t jurnal t, pastga qarang.

Isbot

Ruxsat bering ${ displaystyle C = A-B}$ shuning uchun, uchun ${ displaystyle t in (0,1)}$,

${ displaystyle B + tC = (1-t) B + tA}$,

dan farq qiladi ${ displaystyle B}$ ga ${ displaystyle A}$.

Aniqlang

${ displaystyle F (t) = operatorname {Tr} [f (B + tC)]}$.

Izlanish funktsiyalarining konveksiyasi va monotonligi bilan, ${ displaystyle F (t)}$ konveksdir va hamma uchun shunday ${ displaystyle t in (0,1)}$,

${ displaystyle F (0) + t (F (1) -F (0)) geq F (t)})$,

bu,

${ displaystyle F (1) -F (0) geq { frac {F (t) -F (0)} {t}}}$,

va, aslida, o'ng tomondagi monoton kamayadi ${ displaystyle t}$.

Cheklovni olish ${ displaystyle t dan 0} gacha$ hosil,

${ displaystyle F (1) -F (0) geq F '(0)}$,

Qayta qurish va almashtirish bilan Kleinning tengsizligi:

${ displaystyle mathrm {tr} [f (A) -f (B) - (A-B) f '(B)] geq 0}$

E'tibor bering, agar ${ displaystyle f (t)}$ qat'iy ravishda konveks va ${ displaystyle C neq 0}$, keyin ${ displaystyle F (t)}$ qat'iy konveksdir. Yakuniy tasdiq shu va shu narsadan kelib chiqadi ${ displaystyle { tfrac {F (t) -F (0)} {t}}}$ monoton kamayadi ${ displaystyle t}$.

Oltin-Tompson tengsizligi

1965 yilda S. Oltin ^[7] va C.J.Tompson ^[8] mustaqil ravishda buni aniqladi

Har qanday matritsalar uchun ${ displaystyle A, B in mathbf {H} _ {n}}$,

${ displaystyle operator nomi {Tr} e ^ {A + B} leq operator nomi {Tr} e ^ {A} e ^ {B}.}$

Ushbu tengsizlikni uchta operator uchun umumlashtirish mumkin:^[9] salbiy bo'lmagan operatorlar uchun ${ displaystyle A, B, C in mathbf {H} _ {n} ^ {+}}$,

${ displaystyle operator nomi {Tr} e ^ { ln A- ln B + ln C} leq int _ {0} ^ { infty} dt , operator nomi {Tr} A (B + t) ^ {-1} C (B + t) ^ {- 1}.}$

Peierls - Bogoliubov tengsizligi

Ruxsat bering ${ displaystyle R, F in mathbf {H} _ {n}}$ shunday bo'lishi kerak Tr e^R = 1. Ta'rif g = Tr Fe^R, bizda ... bor

${ displaystyle operator nomi {Tr} e ^ {F} e ^ {R} geq operator nomi {Tr} e ^ {F + R} geq e ^ {g}.}$

Ushbu tengsizlikning isboti yuqoridagi bilan birlashtirilgan Klaynning tengsizligi. Qabul qiling f(x) = exp (x), A=R + Fva B = R + gI.^[10]

Gibbsning variatsion printsipi

Ruxsat bering ${ displaystyle H}$ o'zini o'zi bog'laydigan operator bo'ling ${ displaystyle e ^ {- H}}$ bu iz sinf. Keyin har qanday kishi uchun ${ displaystyle gamma geq 0}$ bilan ${ displaystyle operator nomi {Tr} gamma = 1,}$

${ displaystyle operator nomi {Tr} gamma H + operator nomi {Tr} gamma ln gamma geq - ln operator nomi {Tr} e ^ {- H},}$

tenglik bilan va agar shunday bo'lsa ${ displaystyle gamma = exp (-H) / operator nomi {Tr} exp (-H).}$

Libning konkavtika teoremasi

Quyidagi teorema isbotlandi E. H. Lieb yilda.^[9] Bu E. P. Vigner, M. M. Yanase va F. J. Dysonning taxminlarini isbotlaydi va umumlashtiradi.^[11] Olti yildan keyin T. Ando boshqa dalillarni keltirdi ^[12] va B. Simon,^[3] va yana bir nechtasi o'sha paytdan beri berilgan.

Barcha uchun ${ displaystyle m marta n}$ matritsalar ${ displaystyle K}$va barchasi ${ displaystyle q}$ va ${ displaystyle r}$ shu kabi ${ displaystyle 0 leq q leq 1}$ va ${ displaystyle 0 leq r leq 1}$, bilan ${ displaystyle q + r leq 1}$ haqiqiy qiymat xaritasi ${ displaystyle mathbf {H} _ {m} ^ {+} times mathbf {H} _ {n} ^ {+}}$ tomonidan berilgan

${ displaystyle F (A, B, K) = operatorname {Tr} (K ^ {*} A ^ {q} KB ^ {r})}$

• qo'shma konkavdir ${ displaystyle (A, B)}$
• qavariq ${ displaystyle K}$.

Bu yerda ${ displaystyle K ^ {*}}$ degan ma'noni anglatadi qo'shma operator ning ${ displaystyle K.}$

Lib teoremasi

Ruxsat etilgan Ermit matritsasi uchun ${ displaystyle L in mathbf {H} _ {n}}$, funktsiyasi

${ displaystyle f (A) = operatorname {Tr} exp {L + ln A }}$

konkav bo'yicha ${ displaystyle mathbf {H} _ {n} ^ {++}}$.

Teorema va dalil E. H. Libga tegishli,^[9] Thm 6, u bu teoremani Lib konkavtiyasi teoremasining xulosasi sifatida qabul qiladi, eng to'g'ridan-to'g'ri dalil X. Epshteyn bilan bog'liq;^[13] qarang: M.B. Ruskai hujjatlari,^[14][15] ushbu dalilni ko'rib chiqish uchun.

Andoning konveksiya teoremasi

T. Andoning isboti ^[12] ning Libning konkavtika teoremasi uni quyidagi muhim to'ldirishga olib keldi:

Barcha uchun ${ displaystyle m marta n}$ matritsalar ${ displaystyle K}$va barchasi ${ displaystyle 1 leq q leq 2}$ va ${ displaystyle 0 leq r leq 1}$ bilan ${ displaystyle q-r geq 1}$, haqiqiy qiymat xaritasi ${ displaystyle mathbf {H} _ {m} ^ {++} times mathbf {H} _ {n} ^ {++}}$ tomonidan berilgan

${ displaystyle (A, B) mapsto operatorname {Tr} (K ^ {*} A ^ {q} KB ^ {- r})}$

qavariq.

Nisbiy entropiyaning qo'shma konveksiyasi

Ikki operator uchun ${ displaystyle A, B in mathbf {H} _ {n} ^ {++}}$ quyidagi xaritani aniqlang

${ displaystyle R (A parallel B): = operatorname {Tr} (A log A) - operatorname {Tr} (A log B).}$

Uchun zichlik matritsalari ${ displaystyle rho}$ va ${ displaystyle sigma}$, xarita ${ displaystyle R ( rho parallel sigma) = S ( rho parallel sigma)}$ Umegakiniki kvant nisbiy entropiyasi.

Ning salbiy emasligiga e'tibor bering ${ displaystyle R (A parallel B)}$ bilan Kleinning tengsizligidan kelib chiqadi ${ displaystyle f (t) = t log t}$.

Bayonot

Xarita ${ displaystyle R (A parallel B): mathbf {H} _ {n} ^ {++} times mathbf {H} _ {n} ^ {++} rightarrow mathbf {R}}$ qo'shma konveksdir.

Isbot

Barcha uchun ${ displaystyle 0$

, ${ displaystyle (A, B) mapsto operatorname {Tr} (B ^ {1-p} A ^ {p})}$ qo'shma konkav, tomonidan Libning konkavtika teoremasi va shunday qilib

${ displaystyle (A, B) mapsto { frac {1} {p-1}} ( operator nomi {Tr} (B ^ {1-p} A ^ {p}) - operator nomi {Tr} A) }$

qavariq. Ammo

${ displaystyle lim _ {p rightarrow 1} { frac {1} {p-1}} ( operator nomi {Tr} (B ^ {1-p} A ^ {p}) - operator nomi {Tr} A) = R (A parallel B),}$

va konveksiya chegarada saqlanib qoladi.

Buning isboti G. Lindbladga tegishli.^[16]

Jensen operatori va izsiz tengsizliklar

Ning operator versiyasi Jensen tengsizligi C.Devis tufayli.^[17]

Doimiy, real funktsiya ${ displaystyle f}$ oraliqda ${ displaystyle I}$ qondiradi Jensen operatorining tengsizligi agar quyidagilar mavjud bo'lsa

${ displaystyle f left ( sum _ {k} A_ {k} ^ {*} X_ {k} A_ {k} right) leq sum _ {k} A_ {k} ^ {*} f ( X_ {k}) A_ {k},}$

operatorlar uchun ${ displaystyle {A_ {k} } _ {k}}$ bilan ${ displaystyle sum _ {k} A_ {k} ^ {*} A_ {k} = 1}$ va uchun o'z-o'zidan bog'langan operatorlar ${ displaystyle {X_ {k} } _ {k}}$ bilan spektr kuni ${ displaystyle I}$.

Qarang,^[17][18] quyidagi ikkita teoremani isbotlash uchun.

Jensenning izsiz tengsizligi

Ruxsat bering f intervalda aniqlangan doimiy funktsiya bo'lishi Men va ruxsat bering m va n natural sonlar. Agar f qavariq, keyin bizda tengsizlik mavjud

${ displaystyle operator nomi {Tr} { Bigl (} f { Bigl (} sum _ {k = 1} ^ {n} A_ {k} ^ {*} X_ {k} A_ {k} { Bigr )} { Bigr)} leq operator nomi {Tr} { Bigl (} sum _ {k = 1} ^ {n} A_ {k} ^ {*} f (X_ {k}) A_ {k} { Bigr)},}$

Barcha uchun (X₁, ... , X_n) o'zini o'zi bog'laydigan m × m tarkibidagi spektrli matritsalar Men andall (A₁, ... , A_n) ning m × m bilan matritsalar

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} A_ {k} ^ {*} A_ {k} = 1.}$

Aksincha, agar kimdir uchun yuqoridagi tengsizlik qondirilsa n va m, qayerda n > 1, keyin f qavariq.

Jensen operatorining tengsizligi

Doimiy funktsiya uchun ${ displaystyle f}$ oraliqda aniqlangan ${ displaystyle I}$ quyidagi shartlar teng:

• ${ displaystyle f}$ operatorning konveksidir.
• Har bir tabiiy son uchun ${ displaystyle n}$ bizda tengsizlik mavjud

${ displaystyle f { Bigl (} sum _ {k = 1} ^ {n} A_ {k} ^ {*} X_ {k} A_ {k} { Bigr)} leq sum _ {k = 1} ^ {n} A_ {k} ^ {*} f (X_ {k}) A_ {k},}$

Barcha uchun ${ displaystyle (X_ {1}, ldots, X_ {n})}$ chegaralangan, o'zboshimchalik bilan ishlaydigan operatorlar Hilbert maydoni ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ tarkibidagi spektrlar ${ displaystyle I}$ va barchasi ${ displaystyle (A_ {1}, ldots, A_ {n})}$ kuni ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ bilan ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} A_ {k} ^ {*} A_ {k} = 1.}$

• ${ displaystyle f (V ^ {*} XV) leq V ^ {*} f (X) V}$ har bir izometriya uchun ${ displaystyle V}$ cheksiz o'lchovli Hilbert fazosida ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ va

har bir o'zini o'zi bog'laydigan operator ${ displaystyle X}$ spektr bilan ${ displaystyle I}$.

• ${ displaystyle Pf (PXP + lambda (1-P)) P leq Pf (X) P}$ har bir proektsiya uchun ${ displaystyle P}$ cheksiz o'lchovli Hilbert fazosida ${ displaystyle { mathcal {H}}}$, har bir o'zini o'zi bog'laydigan operator ${ displaystyle X}$ spektr bilan ${ displaystyle I}$ va har bir ${ displaystyle lambda}$ yilda ${ displaystyle I}$.

Araki-Lieb-Tirring tengsizligi

E. H. Lieb va V. E. Tirring quyidagi tengsizlikni isbotladilar ^[19] 1976 yilda: har qanday kishi uchun ${ displaystyle A geq 0}$, ${ displaystyle B geq 0}$ va ${ displaystyle r geq 1,}$

${ displaystyle operator nomi {Tr} ((BAB) ^ {r}) leq operator nomi {Tr} (B ^ {r} A ^ {r} B ^ {r}).}$

1990 yilda ^[20] H. Araki yuqoridagi tengsizlikni quyidagilar bilan umumlashtirdi: Har kim uchun ${ displaystyle A geq 0}$, ${ displaystyle B geq 0}$ va ${ displaystyle q geq 0,}$

${ displaystyle operator nomi {Tr} ((BAB) ^ {rq}) leq operator nomi {Tr} ((B ^ {r} A ^ {r} B ^ {r}) ^ {q}),}$ uchun ${ displaystyle r geq 1,}$

va

${ displaystyle operator nomi {Tr} ((B ^ {r} A ^ {r} B ^ {r}) ^ {q}) leq operator nomi {Tr} ((BAB) ^ {rq}),}$ uchun ${ displaystyle 0 leq r leq 1.}$

Lieb-Tirring tengsizligi quyidagi umumlashtirishga ham ega:^[21] har qanday kishi uchun ${ displaystyle A geq 0}$, ${ displaystyle B geq 0}$ va ${ displaystyle alpha in [0,1],}$

${ displaystyle operator nomi {Tr} (BA ^ { alfa} BBA ^ {1- alfa} B) leq operator nomi {Tr} (B ^ {2} AB ^ {2}).}$

Effros teoremasi va uning kengayishi

E. Effros in ^[22] quyidagi teoremani isbotladi.

Agar ${ displaystyle f (x)}$ operatorning qavariq funktsiyasi va ${ displaystyle L}$ va ${ displaystyle R}$ cheklangan chiziqli operatorlarni, ya'ni kommutatorni almashtirmoqda ${ displaystyle [L, R] = LR-RL = 0}$, istiqbol

${ displaystyle g (L, R): = f (LR ^ {- 1}) R}$

birgalikda konveks, ya'ni agar bo'lsa ${ displaystyle L = lambda L_ {1} + (1- lambda) L_ {2}}$ va ${ displaystyle R = lambda R_ {1} + (1- lambda) R_ {2}}$ bilan ${ displaystyle [L_ {i}, R_ {i}] = 0}$ (i = 1,2), ${ displaystyle 0 leq lambda leq 1}$,

${ displaystyle g (L, R) leq lambda g (L_ {1}, R_ {1}) + (1- lambda) g (L_ {2}, R_ {2}).}$

Ebadian va boshq. keyinchalik tengsizlikni quyidagi holatga qadar kengaytirdi ${ displaystyle L}$ va ${ displaystyle R}$ yo'lga bormang. ^[23]

Fon Neyman iz qoldirgan tengsizlik va unga bog'liq natijalar

Fon Neymanning izsiz tengsizligi, uning yaratuvchisi nomi bilan atalgan Jon fon Neyman, har qanday kishi uchun buni ta'kidlaydi n × n murakkab matritsalar A, B bilan birlik qiymatlari ${ displaystyle alpha _ {1} geq alpha _ {2} geq cdots geq alpha _ {n}}$ va ${ displaystyle beta _ {1} geq beta _ {2} geq cdots geq beta _ {n}}$ mos ravishda,^[24]

${ displaystyle left | operator nomi {Tr} (AB) o'ng | leq sum _ {i = 1} ^ {n} alfa _ {i} beta _ {i} ,}$

Bunga oddiy xulosa quyidagi natijadir^[25]: Uchun hermitchi n × n ijobiy yarim yarim matritsalar A, B qaerda hozir o'zgacha qiymatlar kamayib saralanadi (${ displaystyle a_ {1} geq a_ {2} geq cdots geq a_ {n}}$ va ${ displaystyle b_ {1} geq b_ {2} geq cdots geq b_ {n}}$navbati bilan),

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {n-i + 1} leq operator nomi {Tr} (AB) leq sum _ {i = 1} ^ {n } a_ {i} b_ {i} ,.}$

Shuningdek qarang

• fon Neyman entropiyasi
• Lieb-Thirring tengsizligi
• Shur-Xorn teoremasi

Adabiyotlar

• Scholarpedia asosiy manba.