Zolotarev polinomlari - Zolotarev polynomials

Matematikada, Zolotarev polinomlari bor polinomlar ichida ishlatilgan taxminiy nazariya. Ular ba'zida alternativa sifatida ishlatiladi Chebyshev polinomlari qaerda kelib chiqishi yaqinidagi taxminiy aniqlik unchalik ahamiyatga ega emas. Zolotarev polinomlari Chebyshev polinomlaridan farq qiladi, chunki koeffitsientlarning ikkitasi har qanday qiymatni qabul qilishga ruxsat berish o'rniga oldindan belgilanadi. Birinchi turdagi Chebyshev polinomlari Zolotarev polinomlarining alohida holatidir. Ushbu polinomlar rus matematikasi tomonidan kiritilgan Yegor Ivanovich Zolotarev 1868 yilda.

Ta'rifi va xususiyatlari

Zolotarev darajadagi polinomlar ${ displaystyle n}$ yilda ${ displaystyle x}$ shakldadir

${ displaystyle Z_ {n} (x, sigma) = x ^ {n} - sigma x ^ {n-1} + cdots + a_ {k} x ^ {k} + cdots + a_ {0} ,}$

qayerda ${ displaystyle sigma}$ uchun belgilangan qiymatdir ${ displaystyle a_ {n-1}}$ va ${ displaystyle a_ {k} in mathbb {R}}$ aks holda shunday tanlanganki, ning og'ishi ${ displaystyle Z_ {n} (x)}$ noldan intervalgacha minimal ${ displaystyle [-1,1]}$.^[1]

Zolotarev polinomlarining pastki qismini quyidagicha ifodalash mumkin Chebyshev polinomlari birinchi turdagi, ${ displaystyle T_ {n} (x)}$. Uchun

${ displaystyle 0 leq sigma leq { dfrac {1} {n}} tan ^ {2} { dfrac { pi} {2n}}}$

keyin

${ displaystyle Z_ {n} (x, sigma) = (1+ sigma) ^ {n} T_ {n} chap ({ frac {x- sigma} {1+ sigma}} o'ng) .}$

Ning qiymatlari uchun ${ displaystyle sigma}$ ushbu diapazonning maksimal darajasidan kattaroq, Zolotarev polinomlarini quyidagicha ifodalash mumkin elliptik funktsiyalar. Uchun ${ displaystyle sigma = 0}$, Zolotarev polinomasi ekvivalent Chebyshev polinomiga o'xshaydi. Ning salbiy qiymatlari uchun ${ displaystyle sigma}$, polinomni ijobiy qiymat polinomidan topish mumkin,^[2]

${ displaystyle Z_ {n} (x, - sigma) = (- 1) ^ {n} Z_ {n} (- x, sigma) .}$

Zolotarev polinomini munosabatlar yordamida Chebyshev polinomlari yig'indisiga kengaytirish mumkin^[3]

${ displaystyle Z_ {n} (x) = sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} T_ {k} (x) .}$

8-darajali (chapda) va 9-darajadagi (o'ngda) Zolotarev polinomi.^[4] The x shkala sifatida belgilanadi prototip polinomni filtrlash dizaynida ishlatishda bo'lgani kabi chastota.

Jakobi elliptik funktsiyalari bo'yicha

Zolotarev tomonidan berilgan taxminiy muammoning asl echimi quyidagicha edi Jakobi elliptik funktsiyalari. Zolotarev umumiy echimni berdi, bu erda tepalik qiymatining chap tomonidagi nollar soni (${ displaystyle q}$) oralig'ida ${ displaystyle [-1,1]}$ bu tepalikning o'ng tomonidagi nol soniga teng emas (${ displaystyle p}$). Polinomning darajasi ${ displaystyle n = p + q}$. Ko'pgina ilovalar uchun ${ displaystyle p = q}$ faqat keyin ishlatiladi ${ displaystyle n}$ e'tiborga olish kerak. Umumiy Zolotarev polinomlari quyidagicha aniqlanadi^[5]

${ displaystyle Z_ {n} (x | kappa) = { frac {(-1) ^ {p}} {2}} left [ left ({ dfrac {H (uv)}} {H (u) + v)}} o'ng) ^ {n} + chap ({ dfrac {H (u + v)} {H (uv)}} o'ng) ^ {n} o'ng]}$

qayerda

${ displaystyle u = F chap ( chap. operator nomi {sn} chap ( chap.v o'ng | kappa o'ng) { sqrt { dfrac {1 + x} {x + 2 operator nomi { sn} ^ {2} chap ( chap.v o'ng | kappa o'ng) -1}}} o'ng | kappa o'ng)}$

${ displaystyle v = { dfrac {p} {n}} K ( kappa)}$

${ displaystyle H ( varphi)}$ bo'ladi Jacobi eta funktsiyasi

${ displaystyle F ( varphi | kappa)}$ bo'ladi birinchi turdagi to'liq bo'lmagan elliptik integral

${ displaystyle K ( kappa)}$ to'rtinchi to'lqin birinchi turdagi to'liq elliptik integral. Anavi, ${ displaystyle K ( kappa) = F chap ( chap. { frac { pi} {2}} o'ng | kappa o'ng)}$^[6]

${ displaystyle kappa}$ bu Jakobi elliptik modul

${ displaystyle operatorname {sn} ( varphi | kappa)}$ bo'ladi Jakobi elliptik sinusi.

Funktsiyaning [-1,1] oralig'idagi o'zgarishi, boshqa tepaliklardan kattaroq bitta tepalikdan tashqari, teng sonli. Ushbu tepalikning holati va kengligi mustaqil ravishda o'rnatilishi mumkin. Tepalikning pozitsiyasi tomonidan berilgan^[7]

${ displaystyle x _ { text {max}} = 1-2 operatorname {sn} ^ {2} (v | kappa) +2 { dfrac { operatorname {sn} (v | kappa) operatorname { cn} (v | kappa)} { operatorname {dn} (v | kappa)}} Z (v | kappa)}$

qayerda

${ displaystyle operator nomi {cn} ( varphi | kappa)}$ bo'ladi Jakobi elliptik kosinusi

${ displaystyle operatorname {dn} ( varphi | kappa)}$ bo'ladi Jakobi deltasi amplitudasi

${ displaystyle Z ( varphi | kappa)}$ bo'ladi Jacobi zeta funktsiyasi

${ displaystyle v}$ yuqorida ta'riflanganidek.

Tepalikning balandligi tomonidan berilgan^[8]

${ displaystyle Z_ {n} (x _ { text {max}} | kappa) = cosh 2n { bigl (} sigma _ { text {max}} Z (v | kappa) - varPi ( sigma _ { text {max}}, v | kappa) { bigr)}}$

qayerda

${ displaystyle varPi ( phi _ {1}, phi _ {2} | kappa)}$ bo'ladi uchinchi turdagi to'liq bo'lmagan elliptik integral

${ displaystyle sigma _ { text {max}} = F chap ( chap. sin ^ {- 1} chap ({ dfrac {1} { kappa operator nomi {sn} (v | kappa )}} { sqrt { dfrac {x _ { text {max}} - x _ { mathrm {L}}} {x _ { text {max}} + 1}}} right) right | kappa o'ng)}$

${ displaystyle x _ { mathrm {L}}}$ - bu tepalikning tepa qismidagi balandlik bilan teng bo'lgan tepalikning chap qismidagi holat.

Jacobi eta funktsiyasi

Jacobi eta funktsiyasini a nuqtai nazaridan aniqlash mumkin Jacobi yordamchi teta funktsiyasi,^[9]

${ displaystyle H ( varphi | kappa) = theta _ {1} (a | b)}$

qayerda,

${ displaystyle a = { frac { pi varphi} {2K '( kappa)}}}$

${ displaystyle b = exp left (- { frac { pi K '( kappa)} {K ( kappa)}} right)}$

${ displaystyle K '( kappa) = K ({ sqrt {1- kappa ^ {2}}}) .}$^[10]

Ilovalar

Polinomlar tomonidan kiritilgan Yegor Ivanovich Zolotarev 1868 yilda daraja polinomlarini teng ravishda yaqinlashtiruvchi vosita sifatida ${ displaystyle x ^ {n + 1}}$ [-1,1] oralig'ida. Pafnutiy Chebyshev buni 1858 yilda ko'rsatgan edi ${ displaystyle x ^ {n + 1}}$ eng ko'p darajadagi polinom bilan ushbu oraliqda taxminiy bo'lishi mumkin ${ displaystyle n}$ xato bilan ${ displaystyle 2 ^ {- n}}$. 1868 yilda Zolotarev buni ko'rsatdi ${ displaystyle x ^ {n + 1} - sigma x ^ {n}}$ maksimal darajadagi polinom bilan yaqinlashishi mumkin ${ displaystyle n-1}$, ikki daraja pastroq. Zolotarev uslubidagi xato quyidagicha berilgan.^[11]

${ displaystyle 2 ^ {- n} chap ({ dfrac {1+ sigma} {1 + n}} o'ng) ^ {n + 1} .}$

Protsedura tomonidan yana ishlab chiqilgan Naum Achieser 1956 yilda.^[12]

Dizaynida Zolotarev polinomlaridan foydalaniladi Achieser-Zolotarev filtrlari. Ular ushbu rolda 1970 yilda Ralf Levi tomonidan mikroto'lqinli pechni loyihalashda foydalangan to'lqin qo'llanmasi filtrlari.^[13] Achieser-Zolotarev filtrlari o'xshash Chebyshev filtrlari ular orqali teng to'lqin susayishiga ega passband, faqat susayish kelib chiqishga eng yaqin cho'qqining oldindan belgilangan dalgalanmasından oshib ketishi bundan mustasno.^[14]

Zolotarev polinomlaridan sintez qilish uchun foydalanish mumkin nurlanish naqshlari chiziqli antenna massivlari, birinchi bo'lib D.A. McNamara 1985 yilda. Ish chastota o'rniga o'zgaruvchi sifatida ishlatilgan nurli burchakli filtr dasturiga asoslangan. Zolotarev nurlarining naqshlari teng darajadagi yonboshlarga ega.^[15]

Adabiyotlar

Bibliografiya

• Axieser, Naum, Hymnan, CJ (trans), Yaqinlashish nazariyasi, Nyu-York: Frederik Ungar nashriyoti, 1956. Doverning qayta nashr etilishi 2013 yil ISBN  0486495434.
• Bibi, Nelson XF, u matematik-funktsional hisoblash bo'yicha qo'llanma, Springer, 2017 yil ISBN  3319641107.
• Kemeron, Richard J.; Kudsiya, Chandra M.; Mansur, Raafat R., Aloqa tizimlari uchun mikroto'lqinli filtrlar, John Wiley & Sons, 2018 yil ISBN  1118274342.
• Xansen, Robert S, Bosqichli antennalar, Vili, 2009 yil ISBN  0470529172.
• McNamara, D.A., "Zolotarev polinomlaridan foydalangan holda maqbul monopulsli chiziqli qator qo'zg'alishlari", Elektron, vol. 21-son 16, 681-68 betlar, 1985 yil avgust.
• Nyuman, DJ, Reddi, AR, "Ga oqilona yaqinlashishlar ${ displaystyle x ^ {n}}$ II ", Kanada matematika jurnali, vol. 32, yo'q. 2, 310-316 betlar, 1980 yil aprel.
• Pinkus, Allan, "Zolotarev polinomlari", In, Hazewinkel, Michiel (ed), Matematika entsiklopediyasi, III qo'shimcha, Springer Science & Business Media, 2001 yil ISBN  1402001983.
• Vlček, Miroslav, Unbehauen, Rolf, "Zolotarev polinomlari va optimal FIR filtrlari", Signalni qayta ishlash bo'yicha IEEE operatsiyalari, vol. 47, nashr. 3, 717-730-betlar, 1999 yil mart (tuzatishlar 2000 yil iyul).
• Zahradnik, Pavel; Vlček, Miroslav, "2-o'lchovli tor bantli FIR filtrlarining analitik dizayni", 56-63 bet, Hisoblash fanlari - ICCS 2004: 4-xalqaro konferentsiya materiallari, Bubak, Marian; van Albada, Geert D.; Sloot, Piter M.A.; Dongarra, Jek (tahr.), Springer Science & Business Media, 2004 yil ISBN  3540221298.