Manifoldlarning tasnifi - Classification of manifolds

Yilda matematika, xususan geometriya va topologiya, manifoldlarning tasnifi - bu asosiy savol bo'lib, unda ko'p narsa ma'lum va ko'plab ochiq savollar qolmoqda.

Asosiy mavzular

Umumiy nuqtai

Past o'lchamli manifoldlar geometrik tuzilishi bo'yicha tasniflanadi; yuqori o'lchovli manifoldlar algebraik tarzda tasniflanadi jarrohlik nazariyasi.

"Past o'lchovlar" 4 gacha bo'lgan o'lchamlarni anglatadi; "yuqori o'lchovlar" 5 yoki undan ortiq o'lchamlarni anglatadi. 4-o'lchovning holati qandaydir tarzda chegara holatidir, chunki u "past o'lchovli" xatti-harakatlarni muammosiz namoyon qiladi (ammo topologik jihatdan emas); qarang "past" va "yuqori" o'lchovlarni muhokama qilish.

Manifoldlarning turli toifalari turli xil tasniflarni beradi; bular "tuzilish" tushunchasi bilan bog'liq bo'lib, ko'proq umumiy kategoriyalar neater nazariyalarga ega.
Ijobiy egrilik cheklangan, salbiy egrilik umumiydir.
Yuqori o'lchovli manifoldlarning mavhum tasnifi samarasiz: ikkita manifold berilgan (sifatida taqdim etilgan CW komplekslari, masalan), ularning izomorf ekanligini aniqlash uchun algoritm yo'q.

Turli toifalar va qo'shimcha tuzilish

Rasmiy ravishda tasniflash manifoldlar gacha bo'lgan ob'ektlarni tasniflashdir izomorfizm. "Kollektor" tushunchasi juda ko'p va "manifoldlar orasidagi xarita" ning tegishli tushunchalari mavjud bo'lib, ularning har biri har xil toifasi va boshqa tasniflash masalasi.

Ushbu toifalar bir-biriga bog'liqdir unutuvchan funktsiyalar Masalan: differentsial manifold ham topologik manifold va differentsiallangan xarita ham doimiy, shuning uchun funktsiya mavjud ${ displaystyle { mbox {Diff}} to { mbox {Top}}}$ .

Ushbu funktsiyalar umuman bir-biriga ham, bir-biriga ham tegishli emas; ushbu muvaffaqiyatsizliklar, odatda, "tuzilish" nuqtai nazaridan quyidagicha ifodalanadi. Timsolida topologik ko'p qirrali ${ displaystyle { mbox {Diff}} to { mbox {Top}}}$ "farqlanadigan tuzilmani tan oladi" deyiladi va berilgan topologik manifold ustidagi tola "berilgan topologik manifolddagi har xil farqlanadigan tuzilmalar" dir.

Shunday qilib, ikkita toifani hisobga olgan holda, ikkita tabiiy savol:

Berilgan turdagi qaysi manifoldlar tan olish qo'shimcha tuzilma?
Agar u qo'shimcha tuzilmani tan olsa, nechta tan oladi?

Aniqrog'i, qo'shimcha tuzilmalar to'plamining tuzilishi qanday?

Ko'proq umumiy toifalarda, bu tuzilish to'plami ko'proq tuzilishga ega: Diff-da bu shunchaki to'plam, ammo Top-da bu guruh, va funktsional jihatdan shunday.

Ushbu tuzilmalarning aksariyati G-tuzilmalar va savol tug'iladi tuzilish guruhining qisqarishi. Eng tanish misol yo'nalishlilikdir: ba'zi kollektorlar yo'naltiriladi, ba'zilari esa yo'naltirilmaydi va yo'naltiriladigan manifoldlar 2 yo'nalishni tan oladi.

Variantlarga qarshi sanab chiqish

Tasniflashning ikkita odatiy usuli mavjud: aniq, sanab o'tish yoki invariantlar nuqtai nazaridan to'g'ridan-to'g'ri.

Masalan, yo'naltiriladigan yuzalar uchun sirtlarni tasnifi ularni biriktiruvchi yig'indisi sifatida sanab chiqadi ${ displaystyle n geq 0}$ tori va ularni tasniflovchi invariant bu tur yoki Eyler xarakteristikasi.

Manifoldlar juda ko'p invariantlar to'plamiga ega, jumladan:

Nuqtalar to'plami topologiyasi
- Ixchamlik
- Ulanish
Klassik algebraik topologiya
Geometrik topologiya
- oddiy invariantlar (yo'nalishlilik, xarakterli sinflar va xarakterli sonlar)
- Oddiy homotopiya (Reidemeister burama )
- Jarrohlik nazariyasi

Zamonaviy algebraik topologiya (tashqarida kobordizm kabi)Favqulodda (birgalikda) homologiya, manifoldlarni tasniflashda juda oz ishlatiladi, chunki bu o'zgarmaslar homotopiya-o'zgarmasdir va shuning uchun homotopiya turidan yuqori bo'lgan tasniflarga yordam bermaydi.

Kobordizm guruhlari (nuqtaning bordizm guruhlari) hisoblangan, ammo makonning bordizm guruhlari (masalan ${ displaystyle MO _ {*} (M)}$ ) odatda yo'q.

Belgilangan

Belgilangan tasnif asosiy hisoblanadi - odatda nuqta bo'yicha taxminlarni tuzatadi, so'ngra ushbu kollektor sinfini o'rganadi, eng tez-tez tasniflangan kollektorlar yopiq, bog'langan manifoldlardir.

Manifoldlar bir hil (har qanday chegaradan uzoqda) bo'lib, ularning o'lchamlari va chegaralari bilan ichki chegaralaridan tashqari lokal nuqta o'zgarmas o'zgaruvchilarga ega emas, va eng ko'p ishlatiladigan global nuqta to'plami xususiyatlari ixchamlik va bog'lanishdir. Bu kombinatsiyalarning an'anaviy nomlari:

A ixcham manifold ixcham ko'p qirrali, ehtimol chegara bilan va majburiy ravishda bog'lanmagan bo'lishi kerak (lekin juda ko'p komponentlar bilan).
A yopiq kollektor chegara bo'lmagan ixcham manifold, albatta bog'lanmagan.
An ochiq kollektor chegara bo'lmagan (majburiy ravishda bog'lanmagan), ixcham komponentga ega bo'lmagan manifold.

Masalan; misol uchun, ${ displaystyle [0,1]}$ ixcham manifold, ${ displaystyle S ^ {1}}$ yopiq kollektor va ${ displaystyle (0,1)}$ ochiq manifold hisoblanadi ${ displaystyle [0,1)}$ bularning hech biri emas.

Hisoblash

Eylerning xarakteristikasi - a homologik o'zgarmas va shunday bo'lishi mumkin samarali hisoblangan berilgan a CW tuzilishi, shuning uchun 2-manifoldlar gomologik jihatdan tasniflanadi.

Xarakterli sinflar va xarakterli sonlar mos keladigan umumlashtirilgan gomologik invariantlardir, ammo ular kollektorlarni yuqori o'lchamlarda tasniflamaydilar (ular emas invariantlarning to'liq to'plami ): masalan, yo'naltirilgan 3-manifold parallel (Shtenrod teoremasi past o'lchovli topologiya ), shuning uchun barcha xarakterli sinflar yo'qoladi. Yuqori o'lchamlarda xarakterli sinflar umuman yo'q bo'lib ketmaydi va foydali, ammo to'liq bo'lmagan ma'lumotlarni beradi.

4 va undan yuqori o'lchovdagi manifoldlar bo'lishi mumkin emas samarali tasniflangan: ikkitasi berilgan n-ko‘p qavatlar ( ${ displaystyle n geq 4}$ ) sifatida taqdim etilgan CW komplekslari yoki dastani, ularning izomorfik (gomomorfik, diffeomorfik) ekanligini aniqlash uchun algoritm yo'q. Bu hal qilinmasligi bilan bog'liq guruhlar uchun so'z muammosi, aniqrog'i, ahamiyatsizlik muammosi (guruh uchun cheklangan taqdimot berilgan, bu ahamiyatsiz guruhmi?). Guruhning har qanday cheklangan taqdimoti 2-kompleks sifatida amalga oshirilishi mumkin va 4-manifold (yoki undan yuqori) ning 2-skeleti sifatida amalga oshirilishi mumkin. Shunday qilib, hatto hisoblash mumkin emas asosiy guruh ma'lum bir yuqori o'lchovli manifoldning, kamroq tasnifi.

Ushbu samarasizlik jarrohlik nazariyasi manifoldlarni gomomorfizmgacha tasniflamasligining asosiy sababidir. Buning o'rniga, har qanday qattiq manifold uchun M u juftlarni tasniflaydi ${ displaystyle (N, f)}$ bilan N ko'p qirrali va ${ displaystyle f colon n to M}$ a homotopiya ekvivalenti, ikkita juftlik, ${ displaystyle (N, f)}$ va ${ displaystyle (N ', f')}$ , agar gomomorfizm mavjud bo'lsa, ekvivalent deb hisoblanadi ${ displaystyle h colon n to N '}$ va homotopiya ${ displaystyle f'h sim f colon n to M}$ .

Ijobiy egrilik cheklangan, salbiy egrilik umumiydir

Ko'pchilik Riemann geometriyasidagi klassik teoremalar ijobiy egrilikka ega bo'lgan manifoldlarning cheklanganligini ko'rsating 1/4 qisilgan shar teoremasi. Aksincha, salbiy egrilik umumiydir: masalan, o'lchamlarning har qanday ko'p qirralari ${ displaystyle n geq 3}$ salbiy Ricci egriligi bilan metrikani tan oladi.

Ushbu hodisa yuzalar uchun allaqachon ravshan: musbat egrilikka ega bo'lgan bitta yo'naltirilgan (va bitta yo'naltirilmagan) yopiq sirt mavjud (shar va proektsion tekislik ) va shunga o'xshash nol egrilik uchun (the torus va Klein shishasi ) va yuqori darajadagi barcha sirtlar faqat salbiy egrilik ko'rsatkichlarini tan oladi.

Xuddi shunday 3-manifold uchun: ning 8 ta geometriya, giperbolikadan tashqari barchasi juda cheklangan.

O'lchov bo'yicha umumiy nuqtai

0 va 1 o'lchamlari ahamiyatsiz.
Past o'lchamli manifoldlar (o'lchamlari 2 va 3) geometriyani tan olishadi.
O'rta o'lchovli manifoldlar (4 o'lchov farqli ravishda) ekzotik hodisalarni namoyish etadi.
Yuqori o'lchovli manifoldlar (5 o'lchov va undan farqli ravishda, 4 o'lchov va undan ko'p topologik jihatdan) quyidagicha tasniflanadi: jarrohlik nazariyasi.

Shunday qilib, 4-o'lchovli differentsial manifoldlar eng murakkab: ular geometrik (pastki o'lchamdagi kabi) ham emas, jarrohlik yo'li bilan ham (yuqori o'lchovdagi yoki topologik jihatdan) tasniflanmagan va ular g'ayrioddiy hodisalarni namoyish etadilar, eng ajablanarli darajada cheksiz ko'p ekzotik farqlanadigan tuzilmalar R⁴. Shunisi e'tiborga loyiqki, differentsiyalanadigan 4-manifold - bu qolgan yagona ochiq holat umumiy Poincare gipotezasi.

Yuqori o'lchovli manifoldlarda kichik o'lchovli nuqtai nazarni olish mumkin va "Qaysi yuqori o'lchovli kollektorlar geometrizatsiyalanadigan?" Deb so'rab, geometriyalash mumkin bo'lgan turli xil tushunchalar uchun (3 o'lchamdagi kabi geometrik bo'laklarga, simpektik kollektorlarga va boshqalarga kesilgan). . 4 va undan yuqori o'lchovlarda ko'p qirrali geometriya mumkin emas, lekin ular qiziqarli sinf.

Aksincha, past o'lchovli manifoldlarda yuqori o'lchovli nuqtai nazarni olish mumkin va "Jarrohlik nima qiladi?" bashorat qilish "past o'lchamli kollektorlar uchun?", ya'ni "Agar jarrohlik kichik o'lchamlarda ishlasa, past o'lchamli kollektorlar qanday ko'rinishga ega bo'ladi?" degan ma'noni anglatadi, keyin past o'lchamli kollektorlarning haqiqiy nazariyasini yuqori o'lchovli manifoldlarning past o'lchovli analogiga solishtirish mumkin, va past o'lchamli manifoldlar "siz kutgandek" o'zini tutadimi yoki yo'qligini ko'ring: ular qanday qilib o'zlarini yuqori o'lchovli manifoldlar kabi tutishadi (lekin turli sabablarga ko'ra yoki turli xil dalillar bilan) va ular qanday usullar bilan g'ayrioddiy?

0 va 1 o'lchamlari: ahamiyatsiz

Noyob ulangan 0 o'lchovli manifold mavjud, ya'ni nuqta va ajratilgan 0 o'lchovli manifoldlar faqat diskret to'plamlar bo'lib, ular asosiy kuch bilan tasniflanadi. Ular geometriyaga ega emaslar va ularning o'rganishlari kombinatorika.

Chegarasiz ulangan 1 o'lchovli manifold - bu doira (agar ixcham bo'lsa) yoki haqiqiy chiziq (agar bo'lmasa), ammo 1 o'lchovli manifoldlarning xaritalari ahamiyatsiz maydon; pastga qarang.^{[iqtibos kerak ]}

2 va 3 o'lchamlari: geometrik

Har qanday bog'langan yopiq 2 o'lchovli manifold (sirt) tomonidan doimiy egrilik metrikasi tan olinadi bir xillik teoremasi. Bunday egriliklarning soni 3 ta (ijobiy, nol va salbiy), bu klassik natija va aytilganidek oson (to'liq bir xillik teoremasi nozik). Sirtlarni o'rganish chuqur bog'liqdir kompleks tahlil va algebraik geometriya, har bir yo'naltirilgan sirtni a deb hisoblash mumkin Riemann yuzasi yoki murakkab algebraik egri chiziq.

Har qanday yopiq 3 o'lchovli manifold geometriya xususiyatiga ega bo'laklarga bo'linishi mumkin geometriya gipotezasi Va bunday 8 ta geometriya mavjud, bu yaqinda olingan natijadir va juda qiyin. Dalil (The Puankare gumonining echimi ) topologik emas, analitik hisoblanadi.

Sirtlarning tasnifi klassik bo'lsa, sirt xaritalari faol maydon hisoblanadi; pastga qarang.

4 o'lchov: ekzotik

To'rt o'lchovli kollektorlar eng noodatiy: ular geometriyalanmaydi (pastki o'lchamlarda bo'lgani kabi) va jarrohlik topologik jihatdan ishlaydi, ammo farq qilmaydi.

Beri topologik jihatdan, 4-manifoldlar jarrohlik yo'li bilan tasniflanadi, farqlanadigan tasniflash masalasi "differentsial tuzilmalar" bo'yicha ifodalanadi: "qaysi (topologik) 4-manifoldlar ajralib turadigan tuzilmani tan oladi va buni amalga oshiradiganlar bo'yicha qancha farqlanadigan tuzilmalar mavjud?"

To'rt manifoldlar ko'pincha juda ko'p noodatiy ajralib turadigan tuzilmalarni tan olishadi, eng hayratlanarli jihati shundaki, cheksiz ko'p ekzotik farqlanadigan tuzilmalar R⁴ Shunga o'xshab, farqlanadigan 4-manifold - bu qolgan yagona ochiq holat umumiy Poincare gipotezasi.

5-o'lchov va undan ko'p: jarrohlik

5 va undan yuqori o'lchovlarda (va topologik jihatdan 4 o'lchamda) manifoldlar quyidagicha tasniflanadi jarrohlik nazariyasi.

The Uitni hiyla-nayrang 2 + 1 o'lchovlarni talab qiladi (2 bo'shliq, 1 marta), shuning uchun Uitnining ikkita jarrohlik nazariyasi disklari 2 + 2 + 1 = 5 o'lchamlarini talab qiladi.

5 o'lchovining sababi shundaki Uitni hiyla-nayrang 5 va undan ortiq o'lchamdagi o'rta o'lchovda ishlaydi: ikkitasi Uitni disklari odatda 5 va undan yuqori o'lchovlarda kesishmaydi umumiy pozitsiya ( ${ displaystyle 2 + 2 <5}$ 4-o'lchovda ikkita Uitni disklari kesishgan joylarni echish mumkin Kasson tutqichlari, topologik jihatdan ishlaydi, lekin farq qilmaydi; qarang Geometrik topologiya: o'lchov o'lchov haqida batafsil ma'lumot olish uchun.

Nozikroq qilib aytganda, 5 o'lchovi kesilgan, chunki o'rta o'lcham mavjud kod o'lchovi 2 dan ortiq: kod o'lchovi 2 bo'lsa, bitta duch keladi tugun nazariyasi, lekin kod o'lchovi 2 dan oshganda, kiritish nazariyasi tr funktsiyalarni hisoblash. Bu quyida muhokama qilinadi.

Manifoldlar orasidagi xaritalar

Nuqtai nazaridan toifalar nazariyasi, manifoldlarning tasnifi bu toifani tushunishning bir qismidir: bu ob'ektlar. Boshqa savol tasniflashdir xaritalar turli xil ekvivalentlarga qadar bo'lgan manifoldlar va bu sohada ko'plab natijalar va ochiq savollar mavjud.

Xaritalar uchun "past o'lchov" tushunchasi ba'zi maqsadlar uchun "past o'lchovli manifoldlarning o'z xaritalari" va boshqa maqsadlar uchun "past" kod o'lchovi ".

Kam o'lchovli o'z-o'zini xaritalar

1 o'lchovli: aylananing gomomorfizmlari
2 o'lchovli: xaritalarni sinf guruhi va Torelli guruhi

Past darajali o'lchov

Kollektorlarning klassifikatsiyasiga o'xshash koo'lchov (2 dan ortiq ma'noni anglatadi), ko'milish jarrohlik yo'li bilan tasniflanadi, past darajali yoki nisbiy o'lchov, ular qat'iy va geometrik bo'lib, o'rtada (2-kodiya) qiyin ekzotik nazariyaga ega (tugun nazariyasi ).

2 dan katta kodimensiyada katıştırmalar jarrohlik nazariyasi bo'yicha tasniflanadi.
Codimension 2-da, xususan, 1-o'lchovli manifoldlarning 3-o'lchovli qismlarga joylashtirilishida, tugun nazariyasi.
Codimension 1-da, kodlash 1-ga qo'shilish manifoldni ajratib turadi va ular tortilishi mumkin.
0-o'lchovda, 0-o'lchov (to'g'ri) immersion - a bo'shliqni qoplash, ular algebraik tarzda tasniflanadi va ular tabiiy ravishda suv osti suvlari deb o'ylashadi.
Nisbatan o'lchovda ixcham domenga ega bo'lgan suv osti suvi algebraik tarzda tasniflangan tolalar to'plami (xuddi 0 kodi = nisbiy o'lchov 0 kabi).

Yuqori o'lchamlar

Xususan topologik jihatdan qiziqarli xaritalar sinflariga ko'milish, cho'milish va suv osti suvlari kiradi.

Geometrik jihatdan qiziqarli izometriyalar va izometrik immersiyalar.

O'rnatish va suvga cho'mish bo'yicha asosiy natijalarga quyidagilar kiradi:

Ushbu xaritalarni o'rganishda asosiy vositalar:

Gromov h- tamoyillar
Funktsiyalarni hisoblash

Xaritalarni har xil ekvivalentlarga qadar tasniflash mumkin:

Kobordizmgacha bo'lgan diffeomorfizmlar tomonidan tasniflangan Matias Krek:

M. Krek, Diffeomorfizmlarning bordizmi Buqa. Amer. Matematika. Soc. 82-jild, 5-raqam (1976), 759-761.
M. Krek, diffeomorfizmlarning bordizmi va u bilan bog'liq mavzular, Springer Lect. Eslatmalar 1069 (1984)

Shuningdek qarang

Berger tasnifi ning holonomiya guruhlar.