Equichordal nuqtasi muammosi - Equichordal point problem

Yilda Evklid tekisligi geometriyasi, equichordal nuqta muammosi degan savolga a yopiq planar qavariq tanasi ikkita bo'lishi mumkin equichordal nuqtalari.^[1] Muammo dastlab 1916 yilda Fujivara va 1917 yilda Wilhelm Blaschke, Hermann Rothe va Roland Vaytsenbok.^[2] Ushbu muammo bayonotining umumlashtirilishiga 1997 yilda Marek R. Rychlik salbiy javob bergan.^[3]

Muammoni hal qilish

Ekvikordal egri chiziq - bu tekislikdagi nuqta shunday mavjud bo'lgan yopiq tekislik egri chizig'i akkordlar ushbu nuqtadan o'tish uzunligi teng.^[4] Bunday nuqta deyiladi equichordal nuqtasi. Ekvordal egri chiziqlarni bitta ekvikordal nuqta bilan qurish oson,^[4] ayniqsa, egri chiziqlar bo'lganda nosimmetrik;^[5] eng oddiy qurilish a doira.

Uzoq vaqtdan beri ikkita ekvikordal nuqtaga ega bo'lgan qavariq ekvikordal egri chiziq mavjud bo'lmaydi deb taxmin qilishgan. Umuman olganda, a mavjudmi yoki yo'qmi deb so'rashdi Iordaniya egri chizig'i ${ displaystyle C}$ ikkitasi bilan equichordal nuqtalari ${ displaystyle O_ {1}}$ va ${ displaystyle O_ {2}}$ , shunday qilib egri ${ displaystyle C}$ bo'lardi yulduz shaklida har ikki nuqtaning har biriga nisbatan.^[1]^[3]

Eksantriklik (yoki ekssentriklik)

Equichordal egri chiziqlarining ko'pgina natijalari ularning ektsentrikligini anglatadi. Ko'rinib turibdiki, ektsentriklik qancha kichik bo'lsa, egri chiziqlarni ikkita ekrikordal nuqta bilan rad etish shunchalik qiyin bo'ladi. Kichkina ektsentriklik egri chiziqning aylanaga yaqin bo'lishi kerakligini anglatishini qat'iyan ko'rsatish mumkin.^[6]

Ruxsat bering ${ displaystyle C}$ taxminiy bo'ling qavariq egri chiziq ikkitasi bilan equichordal nuqtalari ${ displaystyle O_ {1}}$ va ${ displaystyle O_ {2}}$ . Ruxsat bering ${ displaystyle L}$ egri chiziqning barcha akkordlarining umumiy uzunligi ${ displaystyle C}$ orqali o'tish ${ displaystyle O_ {1}}$ yoki ${ displaystyle O_ {2}}$ . Keyin ektsentriklik bu nisbatdir

{ displaystyle a = { frac { | O_ {1} -O_ {2} |} {L}}}

qayerda ${ displaystyle | O_ {1} -O_ {2} |}$ nuqtalar orasidagi masofa ${ displaystyle O_ {1}}$ va ${ displaystyle O_ {2}}$ .

Muammoning tarixi

Muammo keng qamrovli o'rganildi, uning hal qilinishidan oldin sakkiz yil davomida nashr etilgan muhim hujjatlar:

1916 yilda Fujivara^[7] uchta ekvikordal nuqtali qavariq egri chiziqlar mavjud emasligini isbotladi.
1917 yilda Blaske, Rot va Vaytsenbok^[2] muammoni yana shakllantirdi.
1923 yilda Süss egri chiziqning ma'lum bir simmetriyasini va o'ziga xosligini ko'rsatdi, agar u mavjud bo'lsa.
1953 yilda G. A. Dirak egri chiziqda, agar u mavjud bo'lsa, aniq chegaralarni ko'rsatdi.
1958 yilda Wirsing^[8] egri, agar u mavjud bo'lsa, an bo'lishi kerakligini ko'rsatdi analitik egri chiziq. Ushbu chuqur qog'ozda u muammoni to'g'ri aniqladi barcha buyurtmalardan tashqari bezovtalanish muammosi.
1966 yilda Erxart^[9] > 0,5 ga teng ektsentrikali egri chiziqlar yo'qligini isbotladi.
1988 yilda Miselacci> 0,33 ga teng ektsentrikalikli ekvikordal egri chiziqlar mavjud emasligini isbotladi. Buning tasdig'i yumshoq kompyuter yordamida amalga oshiriladi.
1992 yilda Schäfke va Volkmer^[6] egri chiziq mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan ekssentriklikning eng ko'p sonli qiymatlari mavjudligini ko'rsatdi. Ular kompyuter yordamida isbotlashning mumkin bo'lgan strategiyasini bayon qildilar. Ularning usuli faraziy egri chiziqqa nihoyatda aniq taxminlarni olishdan iborat.
1996 yilda Rychlik^[3] muammoni to'liq hal qildi.

Rychlikning isboti

Marek Richlikning isboti qiyin o'qiladigan maqolada chop etildi.^[3]Bundan tashqari, o'qish uchun qulay, onlayn ravishda mavjud bo'lgan tadqiqot maqolasi,^[10] ammo bu faqat dalilda ishlatilgan g'oyalarga ishora qiladi.

Dalil kompyuterdan foydalanmaydi. Buning o'rniga u a murakkablashuv asl muammoning echimi va nazariyasining umumlashtirilishini rivojlantiradi odatda giperbolik o'zgarmas egri chiziqlar va barqaror manifoldlar ko'p qiymatli xaritalarga ${ displaystyle F: mathbb {C} ^ {2} to mathbb {C} ^ {2}}$ . Ushbu usul global usullaridan foydalanishga imkon beradi kompleks tahlil. Prototipik global teorema bu Liovil teoremasi. Yana bir global teorema Chou teoremasi. Isbotlashda global usul ishlatilgan Ushiki teoremasi.^[11]

Shuningdek qarang

Shunga o'xshash muammolar va ularning umumlashtirilishi ham o'rganilgan.

Adabiyotlar

^ ^a ^b Viktor Kli; Sten Vagon (1991), Samolyotlar geometriyasi va raqamlar nazariyasidagi eski va yangi hal qilinmagan muammolar, Amerika matematik assotsiatsiyasi, doi:10.2277/0883853159, ISBN 978-0-88385-315-3
^ ^a ^b W. Blaschke, W. Rothe va R. Weitztenbock. Aufgabe 552. Arch. Matematika. Fizika., 27:82, 1917
^ ^a ^b ^v ^d Marek R. Rychlik (1997), "Fujivara, Blaske, Rot va Vaytsenbokning ekvikordal nuqta muammosining to'liq echimi", Mathematicae ixtirolari, 129 (1): 141–212, Bibcode:1997InMat.129..141R, doi:10.1007 / s002220050161
^ ^a ^b Stiven G. Krantz (1997), Muammoni hal qilish texnikasi, Amerika matematik jamiyati, ISBN 978-0-8218-0619-7
^ Ferenc Adorján (1999 yil 18 mart), Equichordal egri chiziqlari va ularning qo'llanilishi - pulsatsiyasiz nasos geometriyasi (PDF)
^ ^a ^b R. Shafke va H. Volkmer, ekvikordal muammosining asimptotik tahlili, J. Reyn Anjew. Matematika. 425 (1992), 9-60
^ M. Fujivara. Uber die Mittelkurve zweier geschlossenen konvexen Curven in Bezug auf einen Punkt. Tôhoku Math J., 10: 99-103, 1916
^ E. Wirsing, Zur Analytisität von Doppelspeichkurven, Arch. Matematika. 9 (1958), 300-307.
^ R. Ehrhart, Un ovale à deux points isocordes?, Enseignement Math. 13 (1967), 119-124
^ Marek Rychlik, Equichordal nuqtasi muammosi, AMS elektron tadqiqotlar to'g'risida e'lonlari, 1996 y., 108–123 betlar, onlayn-manzilda mavjud [1]
^ S. Ushiki. Sur les liaisons-cols des systèmes dynamiques analytiques. C. R. Akad. Ilmiy ish. Parij, 291 (7): 447–449, 1980 yil

[problems-geometry-1] Viktor Kli; Sten Vagon (1991), Samolyotlar geometriyasi va raqamlar nazariyasidagi eski va yangi hal qilinmagan muammolar, Amerika matematik assotsiatsiyasi, doi:10.2277/0883853159, ISBN 978-0-88385-315-3

[Blaschke-2] W. Blaschke, W. Rothe va R. Weitztenbock. Aufgabe 552. Arch. Matematika. Fizika., 27:82, 1917

[The_Proof-3] v ^d Marek R. Rychlik (1997), "Fujivara, Blaske, Rot va Vaytsenbokning ekvikordal nuqta muammosining to'liq echimi", Mathematicae ixtirolari, 129 (1): 141–212, Bibcode:1997InMat.129..141R, doi:10.1007 / s002220050161

[equichordal-point-4] Stiven G. Krantz (1997), Muammoni hal qilish texnikasi, Amerika matematik jamiyati, ISBN 978-0-8218-0619-7

[symmetric-5] Ferenc Adorján (1999 yil 18 mart), Equichordal egri chiziqlari va ularning qo'llanilishi - pulsatsiyasiz nasos geometriyasi (PDF)

[Volkmer-6] R. Shafke va H. Volkmer, ekvikordal muammosining asimptotik tahlili, J. Reyn Anjew. Matematika. 425 (1992), 9-60

[Fujiwara-7] M. Fujivara. Uber die Mittelkurve zweier geschlossenen konvexen Curven in Bezug auf einen Punkt. Tôhoku Math J., 10: 99-103, 1916

[Wirsing-8] E. Wirsing, Zur Analytisität von Doppelspeichkurven, Arch. Matematika. 9 (1958), 300-307.

[Erhhart-9] R. Ehrhart, Un ovale à deux points isocordes?, Enseignement Math. 13 (1967), 119-124

[The_Announcement-10] Marek Rychlik, Equichordal nuqtasi muammosi, AMS elektron tadqiqotlar to'g'risida e'lonlari, 1996 y., 108–123 betlar, onlayn-manzilda mavjud [1]

[Ushiki_Standard_Map_Theorem-11] S. Ushiki. Sur les liaisons-cols des systèmes dynamiques analytiques. C. R. Akad. Ilmiy ish. Parij, 291 (7): 447–449, 1980 yil

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]