Tolman - Oppengeymer - Volkoff tenglamasi - Tolman–Oppenheimer–Volkoff equation

Yilda astrofizika, Tolman-Oppengeymer-Volkoff (TOV) tenglamasi modellashtirilgan statik tortishish muvozanatida bo'lgan izotrop materialning sferik nosimmetrik tanasi tuzilishini cheklaydi. umumiy nisbiylik. Tenglama^[1] bu

${displaystyle {frac {dP} {dr}} = - {frac {Gm} {r ^ {2}}} ho chap (1+ {frac {P} {ho c ^ {2}}} ight) left (1 + {frac {4pi r ^ {3} P} {mc ^ {2}}} ight) chap (1- {frac {2Gm} {rc ^ {2}}} ight) ^ {- 1}}$

Bu yerda, ${extstyle r}$ radial koordinatadir va ${extstyle ho (r)}$ va ${extstyle P (r)}$ mos ravishda radiusdagi materialning zichligi va bosimi ${extstyle r}$. Miqdor ${extstyle m (r)}$, ichidagi umumiy massa ${extstyle r}$, quyida muhokama qilinadi.

-Ni yechish orqali tenglama olinadi Eynshteyn tenglamalari umumiy vaqt o'zgarmas, sferik nosimmetrik metrik uchun. Tolman - Oppengeymer - Volkoff tenglamasiga yechim topish uchun ushbu ko'rsatkich quyidagi shaklga ega bo'ladi^[1]

${displaystyle ds ^ {2} = e ^ {u} c ^ {2}, dt ^ {2} -left (1- {frac {2Gm} {rc ^ {2}}} ight) ^ {- 1}, dr ^ {2} -r ^ {2} chap (d heta ^ {2} + sin ^ {2} heta, dphi ^ {2} ight)}$

qayerda ${extstyle u (r)}$ cheklov bilan belgilanadi^[1]

${displaystyle {frac {du} {dr}} = - chap ({frac {2} {P + ho c ^ {2}}} ight) {frac {dP} {dr}}}$

Bilan to'ldirilganda davlat tenglamasi, ${extstyle F (ho, P) = 0}$zichlikni bosim bilan bog'laydigan Tolman-Oppengeymer-Volkoff tenglamasi izotrop materialning sferik nosimmetrik tanasining muvozanatdagi tuzilishini to'liq aniqlaydi. Agar buyurtma shartlari bo'lsa ${extstyle 1 / c ^ {2}}$ beparvo qilingan, Tolman-Oppengeymer-Volkoff tenglamasi Nyutonga aylanadi gidrostatik tenglama, umumiy-relyativistik tuzatishlar muhim bo'lmagan hollarda izotrop materialning sferik nosimmetrik tanasining muvozanat tuzilishini topish uchun ishlatiladi.

Agar tenglama vakuumdagi materialning chegaralangan sferasini modellashtirish uchun ishlatilsa, nol bosim holati ${extstyle P (r) = 0}$ va shart ${extstyle e ^ {u} = 1-2Gm / c ^ {2} r}$ chegarada belgilanishi kerak. Ikkinchi chegara sharti shunday berilganki, chegaradagi metrik uzluksiz statik sferik nosimmetrik yechim bilan uzluksiz bo'ladi. vakuum maydon tenglamalari, Shvartschild metrikasi:

${displaystyle ds ^ {2} = chap (1- {frac {2GM} {rc ^ {2}}} ight) c ^ {2}, dt ^ {2} -left (1- {frac {2GM} {rc ^ {2}}} tun) ^ {- 1}, dr ^ {2} -r ^ {2} (d heta ^ {2} + sin ^ {2} heta, dphi ^ {2})}$

Umumiy massa

${extstyle m (r)}$ radius ichida joylashgan umumiy massa ${extstyle r}$, uzoqdan kuzatuvchi sezgan tortishish kuchi bilan o'lchanadigan. Bu qoniqtiradi ${extstyle m (0) = 0}$.^[1]

${displaystyle {frac {dm} {dr}} = 4pi r ^ {2} ho}$

Bu yerda, ${extstyle M}$ - uzoqdagi kuzatuvchi his qilgan tortishish kuchi bilan o'lchanadigan yana bir narsaning umumiy massasi. Agar chegara bo'lsa ${extstyle r = R}$, metrikaning uzluksizligi va ta'rifi ${extstyle m (r)}$ buni talab qiladi

${displaystyle M = m (R) = int _ {0} ^ {R} 4pi r ^ {2} ho, dr}$

Ob'ektning zichligini uning hajmiga birlashtirish orqali massani hisoblash, aksincha, katta qiymatga ega bo'ladi

${displaystyle M_ {1} = int _ {0} ^ {R} {frac {4pi r ^ {2} ho} {sqrt {1- {frac {2Gm} {rc ^ {2}}}}}}, dr }$

Ushbu ikki miqdor o'rtasidagi farq,

${displaystyle delta M = int _ {0} ^ {R} 4pi r ^ {2} ho chap (1- {frac {1} {sqrt {1- {frac {2Gm} {rc ^ {2}}}}} } ight), dr}$

bo'ladi tortishish kuchi bilan bog'laydigan energiya ob'ektning bo'linishi ${extstyle c ^ {2}}$ va bu salbiy.

Umumiy nisbiylikdan kelib chiqish

Keling, statik, sferik nosimmetrik mukammal suyuqlikni qabul qilaylik. Metrik komponentlar quyidagilarga o'xshash Shvartschild metrikasi:^[2]

${displaystyle c ^ {2}, d au ^ {2} = g_ {mu u}, dx ^ {mu}, dx ^ {u} = e ^ {u} c ^ {2}, dt ^ {2} - e ^ {lambda}, dr ^ {2} -r ^ {2}, d heta ^ {2} -r ^ {2} sin ^ {2} heta, dphi ^ {2}}$

Suyuqlikning mukammal faraziga ko'ra, stress-energiya tensori diagonali (markaziy sferik koordinatalar tizimida), energiya zichligi va bosimning o'ziga xos qiymatlari bilan:

${displaystyle T_ {0} ^ {0} = ho c ^ {2}}$

va

${displaystyle T_ {i} ^ {j} = - Pdelta _ {i} ^ {j}}$

Qaerda ${extstyle ho (r)}$ suyuqlik zichligi va ${extstyle P (r)}$ suyuqlik bosimi.

Keyinchalik davom etish uchun Eynshteynning maydon tenglamalarini echamiz:

${displaystyle {frac {8pi G} {c ^ {4}}} T_ {mu u} = G_ {mu u}}$

Keling, avval ko'rib chiqaylik ${extstyle G_ {00}}$ komponent:

${displaystyle {frac {8pi G} {c ^ {4}}} ho c ^ {2} e ^ {u} = {frac {e ^ {u}} {r ^ {2}}} chap (1- { frac {d} {dr}} re ^ {- lambda} ight)}$

Ushbu ifodani 0 dan to ga birlashtirish ${extstyle r}$, biz olamiz

${displaystyle e ^ {- lambda} = 1- {frac {2Gm} {rc ^ {2}}}}$

qayerda ${extstyle m (r)}$ oldingi bo'limda aniqlanganidek. Keyin, ni ko'rib chiqing ${extstyle G_ {11}}$ komponent. Bizda aniq

${displaystyle - {frac {8pi G} {c ^ {4}}} Pe ^ {lambda} = {frac {-ru '+ e ^ {lambda} -1} {r ^ {2}}}}$

biz buni soddalashtira olamiz (uchun ifodamizni ishlatib ${extstyle e ^ {lambda}}$) ga

${displaystyle {frac {du} {dr}} = {frac {1} {r}} chap (1- {frac {2Gm} {c ^ {2} r}} ight) ^ {- 1} chap ({frac {2Gm} {c ^ {2} r}} + {frac {8pi G} {c ^ {4}}} r ^ {2} Pight)}$

Stress-energiya tensorining uzluksizligini talab qilib, biz ikkinchi tenglamani olamiz: ${extstyle abla _ {mu} T _ {, u} ^ {mu} = 0}$. Buni kuzatish ${extstyle kısmi _ {t} ho = qisman _ {t} P = 0}$ (chunki konfiguratsiya statik deb hisoblanadi) va bu ${extstyle qisman _ {phi} P = qisman _ {heta} P = 0}$ (konfiguratsiya izotropik bo'lgani uchun), biz, ayniqsa, olamiz

${displaystyle 0 = abla _ {mu} T_ {1} ^ {mu} = - {frac {dP} {dr}} - {frac {1} {2}} chap (P + ho c ^ {2} ight) {frac {du} {dr}};}$

Shartlarni qayta tuzish natijasida hosil bo'ladi:^[3]

${displaystyle {frac {dP} {dr}} = - chap ({frac {ho c ^ {2} + P} {2}} ight) {frac {du} {dr}};}$

Bu ikkalasini o'z ichiga olgan ikkita iborani beradi ${extstyle du / dr}$. Yo'q qilish ${extstyle du / dr}$, biz quyidagilarni olamiz:

${displaystyle {frac {dP} {dr}} = - {frac {1} {r}} chap ({frac {ho c ^ {2} + P} {2}} ight) chap ({frac {2Gm} {) c ^ {2} r}} + {frac {8pi G} {c ^ {4}}} r ^ {2} Pight) chap (1- {frac {2Gm} {c ^ {2} r}} ight) ^ {- 1}}$

Bir omilni chiqarib tashlash ${extstyle G / r}$ va 2 va boshqa omillarni qayta tashkil etish ${extstyle c ^ {2}}$ Tolman-Oppengeymer-Volkoff tenglamasini keltirib chiqaradi:

${displaystyle {frac {dP} {dr}} = - {frac {G} {r ^ {2}}} chap (ho + {frac {P} {c ^ {2}}} ight) chap (m + 4pi r ^ {3} {frac {P} {c ^ {2}}} ight) chap (1- {frac {2Gm} {c ^ {2} r}} ight) ^ {- 1}}$

Tarix

Richard C. Tolman 1934 va 1939 yillarda sferik nosimmetrik ko'rsatkichlarni tahlil qildi.^[4][5] Bu erda berilgan tenglama shakli tomonidan olingan J. Robert Oppengeymer va Jorj Volkoff ularning 1939 yilgi "Katta neytron yadrolari to'g'risida" maqolasida.^[1] Ushbu maqolada degeneratsiya holatining tenglamasi Fermi gazi ~ 0.7 yuqori chegarasini hisoblash uchun neytron ishlatilganquyosh massalari a ning tortishish massasi uchun neytron yulduzi. Ushbu holat tenglamasi neytron yulduzi uchun haqiqiy emasligi sababli, bu cheklovchi massa ham noto'g'ri. Foydalanish tortishish to'lqini ikkilikdan kuzatuvlar neytron yulduzlarining birlashishi (kabi) GW170817 ) va elektromagnit nurlanishdan keyingi ma'lumotlar (kilonova ), ma'lumotlarga ko'ra maksimal massa chegarasi 2,17 ga yaqin quyosh massalari.^{[6][7][8][9][10]} Ushbu chegara bo'yicha ilgari hisob-kitoblar 1,5 dan 3,0 gacha quyosh massasini tashkil etadi.^[11]

Nyutondan keyingi taxminiy

In Nyutondan keyingi taxminiy, ya'ni tortishish maydonlari biroz chetga chiqadigan Nyuton maydoni, tenglamani kuchlari bo'yicha kengaytirish mumkin ${extstyle 1 / c ^ {2}}$. Boshqacha qilib aytganda, bizda mavjud

${displaystyle {frac {dP} {dr}} = - {frac {Gm} {r ^ {2}}} ho chap (1+ {frac {P} {ho c ^ {2}}} + {frac {4pi r ^ {3} P} {mc ^ {2}}} + {frac {2Gm} {rc ^ {2}}} ight) + O (c ^ {- 4}).}$

Shuningdek qarang

• Gidrostatik tenglama
• Tolman-Oppengeymer-Volkoff chegarasi
• Eynshteyn maydon tenglamalarining echimlari
• Statik sferik nosimmetrik mukammal suyuqlik

Adabiyotlar