Kasner metrikasi - Kasner metric

Shakl 1. Kasner ko'rsatkichlarining dinamikasi tenglama 2018-04-02 121 2 yilda sferik koordinatalar o'ziga xoslik tomon. Lifshitz-Xalatnikov parametri siz=2 (1/siz= 0,5) va r koordinatasi 2 ga tengp_a(1/siz) τ bu erda τ logaritmik vaqt: τ = ln t.^[1] O'qlar bo'ylab qisqarish chiziqli va bir xil (xaotiklik yo'q).

The Kasner metrikasi (Amerika matematikasi tomonidan ishlab chiqilgan va nomlangan Edvard Kasner 1921 yilda)^[2] bu aniq echim ga Albert Eynshteyn nazariyasi umumiy nisbiylik. Bu anizotropikani tasvirlaydi koinot holda materiya (ya'ni, bu a vakuumli eritma ). Bu har qanday narsada yozilishi mumkin bo'sh vaqt o'lchov ${displaystyle D> 3}$ va tortishish kuchini o'rganish bilan kuchli aloqalarga ega tartibsizlik.

Metrik va shartlar

The metrik yilda ${displaystyle D> 3}$ bo'sh vaqt o'lchovlari

{displaystyle {ext {d}} s ^ {2} = - {ext {d}} t ^ {2} + sum _ {j = 1} ^ {D-1} t ^ {2p_ {j}} [{ ext {d}} x ^ {j}] ^ {2}}

,

va o'z ichiga oladi ${displaystyle D-1}$ doimiylar ${displaystyle p_ {j}}$ , deb nomlangan Kasner eksponentlari. Metrikada teng vaqtli bo'laklari fazoviy tekis bo'lgan bo'shliq vaqti tasvirlangan, ammo bo'shliq kengayish yoki qisqarish qiymatiga qarab turli yo'nalishlarda har xil tezlik bilan qisqaradi. ${displaystyle p_ {j}}$ . Komik koordinatasi farq qiladigan ushbu metrikadagi sinov zarralari ${displaystyle Delta x ^ {j}}$ jismoniy masofa bilan ajralib turadi ${displaystyle t ^ {p_ {j}} Delta x ^ {j}}$ .

Kasner metrikasi - Kasner eksponentlari quyidagilarni qondirganda Eynshteynning vakuumdagi tenglamalarini aniq echimi Kasner shartlari,

{displaystyle sum _ {j = 1} ^ {D-1} p_ {j} = 1,}

{displaystyle sum _ {j = 1} ^ {D-1} p_ {j} ^ {2} = 1.}

Birinchi shart a ni belgilaydi samolyot, Kasner samolyoti, ikkinchisi esa a tasvirlaydi soha, Kasner sohasi. Qarorlar (tanlovi ${displaystyle p_ {j}}$ ) ikki shartni qondirish, shuning uchun ikkala kesishgan sohada yotadi (ba'zida chalkashlik bilan Kasner shar ham deyiladi). Yilda ${displaystyle D}$ bo'sh vaqt o'lchovlari, shuning uchun echimlar maydoni a ga yotadi ${displaystyle D-3}$ o'lchovli soha ${displaystyle S ^ {D-3}}$ .

Xususiyatlari

Kasner echimining bir nechta sezilarli va g'ayrioddiy xususiyatlari mavjud:

Mekansal bo'laklarning hajmi har doim ${displaystyle O (t)}$ . Buning sababi shundaki, ularning hajmi mutanosibdir ${displaystyle {sqrt {-g}}}$ va

{displaystyle {sqrt {-g}} = t ^ {p_ {1} + p_ {2} + cdots + p_ {D-1}} = t}

bu erda biz birinchi Kasner shartidan foydalanganmiz. Shuning uchun

{displaystyle t o 0}

yoki a tasvirlab berishi mumkin Katta portlash yoki a Katta Crunch, ma'nosiga qarab

{displaystyle t}

Izotropik kosmosning kengayishi yoki qisqarishi ruxsat berilmaydi. Agar fazoviy bo'laklar izotropik ravishda kengaygan bo'lsa, unda Kasnerning barcha ko'rsatkichlari teng bo'lishi kerak va shuning uchun ${displaystyle p_ {j} = 1 / (D-1)}$ birinchi Kasner shartini qondirish uchun. Ammo keyinchalik Kasnerning ikkinchi shartini qondirish mumkin emas, chunki

{displaystyle sum _ {j = 1} ^ {D-1} p_ {j} ^ {2} = {frac {1} {D-1}} eq 1.}

The Fridman-Lemitre-Robertson-Uoker metrikasi yilda ishlagan kosmologiya, aksincha, materiya borligi sababli izotropik ravishda kengayishi yoki qisqarishi mumkin.

Yana bir oz ko'proq ish olib borilsa, hech bo'lmaganda bitta Kasner ko'rsatkichi har doim salbiy ekanligini ko'rsatishi mumkin (agar biz bitta echimning birida bo'lmasak) ${displaystyle p_ {j} = 1}$ va qolganlari yo'q bo'lib ketmoqda). Deylik, vaqt koordinatasini olamiz ${displaystyle t}$ noldan oshirish. Bu shuni anglatadiki, bo'shliq hajmi kattalashib bormoqda ${displaystyle t}$ , kamida bitta yo'nalish (salbiy Kasner ko'rsatkichiga mos keladigan) aslida shartnoma.
Kasner metrikasi vakuumli Eynshteyn tenglamalarini echimi va shuning uchun Ricci tensori Kasner shartlarini qondiradigan har qanday eksponentlarni tanlash uchun har doim yo'q bo'lib ketadi. To'liq Riemann tensori faqat bitta bo'lsa yo'qoladi ${displaystyle p_ {j} = 1}$ qolganlari esa yo'q bo'lib ketadi, bu holda bo'shliq tekis bo'ladi. Minkovskiy metrikasini koordinatalarni o'zgartirish orqali tiklash mumkin ${displaystyle t '= tcosh x_ {j}}$ va ${displaystyle x_ {j} '= tsinh x_ {j}}$ .

Shuningdek qarang

Izohlar

^ Uchun ifoda r metrikadagi quvvat koeffitsientlarini logaritlash orqali olingan: ln [t^2p_a(1/siz)] = 2p_a(1/siz) ln t.
^ Kasner, E. "Eynshteynning kosmologik tenglamalari bo'yicha geometrik teoremalar". Am. J. Matematik. 43, 217–221 (1921).

Adabiyotlar

Misner, Charlz V.; Kip S. Torn; Jon Archibald Uiler (1973 yil sentyabr). Gravitatsiya. San-Fransisko: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.

[1] Uchun ifoda r metrikadagi quvvat koeffitsientlarini logaritlash orqali olingan: ln [t^2p_a(1/siz)] = 2p_a(1/siz) ln t.

[2] Kasner, E. "Eynshteynning kosmologik tenglamalari bo'yicha geometrik teoremalar". Am. J. Matematik. 43, 217–221 (1921).

[1]

[2]