Chow guruhi - Chow group

Yilda algebraik geometriya, Chow guruhlari (nomi bilan Vey-Liang Chou tomonidan Klod Chevalley  (1958 )) ning algebraik xilma har qanday narsadan maydon ning algebro-geometrik analoglari homologiya a topologik makon. Chow guruhining elementlari subvaritlardan tashkil topgan (shunday deb ataladi) algebraik tsikllar ) subkomplekslardan soddalashtirilgan yoki uyali gomologik guruhlar qanday shakllanishiga o'xshash tarzda. Turli xil bo'lganda silliq, Chow guruhlarini kohomologiya guruhlari sifatida talqin qilish mumkin (taqqoslang Puankare ikkilik ) va ko'paytmasiga ega kesishish mahsuloti. Chow guruhlari algebraik xilma haqida boy ma'lumotlarga ega va umuman olganda ularni hisoblash qiyin.

Ratsional ekvivalentlik va Chow guruhlari

Quyidagilar uchun a ni aniqlang xilma-xillik maydon ustida ${displaystyle k}$ bo'lish ajralmas sxema ning cheklangan tip ustida ${displaystyle k}$. Har qanday sxema uchun ${displaystyle X}$ cheklangan turdagi ${displaystyle k}$, an algebraik tsikl kuni ${displaystyle X}$ cheklangan degan ma'noni anglatadi chiziqli birikma ning pastki navlari ${displaystyle X}$ bilan tamsayı koeffitsientlar. (Bu erda va pastda, pastki navlarning yopilishi tushuniladi ${displaystyle X}$, agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa.) a tabiiy son ${displaystyle i}$, guruh ${displaystyle Z_ {i} (X)}$ ning ${displaystyle i}$o'lchovli tsikllar (yoki ${displaystyle i}$-tsikllar, qisqasi) bo'yicha ${displaystyle X}$ bo'ladi bepul abeliya guruhi to'plamida ${displaystyle i}$-ning o'lchovli kichik navlari ${displaystyle X}$.

Turli xillik uchun ${displaystyle W}$ o'lchov ${displaystyle i + 1}$ va har qanday ratsional funktsiya ${displaystyle f}$ kuni ${displaystyle W}$ bir xil nolga teng emas bo'luvchi ning ${displaystyle f}$ bo'ladi ${displaystyle i}$- velosiped

${displaystyle (f) = sum _ {Z} operator nomi {ord} _ {Z} (f) Z,}$

bu erda summa hamma narsadan oshib ketadi ${displaystyle i}$- o'lchovli kichik navlar ${displaystyle Z}$ ning ${displaystyle W}$ va butun son ${displaystyle operator nomi {ord} _ {Z} (f)}$ yo'qolish tartibini bildiradi ${displaystyle f}$ birga ${displaystyle Z}$. (Shunday qilib ${displaystyle operator nomi {ord} _ {Z} (f)}$ agar salbiy bo'lsa ${displaystyle f}$ bo'ylab qutb bor ${displaystyle Z}$.) Yo'qolish tartibining ta'rifi biroz ehtiyotkorlik talab qiladi ${displaystyle W}$ yakka.^[1]

Sxema uchun ${displaystyle X}$ cheklangan turdagi ${displaystyle k}$, guruhi ${displaystyle i}$- velosipedlar oqilona nolga teng ning kichik guruhidir ${displaystyle Z_ {i} (X)}$ tsikllar tomonidan hosil qilingan ${displaystyle (f)}$ Barcha uchun ${displaystyle (i + 1)}$- o'lchovli kichik navlar ${displaystyle W}$ ning ${displaystyle X}$ va nolga teng bo'lmagan barcha ratsional funktsiyalar ${displaystyle f}$ kuni ${displaystyle W}$. The Chow guruhi ${displaystyle CH_ {i} (X)}$ ning ${displaystyle i}$- o'lchovli tsikllar yoqilgan ${displaystyle X}$ bo'ladi kvant guruhi ning ${displaystyle Z_ {i} (X)}$ ratsional ravishda nolga teng tsikllarning kichik guruhi tomonidan. Ba'zan kishi yozadi ${displaystyle [Z]}$ subvariety klassi uchun ${displaystyle Z}$ Chow guruhida va agar ikkita kichik nav bo'lsa ${displaystyle Z}$ va ${displaystyle W}$ bor ${displaystyle [Z] = [W]}$, keyin ${displaystyle Z}$ va ${displaystyle W}$ deb aytilgan oqilona teng.

Masalan, qachon ${displaystyle X}$ turli xil o'lchovdir ${displaystyle n}$, Chow guruhi ${displaystyle CH_ {n-1} (X)}$ bo'ladi bo'linuvchi sinf guruhi ning ${displaystyle X}$. Qachon ${displaystyle X}$ silliq ${displaystyle k}$, bu izomorfik Picard guruhi ning chiziqli to'plamlar kuni ${displaystyle X}$.

Ratsional ekvivalentlikka misollar

Proektsion makondagi ratsional ekvivalentlik

Gipersurfalar tomonidan aniqlangan ratsional ekvivalent tsikllarni proektsion fazoda qurish oson, chunki ularning hammasi bir xil vektor to'plamining yo'qolib borayotgan joylari sifatida tuzilishi mumkin. Masalan, darajadagi ikkita bir hil polinom berilgan ${displaystyle d}$, shuning uchun ${displaystyle f, gin H ^ {0} (mathbb {P} ^ {n}, {mathcal {O}} (d))}$, biz yo'qolib borayotgan joy sifatida belgilangan gipersurfalar oilasini qurishimiz mumkin ${displaystyle sf + tg}$. Sxematik ravishda, buni quyidagicha qurish mumkin

${displaystyle X = {ext {Proj}} chap ({frac {mathbb {C} [s, t] [x_ {0}, ldots, x_ {n}]} {(sf + tg)}} ight) hookrightarrow mathbb {P} ^ {1} imes mathbb {P} ^ {n}}$

proektsiyadan foydalanib ${displaystyle pi _ {1}: X o mathbb {P} ^ {1}}$ biz tolani bir nuqtada ko'rishimiz mumkin ${displaystyle [s_ {0}: t_ {0}]}$ tomonidan belgilangan proektsion gipersurfiyadir ${displaystyle s_ {0} f + t_ {0} g}$. Bu darajadan har bir yuqori sirt sathining tsikli sinfi ekanligini ko'rsatish uchun foydalanish mumkin ${displaystyle d}$ ga ratsional ravishda tengdir ${displaystyle d [mathbb {P} ^ {n-1}]}$, beri ${displaystyle sf + tx_ {0} ^ {d}}$ ratsional ekvivalentlikni o'rnatish uchun ishlatilishi mumkin. E'tibor bering ${displaystyle x_ {0} ^ {d} = 0}$ bu ${displaystyle mathbb {P} ^ {n-1}}$ va uning ko'pligi bor ${displaystyle d}$, bu uning tsikl sinfining koeffitsienti.

Egri chiziqdagi tsikllarning ratsional ekvivalenti

Agar biz chiziqli to'plamlarni olsak ${displaystyle L, L'in operator nomi {Pic} (C)}$ silliq proektsion egri chiziq ${displaystyle C}$, keyin ikkala chiziqli to'plamlarning umumiy qismining yo'qolib borayotgan joylari ekvivalent bo'lmagan tsikl sinflarini belgilaydi ${displaystyle CH (C)}$. Buning sababi ${displaystyle operatorname {Div} (C) cong operatorname {Pic} (C)}$ silliq navlar uchun, shuning uchun ${displaystyle sin H ^ {0} (C, L)}$ va ${displaystyle s'in H ^ {0} (C, L ')}$ tengsiz sinflarni aniqlang.

Chou uzuk

Sxema qachon ${displaystyle X}$ maydon ustida silliq ${displaystyle k}$, Chow guruhlari a uzuk, nafaqat darajalangan abeliya guruhi. Ya'ni, qachon ${displaystyle X}$ silliq ${displaystyle k}$, aniqlang ${displaystyle CH ^ {i} (X)}$ ning Chow guruhi bo'lish kod o'lchovi -${displaystyle i}$ tsikllar yoniq ${displaystyle X}$. (Qachon ${displaystyle X}$ turli xil o'lchovdir ${displaystyle n}$, bu shunchaki shuni anglatadi ${displaystyle CH ^ {i} (X) = CH_ {n-i} (X)}$.) Keyin guruhlar ${displaystyle CH ^ {*} (X)}$ kommutativni hosil qilish gradusli uzuk mahsulot bilan:

${displaystyle CH ^ {i} (X) imes CH ^ {j} (X) karapuz CH ^ {i + j} (X).}$

Mahsulot kesishgan algebraik tsikllardan kelib chiqadi. Masalan, agar ${displaystyle Y}$ va ${displaystyle Z}$ ning silliq kichik navlari ${displaystyle X}$ kod o'lchovi ${displaystyle i}$ va ${displaystyle j}$ navbati bilan va agar bo'lsa ${displaystyle Y}$ va ${displaystyle Z}$ kesishmoq ko'ndalangiga, keyin mahsulot ${displaystyle [Y] [Z]}$ yilda ${displaystyle CH ^ {i + j} (X)}$ kesishmaning kamaytirilmaydigan tarkibiy qismlarining yig'indisi ${displaystyle Ycap Z}$, ularning barchasi kodimensiyaga ega ${displaystyle i + j}$.

Umuman olganda, turli holatlarda, kesishish nazariyasi mahsulotni ifodalovchi aniq tsiklni tuzadi ${displaystyle [Y] [Z]}$ Chou halqasida. Masalan, agar ${displaystyle Y}$ va ${displaystyle Z}$ bir-birini to'ldiruvchi o'lchovning kichik navlari (ularning o'lchovlari ${displaystyle X}$) uning kesishishi nol o'lchovga ega, keyin ${displaystyle [Y] [Z]}$ deb nomlangan koeffitsientlar bilan kesishish nuqtalarining yig'indisiga teng kesishish raqamlari. Har qanday kichik navlar uchun ${displaystyle Y}$ va ${displaystyle Z}$ silliq sxemadan ${displaystyle X}$ ustida ${displaystyle k}$, chorrahaning o'lchamlari haqida hech qanday taxmin qilmasdan, Uilyam Fulton va Robert Makferson kesishish nazariyasi Chow guruhlarining kanonik elementini tuzadi ${displaystyle Ycap Z}$ Chou guruhlaridagi ularning obrazi ${displaystyle X}$ mahsulotdir ${displaystyle [Y] [Z]}$.^[2]

Misollar

Proektiv maydon

Chow halqasi proektsion maydon ${displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ har qanday maydon ustida ${displaystyle k}$ uzuk

${displaystyle CH ^ {*} (mathbb {P} ^ {n}) cong mathbf {Z} [H] / (H ^ {n + 1}),}$

qayerda ${displaystyle H}$ - giperplane sinfi (bitta chiziqli funktsiyaning nol joyi). Bundan tashqari, har qanday subvariety ${displaystyle Y}$ ning daraja ${displaystyle d}$ va kodimensiya ${displaystyle a}$ proektsion kosmosda oqilona tengdir ${displaystyle dH ^ {a}}$. Shundan kelib chiqadiki, har qanday ikkita kichik nav uchun ${displaystyle Y}$ va ${displaystyle Z}$ bir-birini to'ldiruvchi o'lchov ${displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ va darajalar ${displaystyle a}$, ${displaystyle b}$o'z navbatida Chow halqasidagi ularning mahsuloti shunchaki

${displaystyle [Y] cdot [Z] = a, b, H ^ {n}}$

qayerda ${displaystyle H ^ {n}}$ a sinfidir ${displaystyle k}$-ratsional nuqta ${displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$. Masalan, agar ${displaystyle Y}$ va ${displaystyle Z}$ ko'ndalang kesishadi, bundan kelib chiqadiki ${displaystyle Ycap Z}$ darajaning nol tsikli ${displaystyle ab}$. Agar asosiy maydon bo'lsa ${displaystyle k}$ bu algebraik yopiq, bu aniq borligini anglatadi ${displaystyle ab}$ kesishish nuqtalari; bu versiyasi Bezut teoremasi, ning klassik natijasi sonli geometriya.

Paketning proektsion formulasi

Vektorli to'plam berilgan ${displaystyle E o X}$ daraja ${displaystyle r}$ silliq to'g'ri sxema bo'yicha ${displaystyle X}$ dala ustida, Choning halqasi bog'liq proektsion to'plam ${displaystyle mathbb {P} (E)}$ ning Chow rishtasi yordamida hisoblash mumkin ${displaystyle X}$ va Chern sinflari ${displaystyle E}$. Agar biz ruxsat bersak ${displaystyle zeta = c_ {1} ({mathcal {O}} _ {mathbb {P} (E)} (1))}$ va ${displaystyle c_ {1}, ldots, c_ {r}}$ Chern sinflari ${displaystyle E}$, keyin halqalarning izomorfizmi mavjud

${displaystyle CH ^ {ullet} (mathbb {P} (E)) cong {frac {CH ^ {ullet} (X) [zeta]} {zeta ^ {r} + c_ {1} zeta ^ {r-1} + c_ {2} zeta ^ {r-2} + cdots + c_ {r}}}}$

Xirzebrux sirtlari

Masalan, a ning Chow halqasi Xirzebrux yuzasi proektiv paket formulasi yordamida osongina hisoblash mumkin. Eslatib o'tamiz ${displaystyle F_ {a} = mathbb {P} ({mathcal {O}} oplus {mathcal {O}} (a))}$ ustida ${displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$. Ushbu vektor to'plamining yagona ahamiyatsiz Chern klassi ${displaystyle c_ {1} = aH}$. Bu Chow halqasi izomorfik ekanligini anglatadi

${displaystyle CH ^ {ullet} (F_ {a}) cong {frac {CH ^ {ullet} (mathbb {P} ^ {1}) [zeta]} {(zeta ^ {2} + aHzeta)}} cong { frac {mathbf {Z} [H, zeta]} {(H ^ {2}, zeta ^ {2} + aHzeta)}}}$

Izohlar

Boshqa algebraik navlar uchun Chow guruhlari yanada boy xulq-atvorga ega bo'lishi mumkin. Masalan, ruxsat bering ${displaystyle X}$ bo'lish elliptik egri chiziq maydon ustida ${displaystyle k}$. Keyin nol davrlarning Chow guruhi yoqiladi ${displaystyle X}$ ga mos keladi aniq ketma-ketlik

${displaystyle 0ightarrow X (k) reararrow CH_ {0} (X) reararrow mathbf {Z} rightarrow 0.}$

Shunday qilib elliptik egri chiziqning Chou guruhi ${displaystyle X}$ guruh bilan chambarchas bog'liqdir ${displaystyle X (k)}$ ning ${displaystyle k}$-ratsional fikrlar ning ${displaystyle X}$. Qachon ${displaystyle k}$ a raqam maydoni, ${displaystyle X (k)}$ deyiladi Mordell-Vayl guruhi ning ${displaystyle X}$va sonlar nazariyasining eng chuqur muammolari bu guruhni tushunishga urinishlardir. Qachon ${displaystyle k}$ murakkab sonlar, elliptik egri chiziqning misoli Chow guruhlari bo'lishi mumkinligini ko'rsatadi sanoqsiz abeliy guruhlari.

Funktsionallik

Uchun to'g'ri morfizm ${displaystyle f: X o Y}$ sxemalar tugadi ${displaystyle k}$bor oldinga siljigan homomorfizm ${displaystyle f _ {*}: CH_ {i} (X) o CH_ {i} (Y)}$ har bir butun son uchun ${displaystyle i}$. Masalan, a uchun to'g'ri sxema ${displaystyle X}$ ustida ${displaystyle k}$, bu homomorfizmni beradi ${displaystyle CH_ {0} (X) o mathbf {Z}}$, bu yopiq nuqtani oladi ${displaystyle X}$ uning darajasiga qadar ${displaystyle k}$. (Yopiq nuqta ${displaystyle X}$ shaklga ega ${displaystyle operator nomi {Spec} (E)}$ cheklangan kengaytma maydoni uchun ${displaystyle E}$ ning ${displaystyle k}$va uning darajasi bu degani daraja maydonning ${displaystyle E}$ ustida ${displaystyle k}$.)

Uchun tekis morfizm ${displaystyle f: X o Y}$ sxemalar tugadi ${displaystyle k}$ o'lchamdagi tolalar bilan ${displaystyle r}$ (ehtimol bo'sh), a mavjud homomorfizm ${displaystyle f ^ {*}: CH_ {i} (Y) o CH_ {i + r} (X)}$.

Chow guruhlari uchun asosiy hisoblash vositasi bu lokalizatsiya ketma-ketligi, quyidagicha. Sxema uchun ${displaystyle X}$ maydon ustida ${displaystyle k}$ va yopiq pastki qism ${displaystyle Z}$ ning ${displaystyle X}$, bor aniq ketma-ketlik

${displaystyle CH_ {i} (Z) qurol-yarog 'CH_ {i} (X) qurol-yaroqli CH_ {i} (X-Z) qurol-yarog' 0,}$

bu erda birinchi homomorfizm - to'g'ri morfizm bilan bog'liq bo'lgan surishtiruvchi ${displaystyle Z o X}$, ikkinchi gomomorfizm esa tekis morfizmga nisbatan orqaga tortilishdir ${displaystyle X-Z o X}$.^[3] Lokalizatsiya ketma-ketligini Chow guruhlarini umumlashtirish yordamida chapga uzaytirish mumkin, (Borel-Mur) motivatsion homologiya deb nomlanuvchi guruhlar yuqori chow guruhlari.^[4]

Har qanday morfizm uchun ${displaystyle f: X o Y}$ silliq sxemalar ${displaystyle k}$, orqaga tortish homomorfizmi mavjud ${displaystyle f ^ {*}: CH ^ {i} (Y) o CH ^ {i} (X)}$, bu aslida halqali homomorfizmdir ${displaystyle CH ^ {*} (Y) o CH ^ {*} (X)}$.

Yassi orqaga tortish misollari

Shuni esda tutingki, noan'anaviy namunalarni zarba yordamida qurish mumkin; masalan, kelib chiqishi portlashini olsak ${displaystyle mathbb {A} ^ {2}}$ u holda kelib chiqishi bo'yicha tola izomorfik bo'ladi ${displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$.

Egri chiziqlarning tarvaqaylab qo'yilgan qoplamalari

Egri chiziqlarning tarvaqaylab qo'yilishini ko'rib chiqing

${displaystyle f: operatorname {Spec} left ({frac {mathbb {C} [x, y]} {(f (x) -g (x, y))}} ight) o mathbb {A} _ {x} ^ {1}}$

Chunki morfizm har doim o'zgarib turadi ${displaystyle f (alfa) = 0}$ biz faktorizatsiyani olamiz

${displaystyle g (alfa, y) = (y-a_ {1}) ^ {e_ {1}} cdots (y-a_ {k}) ^ {e_ {k}}}$

qaerda biri ${displaystyle e_ {i}> 1}$. Bu shuni anglatadiki, fikrlar ${displaystyle {alfa _ {1}, ldots, alfa _ {k}} = f ^ {- 1} (alfa)}$ ko'pliklarga ega ${displaystyle e_ {1}, ldots, e_ {k}}$ navbati bilan. Nuqtaning tekis orqaga tortilishi ${displaystyle alfa}$ keyin

${displaystyle f ^ {*} [alfa] = e_ {1} [alfa] + cdots + e_ {k} [alfa _ {k}]}$

Yassi navlari oilasi

Turlarning tekis oilasini ko'rib chiqing

${displaystyle X o S}$

va subvariety ${displaystyle S'subset S}$. Keyinchalik, kartezyen kvadratidan foydalanib

${displaystyle {egin {matrix} S 'imes _ {S} X & o & X downarrow && downarrow S' & o & Send {matrix}}}$

ning tasvirini ko'rayapmiz ${displaystyle S 'imes _ {S} X}$ ning subvarietyidir ${displaystyle X}$. Shuning uchun bizda

${displaystyle f ^ {*} [S '] = [S' imes _ {S} X]}$

Velosiped xaritalari

Bir nechta gomomorfizmlar mavjud tsikl xaritalari) Chow guruhlaridan ko'proq hisoblanadigan nazariyalarga.

Birinchidan, sxema uchun X murakkab sonlar ustida Chow guruhlaridan to gomomorfizm mavjud Borel-Mur homologiyasi:^[5]

${displaystyle {mathit {CH}} _ {i} (X) qurol-yarog 'H_ {2i} ^ {BM} (X, mathbf {Z}).}$

2 faktor paydo bo'ladi, chunki menning o'lchovli kichikligi X haqiqiy o'lchovga ega 2men. Qachon X murakkab raqamlar bo'yicha silliq, ushbu tsikl xaritasi yordamida qayta yozish mumkin Puankare ikkilik homomorfizm sifatida

${displaystyle {mathit {CH}} ^ {j} (X) qurol-yarog 'H ^ {2j} (X, mathbf {Z}).}$

Ushbu holatda (X silliq C), bu homomorfizmlar Chou halqasidan kohomologik halqaga qadar halqa homomorfizmini hosil qiladi. Intuitiv ravishda, buning sababi shundaki, Chou halqasidagi va kohomologik halqadagi mahsulotlar tsikllarning kesishishini tavsiflaydi.

Yumshoq kompleks uchun proektiv xilma, yanada boy nazariya orqali Chou halqasidan oddiy kohomologik omillarga tsikl xaritasi, Deligne kohomologiyasi.^[6] Bunga quyidagilar kiradi Abel-Jakobi xaritasi gomologik jihatdan nolga teng tsikllardan oraliq Jacobian. The eksponensial ketma-ketlik buni ko'rsatadi CH¹(X) Deligne kohomologiyasiga izomorfik xaritalarni qo'shadi, ammo bu bajarilmaydi CH^j(X) bilan j > 1.

Sxema uchun X o'zboshimchalik bilan maydon ustida k, Chou guruhlaridan (Borel-Mur) o'xshash tsikl xaritasi mavjud. etale homologiyasi. Qachon X silliq k, bu homomorfizmni Chou halqasidan etale kohomologiyasigacha bo'lgan halqa homomorfizmi bilan aniqlash mumkin.^[7]

K-nazariyasi bilan bog'liqligi

An (algebraik) vektor to'plami E silliq sxema bo'yicha X maydon ustida bor Chern sinflari v_men(E) ichida CH^men(X), topologiyada bo'lgani kabi bir xil rasmiy xususiyatlarga ega.^[8] Chern sinflari vektor to'plamlari va Chow guruhlari o'rtasida yaqin aloqani o'rnatadi. Ya'ni, ruxsat bering K₀(X) bo'lishi Grothendieck guruhi vektor to'plamlari yoniq X. Ning bir qismi sifatida Grothendiek-Riemann-Roch teoremasi, Grothendieck ekanligini ko'rsatdi Chern xarakteri izomorfizm beradi

${displaystyle K_ {0} (X) otimes _ {mathbf {Z}} mathbf {Q} cong prod _ {i} {mathit {CH}} ^ {i} (X) otimes _ {mathbf {Z}} mathbf { S}.}$

Ushbu izomorfizm boshqalarga nisbatan oqilona ekvivalentlikning muhimligini ko'rsatadi yetarli ekvivalentlik munosabati algebraik tsikllarda.

Gumonlar

Algebraik geometriya va sonlar nazariyasidagi ba'zi bir chuqur taxminlar Chou guruhlarini tushunishga urinishlardir. Masalan:

• The Mordell - Vayl teoremasi divizor sinf guruhi degan ma'noni anglatadi CH_n-1(X) har qanday nav uchun yakuniy hosil bo'ladi X o'lchov n raqam maydonida. Barcha Chow guruhlari sonli maydon bo'yicha har bir nav uchun yakuniy ravishda tuziladimi, bu ochiq muammo. The Bloch –Kato gumon yoqilgan L funktsiyalarining qiymatlari ushbu guruhlar oxirigacha hosil bo'lishini taxmin qiladi. Bundan tashqari, modulli gomologik ekvivalentlik tsikllari guruhining darajasi, shuningdek, gomologik jihatdan nolga teng tsikllar guruhining darajasi, berilgan navning L funktsiyasining ma'lum tamsayı nuqtalarida yo'qolish tartibiga teng bo'lishi kerak. Ushbu darajalarning yakuniyligi quyidagilardan kelib chiqadi Bass gumoni algebraik K-nazariyasida.
• Yumshoq murakkab proektsion xilma uchun X, Hodge taxmin tasvirni bashorat qiladi (tensorlangan mantiqiy asoslar bilan Q) tsikl xaritasini Chow guruhlaridan singul kohomologiyasiga qadar. Cheklangan hosil bo'lgan maydon bo'ylab tekis proektsion xilma uchun (masalan, a cheklangan maydon yoki raqam maydoni), the Tate gumoni tasvirni bashorat qiladi (bilan tensorlangan Q_l) Chow guruhlaridan tsikl xaritasini l-adik kohomologiya.
• Yumshoq proektsion xilma uchun X har qanday maydonda Bloch –Beylinson gipoteza Chow guruhlarida filtratsiyani bashorat qiladi X (ratsionallik bilan tensorlangan) kuchli xususiyatlarga ega.^[9] Gipoteza singular yoki etale kohomologiyasi o'rtasida chambarchas bog'liqlikni anglatadi X va Chow guruhlari X.

Masalan, ruxsat bering X silliq murakkab proektsion sirt bo'ling. Nol davrlarining Chow guruhi yoqilgan X homomorfizm darajasi bo'yicha butun sonlarga xaritalar; ruxsat bering K yadro bo'ling. Agar geometrik tur h⁰(X, Ω²) nolga teng emas, Mumford buni ko'rsatdi K "cheksiz o'lchovli" (nol tsiklli har qanday cheklangan o'lchovli oilaning tasviri emas) X).^[10] Bloch-Beylinson gumoni qoniqarli suhbatni anglatadi. Blokning gipotezasi nol tsikllarda: silliq murakkab proektsion sirt uchun X geometrik jins nol bilan, K cheklangan o'lchovli bo'lishi kerak; aniqrog'i, izomorfik jihatdan ning murakkab nuqtalari guruhiga mos kelishi kerak Alban navlari ning X.^[11]

Variantlar

Bivariant nazariyasi

Fulton va MacPherson "Chow uzukni" ni aniqlab, yakka navlarga kengaytirdi.operatsion Chou uzuk "va umuman olganda sxemalarning har qanday morfizmi bilan bog'liq bivariant nazariya.^[12] Bivariant nazariyasi kovariant va ziddiyatli juftlikdir funktsiyalar xaritaga tayinlangan a guruh va a uzuk navbati bilan. U a kohomologiya nazariyasi, bu bo'shliqqa halqa tayinlaydigan qarama-qarshi funktsiya, ya'ni a kogomologik halqa. "Bivariant" nomi nazariya kovariant va qarama-qarshi funktsiyalarni o'z ichiga olganligini anglatadi.^[13]

Bu ma'lum ma'noda Chou halqasining yakka navlarga qadar kengaytirilishi; kabi boshqa nazariyalar motivatsion kohomologiya operatsion Chou halqasiga xarita.^[14]

Boshqa variantlar

Arifmetik Chow guruhlari Chow guruhlarining birlashishi Q komponentlarni kodlash bilan birga Arakelov - nazariy ma'lumot, ya'ni differentsial shakllar bog'liq bo'lgan murakkab manifoldda.

Maydon bo'yicha cheklangan turdagi sxemalar guruhlari nazariyasi osongina kengayadi algebraik bo'shliqlar. Ushbu kengaytmaning asosiy afzalligi shundaki, ikkinchi toifadagi kvotentsiyalarni tuzish osonroq va shu sababli ko'rib chiqish tabiiydir ekvariant Chow guruhlari algebraik bo'shliqlar. Keyinchalik dahshatli kengaytma - bu Chow guruhi, faqat ba'zi bir maxsus holatlarda qurilgan va ayniqsa a ma'nosini anglash uchun zarur bo'lgan virtual fundamental sinf.

Tarix

Bo'luvchilarning ratsional ekvivalenti (ma'lum chiziqli ekvivalentlik ) 19-asr davomida turli shakllarda o'rganilib, ideal sinf guruhi sonlar nazariyasida va Jacobian xilma-xilligi algebraik egri chiziqlar nazariyasida. Yuqori darajali tsikllar uchun ratsional ekvivalentlik joriy etildi Franchesko Severi 1930-yillarda. 1956 yilda, Vey-Liang Chou yordamida kesishuv mahsuloti silliq kvazi proektsion xilma uchun modulli ratsional ekvivalentlik tsikllarida aniq belgilanganligiga ta'sirchan dalil keltirdi. Chou harakatlanuvchi lemma. 1970-yillardan boshlab, Fulton va MacPherson iloji boricha singular navlar bilan ishlaydigan Chow guruhlari uchun hozirgi standart asosni yaratdi. Ularning nazariyasiga ko'ra silliq navlar uchun kesishish mahsuloti tomonidan qurilgan normal konusga deformatsiya.^[15]

Shuningdek qarang

• Kesishmalar nazariyasi
• Grothendiek-Riemann-Roch teoremasi
• Hodge taxmin
• Motiv (algebraik geometriya)

Adabiyotlar

Iqtiboslar

Kirish

• Eyzenbud, Devid; Xarris, Djo, 3264 va bularning barchasi: algebraik geometriyaning ikkinchi kursi

Ilg'or

• Bloch, Spenser (1986), "Algebraic циклlar va undan yuqori K- nazariya ", Matematikaning yutuqlari, 61 (3): 267–304, doi:10.1016/0001-8708(86)90081-2, ISSN  0001-8708, JANOB  0852815
• Klod, Chevalley (1958), "Les classes d'équivalence rationnelle, men", Anneaux de Chow va ilovalar, Séminaire Klod Chevalley, 3
• Klod, Chevalley (1958), "Les classes d'équivalence rationnelle, II", Anneaux de Chow va ilovalar, Séminaire Klod Chevalley, 3
• Chou, Vey-Liang (1956), "Algebraik xilma-xillik davrlarining ekvivalentligi sinflari to'g'risida", Matematika yilnomalari, 64: 450–479, doi:10.2307/1969596, ISSN  0003-486X, JANOB  0082173
• Deligne, Per (1977), Cohomologie Etale (SGA 4 1/2), Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-08066-4, JANOB  0463174
• Fulton, Uilyam (1998), Kesishmalar nazariyasi, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98549-7, JANOB  1644323
• Severi, Franchesko (1932), "La serie canonica e la teoria delle serie principali di gruppi di punti sopra una superficie algebrica", Matematik Helvetici sharhi, 4: 268–326, doi:10.1007 / bf01202721, JFM  58.1229.01
• Voevodskiy, Vladimir (2000), "Bir maydon uchun motivlarning uchburchak toifalari", Tsikllar, transferlar va motivatsion gomologiya nazariyalari, Prinston universiteti matbuoti, 188-238 betlar, ISBN  9781400837120, JANOB  1764202
• Voisin, Kler (2002), Hodge nazariyasi va murakkab algebraik geometriya (2 jild), Kembrij universiteti matbuoti, ISBN  978-0-521-71801-1, JANOB  1997577