Gravitatsiya uchun Gauss qonuni - Gausss law for gravity

Yilda fizika, Yer tortish kuchi uchun Gauss qonuni, shuningdek, nomi bilan tanilgan Gravning tortishish uchun oqim teoremasi, ga teng bo'lgan fizika qonunidir Nyutonning butun olam tortishish qonuni. Uning nomi berilgan Karl Fridrix Gauss. Gravsning tortishish qonuni Nyuton qonuniga qaraganda tez-tez ishlash uchun qulayroqdir.

Gravlik tortishish qonunining shakli matematik jihatdan o'xshashdir Gauss qonuni uchun elektrostatik, bittasi Maksvell tenglamalari. Gravsning tortishish qonuni Nyuton qonuni bilan elektrostatikaga oid Gauss qonuni bilan bir xil matematik munosabatlarga ega. Kulon qonuni. Buning sababi Nyuton qonuni ham, Kulon qonuni ham ta'riflaydi teskari kvadrat 3 o'lchovli kosmosdagi o'zaro ta'sir.

Qonunning sifatli bayoni

The tortishish maydoni g (shuningdek, deyiladi tortishish tezlashishi ) - bu vektor maydoni - fazoning har bir nuqtasidagi vektor (va vaqt). Zarrada sodir bo'lgan tortishish kuchi zarrachaning massasi shu nuqtada tortishish maydoniga ko'paytirilishiga teng bo'lishi uchun shunday aniqlanadi.

Gravitatsion oqim a sirt integral tortishish maydonining yopiq sirt ustida, shunga o'xshash tarzda magnit oqimi magnit maydonining sirt integralidir.

Gravsning tortishish to'g'risidagi qonuni shunday deydi:

Har qanday gravitatsiyaviy oqim yopiq sirt ilova qilingan bilan mutanosib massa.

Integral shakl

Tortishish uchun Gauss qonunining ajralmas shakli quyidagicha:

qayerda

${ displaystyle scriptstyle qisman V}$ (shuningdek yozilgan ${ displaystyle oint _ { qisman V}}$) yopiq sirt ustida sirt integralini bildiradi,

∂V har qanday yopiq sirtdir chegara o'zboshimchalik bilan hajm V),

dA a vektor, uning kattaligi an cheksiz yuzaning bo'lagi ∂Vva uning yo'nalishi tashqi tomonga yo'naltirilgan sirt normal (qarang sirt integral batafsil ma'lumot uchun),

g bo'ladi tortishish maydoni,

G universaldir tortishish doimiysi va

M surface sirt ichida yopilgan umumiy massaV.

Ushbu tenglamaning chap tomoni deyiladi oqim tortishish maydonining E'tibor bering, qonunga binoan u har doim salbiy (yoki nol), hech qachon ijobiy bo'lmaydi. Bunga qarama-qarshi bo'lishi mumkin Gauss qonuni oqim ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin bo'lgan elektr energiyasi uchun. Farqi shundaki zaryadlash ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin, ammo massa faqat ijobiy bo'lishi mumkin.

Differentsial shakl

Gravitatsiya holatlari uchun Gauss qonunining differentsial shakli

qayerda ${ displaystyle nabla cdot}$ bildiradi kelishmovchilik, G universaldir tortishish doimiysi va r bo'ladi massa zichligi har bir nuqtada.

Integral shaklga bog'liqlik

Gravning tortishish qonunining ikki shakli matematik jihatdan tengdir. The divergensiya teoremasi aytadi:

${ displaystyle oint _ { kısmi V} mathbf {g} cdot d mathbf {A} = int _ {V} nabla cdot mathbf {g} dV}$

qayerda V oddiy yopiq yo'naltirilgan sirt bilan chegaralangan yopiq mintaqadirV va dV hajmning cheksiz kichik qismidir V (qarang hajm integral batafsil ma'lumot uchun). Gravitatsion maydon g a bo'lishi kerak doimiy ravishda farqlanadigan atrofida joylashgan vektor maydoni V.

Shuni ham hisobga olsak

${ displaystyle M = int _ {V} rho dV}$

biz tortishish uchun Gauss qonunining ajralmas shakli uchun divergentsiya teoremasini qo'llashimiz mumkin, bu quyidagicha bo'ladi:

${ displaystyle int _ {V} nabla cdot mathbf {g} dV = -4 pi G int _ {V} rho dV}$

qayta yozilishi mumkin:

${ displaystyle int _ {V} ( nabla cdot mathbf {g}) dV = int _ {V} (- 4 pi G rho) dV.}$

Bu mumkin bo'lgan har bir hajm uchun bir vaqtning o'zida ushlab turilishi kerak V; bu sodir bo'lishi mumkin bo'lgan yagona usul, agar integrallar teng bo'lsa. Shuning uchun biz etib kelamiz

${ displaystyle nabla cdot mathbf {g} = -4 pi G rho,}$

bu tortishish uchun Gauss qonunining differentsial shakli.

Ushbu usulning teskari usuli yordamida differentsial shakldan integral shaklni olish mumkin.

Garchi ikkala shakl teng bo'lsa-da, ulardan biri yoki boshqasi ma'lum bir hisoblashda foydalanish uchun qulayroq bo'lishi mumkin.

Nyuton qonuni bilan bog'liqlik

Nyuton qonunidan Gauss qonunini chiqarish

Yer tortish kuchi uchun Gauss qonunidan kelib chiqish mumkin Nyutonning butun olam tortishish qonuni, bu tortishish maydoni tufayli a ekanligini ta'kidlaydi massa bu:

${ displaystyle mathbf {g} ( mathbf {r}) = - GM { frac { mathbf {e_ {r}}} {r ^ {2}}}}$

qayerda

e_r radialdir birlik vektori,

r radiusi, |r|.

M a deb qabul qilingan zarrachaning massasi massa da joylashgan kelib chiqishi.

Vektorli hisob yordamida dalil quyidagi maydonchada ko'rsatilgan. Bu matematik jihatdan isbot bilan bir xildir Gauss qonuni (ichida.) elektrostatik ) dan boshlab Kulon qonuni.^[1]

Tasdiqlash sxemasi: (o'ng tomonda [ko'rsatish] tugmasini bosing.)

g(r), tortishish maydoni at r, hissasini qo'shish orqali hisoblash mumkin g(r) koinotdagi har bir massa tufayli (qarang superpozitsiya printsipi ). Buning uchun biz har bir nuqta bo'yicha birlashamiz s ga qo'shgan hissangizni qo'shib, kosmosda g(r) at massasi bilan bog'liq (agar mavjud bo'lsa) s, bu erda bu hissa Nyuton qonuni bilan hisoblanadi. Natija: ${ displaystyle mathbf {g} ( mathbf {r}) = - G int rho ( mathbf {s}) { frac {( mathbf {r} - mathbf {s})} {| mathbf {r} - mathbf {s} | ^ {3}}} d ^ {3} mathbf {s}.}$ (d3s d ni anglatadisxdsydsz, ularning har biri -∞ dan + ∞ gacha integrallangan.) Agar bu tenglamaning ikkala tomonining divergentsiyasini olsak rva ma'lum teoremadan foydalaning[1] ${ displaystyle nabla cdot chap ({ frac { mathbf {r}} {| mathbf {r} | ^ {3}}} o'ng) = 4 pi delta ( mathbf {r}) }$ qaerda δ (r) bo'ladi Dirac delta funktsiyasi, natija ${ displaystyle nabla cdot mathbf {g} ( mathbf {r}) = - 4 pi G int rho ( mathbf {s}) delta ( mathbf {r} - mathbf {s }) d ^ {3} mathbf {s}.}$ Dirac delta funktsiyasining "saralash xususiyati" dan foydalanib, biz etib boramiz ${ displaystyle nabla cdot mathbf {g} ( mathbf {r}) = - 4 pi G rho ( mathbf {r})}$ bu tortishish uchun Gauss qonunining istalgancha differentsial shakli.

Nyuton qonunini Gauss qonuni va irrotatsionallikdan chiqarish

Nyuton qonunini Gauss qonunidan matematik ravishda isbotlash mumkin emas yolg'iz, chunki Gauss qonuni divergentsiyani aniqlaydi g ammo tegishli ma'lumotlarga ega emas burish ning g (qarang Helmgoltsning parchalanishi ). Gauss qonuni bilan bir qatorda, bu taxmin ham qo'llaniladi g bu irrotatsion (nol burilishiga ega), chunki tortishish a konservativ kuch:

${ displaystyle nabla times mathbf {g} = 0}$

Hatto bu etarli emas: chegara shartlari yoqilgan g Nyuton qonunini isbotlash uchun ham zarur, masalan, maydon massadan cheksiz nolga teng degan taxmin.

Ushbu taxminlardan Nyuton qonunining isboti quyidagicha:

Isbotning konturi

Gauss qonunining ajralmas shaklidan boshlang: ${ displaystyle oint _ { kısmi V} mathbf {g} cdot d mathbf {A} = -4 pi GM.}$ Ushbu qonunni ovoz balandligi holatiga qo'llang V radius sharidir r massa markazida joylashgan M. Nuqta massasidan tortishish maydonini sferik nosimmetrik bo'lishini kutish oqilona. (Biz soddalik uchun dalillarni o'tkazib yubormaymiz.) Ushbu taxminni aytib, g quyidagi shaklni oladi: ${ displaystyle mathbf {g} ( mathbf {r}) = g (r) mathbf {e_ {r}}}$ (ya'ni, yo'nalishi g yo'nalishiga parallel rva kattaligi g ning yo'nalishiga emas, balki kattaligiga bog'liq r). Buni ulab, va ∂ haqiqatidan foydalanibV doimiy bo'lgan sferik sirtdir r va maydon ${ displaystyle 4 pi r ^ {2}}$, ${ displaystyle g (r) oint _ { qismli V} mathbf {e_ {r}} cdot d mathbf {A} = -4 pi GM}$ ${ displaystyle g (r) (4 pi r ^ {2}) = - 4 pi GM}$ ${ displaystyle g (r) = - GM / r ^ {2}}$ ${ displaystyle mathbf {g} ( mathbf {r}) = - GM { frac { mathbf {e_ {r}}} {r ^ {2}}}}$ bu Nyuton qonuni.

Puasson tenglamasi va tortishish potentsiali

Gravitatsiyaviy maydon nol kıvrılmasına ega bo'lgani uchun (teng ravishda, tortishish a konservativ kuch ) yuqorida aytib o'tilganidek, deb yozilishi mumkin gradient a skalar potentsiali, deb nomlangan tortishish potentsiali:

${ displaystyle mathbf {g} = - nabla phi.}$

Keyin tortishish uchun Gauss qonunining differentsial shakli bo'ladi Puasson tenglamasi:

${ displaystyle nabla ^ {2} phi = 4 pi G rho.}$

Bu tortishish potentsiali va tortishish maydonini hisoblashning muqobil vositasini taqdim etadi. Hisoblash bo'lsa ham g orqali Puasson tenglamasi matematik jihatdan hisoblashga tengdir g to'g'ridan-to'g'ri Gauss qonunidan kelib chiqqan holda, u yoki bu yondashuv muayyan vaziyatda osonroq hisoblash bo'lishi mumkin.

Radial nosimmetrik tizimlarda tortishish potentsiali faqat bitta o'zgaruvchining funktsiyasidir (ya'ni, ${ displaystyle r = | mathbf {r} |}$) va Puasson tenglamasi (qarang) Silindrsimon va sferik koordinatalarda Del ):

${ displaystyle { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { qismli} { qisman r}} chap (r ^ {2} , { frac { qismli phi} { qisman r}} o'ng) = 4 pi G rho (r)}$

tortishish maydoni esa:

${ displaystyle mathbf {g} ( mathbf {r}) = - mathbf {e_ {r}} { frac { kısalt phi} { qismli r}}.}$

Tenglamani echishda shuni hisobga olish kerakki, cheklangan zichlikda ∂ϕ/∂r chegaralarida (zichlikning uzilishlari) doimiy va nolga teng bo'lishi kerak r = 0.

Ilovalar

Nyuton qonunini to'g'ridan-to'g'ri qo'llash qiyinroq (ammo mumkin emas) bo'lgan ba'zi hollarda Gauss qonuni tortishish maydonini osongina olish uchun ishlatilishi mumkin. Maqolaga qarang Gauss yuzasi ushbu hosilalar qanday bajarilishi haqida ko'proq ma'lumot olish uchun. Uchta dastur quyidagicha:

Buger plitasi

Biz xulosa qilishimiz mumkin ("yordamida"Gauss pillbox ") cheksiz, tekis plastinka uchun (Buger plitasi ) har qanday cheklangan qalinlikning, plastinka tashqarisidagi tortishish maydoni plastinkaga, unga qarab perpendikulyar, kattaligi 2 ga teng..G plastinka masofasidan mustaqil ravishda, birlik birligi uchun massani ko'paytiradi^[2] (Shuningdek qarang tortishish anomaliyalari ).

Umuman olganda, bitta dekart koordinatasiga bog'liq holda zichlik bilan massa taqsimoti uchun z faqat, har qanday kishi uchun tortishish kuchi z 2..G Buning har ikki tomonidagi birlik birligi uchun massa farqining marta z qiymat.

Xususan, bitta massivga teng massali ikkita parallel cheksiz plitalarning parallel birikmasi ular orasida tortishish maydonini hosil qilmaydi.

Silindrsimon nosimmetrik massa taqsimoti

Cheksiz forma bo'lsa (in.) z) silindrsimon nosimmetrik massa taqsimoti, biz xulosa qilishimiz mumkin (silindrsimon yordamida) Gauss yuzasi ) masofaning maydon kuchliligi r markazdan ichkariga 2 kattalik bilanG/r kattaroq masofadagi har qanday massadan qat'i nazar, kichikroq masofada (o'qdan) birlik uzunlikdagi umumiy massani ko'paytiradi.

Masalan, cheksiz bir xil ichi bo'sh silindr ichida maydon nolga teng.

Sferik nosimmetrik massa taqsimoti

Sferik nosimmetrik massa taqsimotida biz (sharsimon yordamida) xulosa qilishimiz mumkin Gauss yuzasi ) masofaning maydon kuchliligi r kattaligi bilan markazdan ichkariga qarab G/r² nisbatan kichikroq masofadagi umumiy massani faqat marta ko'paytiradi r. Barcha massa nisbatan katta masofada r markazdan hech qanday natija bo'lmaydi.

Masalan, ichi bo'sh shar, ichkarida aniq tortishish kuchini keltirib chiqarmaydi. Ichidagi tortishish maydoni xuddi xuddi ichi bo'sh soha yo'qligi bilan bir xil (ya'ni, natijada paydo bo'lgan maydon - bu sharni o'z ichiga olmagan, massa ichida va tashqarisida bo'lishi mumkin).

Garchi bu Gussning tortishish kuchi qonunidan bir yoki ikki qator algebradan kelib chiqsa-da, uni tortishish qonunidan foydalanib, to'g'ridan-to'g'ri olish uchun Isaak Nyutonga bir necha sahifa og'ir hisob kerak bo'ldi; maqolaga qarang qobiq teoremasi bu to'g'ridan-to'g'ri lotin uchun

Lagrangiandan olingan

The Lagranj zichligi chunki Nyutonning tortishish kuchi

${ displaystyle { mathcal {L}} ({ vec {x}}, t) = - rho ({ vec {x}}, t) phi ({ vec {x}}, t) - {1 over 8 pi G} ( nabla phi ({ vec {x}}, t)) ^ {2}}$

Qo'llash Xemilton printsipi ushbu Lagranjga, natijada tortishish uchun Gauss qonuni:

${ displaystyle 4 pi G rho ({ vec {x}}, t) = nabla ^ {2} phi ({ vec {x}}, t).}$

Qarang Lagranj (maydon nazariyasi) tafsilotlar uchun.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish

• "Gravlik tortishish qonuni" atamasini ishlatish uchun, masalan, Moody, M. V .; Paik, H. J. (1993 yil 1 mart). "Gauss qonunining tortishish kuchini qisqa masofada sinash". Jismoniy tekshiruv xatlari. 70 (9): 1195–1198. Bibcode:1993PhRvL..70.1195M. doi:10.1103 / PhysRevLett.70.1195. PMID  10054315.